第2课时等差数列前n项和 的性质与应用
第2课时 等差数列前n项和 的性质与应用
课标阐释 思维脉络 1掌握等差数列前n项和 的性质及其应用 等差数列前n 2掌握等差数列前n项和 等差数列前n项和的性质 的最值的求法 倾和的性质{等差数列前n项和的最值 3掌握等差数列各项绝对 等差数列各项的绝对值的和 值的和的求法
课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.掌握等差数列前 n 项和 的性质及其应用. 2.掌握等差数列前 n 项和 的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对 值的和的求法. 等差数列前 n 项和的性质 等差数列前 n 项和的性质 等差数列前 n 项和的最值 等差数列各项的绝对值的和
、等差数列前n项和的性质 【问题思考】 1等差数列前n项和的性质 )若数列(是公差为d的等差数列则数列也是等差数列且 公差为 (2设等差数列{an}的公差为dS为其前n项和则 nS2m5SnS3m5S2n…仍构成等差数列,且公差为m 3)设两个等差数列{anb的前n项和分别为S7则=
一 二 一、等差数列前 n 项和的性质 【问题思考】 1.等差数列前 n 项和的性质: (1)若数列{a n}是公差为 d 的等差数列,则数列 𝑆 𝑛𝑛 也是等差数列,且 公差为 𝑑2. (2)设等差数列{a n}的公差为 d,Sn 为其前 n 项和,则 Sm,S2 m-Sm,S3m-S2 m,…仍构成等差数列,且公差为 m 2 d. (3)设两个等差数列{a n},{ b n}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑆2𝑛-1 𝑇2𝑛-1
(4若等差数列{an}的项数为2n,则S2=mn+n1 S偶-S奇=nd (5若等差数列an}的项数为2n+1,则S2m1=(2n+1lmn
(4)若等差数列{an}的项数为 2n,则 S2n=n(an+an+1), S 偶-S 奇=nd, 𝑆 偶 𝑆 奇 = 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 . (5)若等差数列{an}的项数为 2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1, S 偶-S 奇=-an+1, 𝑆 偶 𝑆 奇 = 𝑛 𝑛+1
做一做 (1)已知某等差数列共有10项其奇数项之和为15偶数项之和为30 则其公差为 A.5B4C.3D2 (2)在等差数列{an}中其前n项和为S252=4S4=9,则= 解析(1)设等差数列的公差为d由题意得SS+=30-15=5,解得 d=3. (2)S2S15S2S6S成等差数列, 4+(9)=2×5,解得S6=15 答案(1)C(215
2.做 一做: (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30, 则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn ,S2=4,S4=9,则S6= . 解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得 d=3. (2)∵S2 ,S4 -S2 ,S6 -S4成等差数列, ∴4+(S6 -9)=2×5,解得S6=15. 答案(1)C (2)15
、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1如何求等差数列前n项和的最值?
一 二 二、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1.如何求等差数列前n项和的最值?
提示1)在等差数列{a1中,当>0d0时前n项和S有最小值S (2)在等差数列(n}中,当a10d0时,前n项和Sn有最小值Sn取得 最小值的n的值可由不等式忽/"≤0 确定 +1 5由于等差数列(a的前n项和Sm1=7+(a-分因此 从二次函数的角度看当d>0时Sm有最小值;当d0时,Sn有最大值; 且当n取最接近对应函数图象对称轴的正整数时S取得最值 6对于公差不为0的等差数列(n}使得其前n项和S取得最值的n 的值可能有1个或2个
提示(1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d>0 时,前 n 项和 Sn有最小值 S1; (2)在等差数列{an}中,当 a10,d0 时,前 n 项和 Sn有最小值,Sn取得 最小值的 n 的值可由不等式组 𝑎𝑛 ≤ 0, 𝑎𝑛+1 ≥ 0 确定. (5)由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 d=𝑑 2 n 2 + 𝑎1 - 𝑑 2 n,因此 从二次函数的角度看,当 d>0 时,Sn有最小值;当 d<0 时,Sn有最大值; 且当 n 取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn取得最值. (6)对于公差不为 0 的等差数列{an},使得其前 n 项和 Sn取得最值的 n 的值可能有 1 个或 2 个
2做一做 )等差数列{an中an=2-3n则当其前n项和S;取最大值时n的值 等于 (2)已知数列{an}的前n项和S=n248则S的最小值为 解析(1)由已知当n7时,an<0,所以当Sn取最 大值时n的值为6或7 (282-48=(24)-576 ∈N,当n24时S1有最小值576 答案(1)6或7(2)-576
2.做一做: (1)在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值 等于 . (2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2 -48n,则Sn的最小值为 . 解析(1)由已知,得当n0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最 大值时,n的值为6或7. (2)Sn=n2 -48n=(n-24)2 -576. ∵n∈N* ,∴当n=24时,Sn有最小值-576. 答案(1)6或7 (2)-576
判断下列说法是否正确正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“Ⅹ (1若等差数列的前n项和为Sn则S2m1=2n+1an() 2若等差数列{a共有20项则56=9a10.() 3)若等差数列(a的前n项和为Sn则S5S05S5也成等差数列、() 4若无穷等差数列{a的公差0>0则其前n项和Sn不存在最大 值 5若数列(a为等差数列,则数列{an}-定不是等差数列.() 答案(X(2)X(3)X(4(5)X
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√” ,错误的 画“×”. (1)若等差数列{an }的前n项和为Sn ,则S2n+1=(2n+1)an . ( ) (2)若等差数列{an }共有20项,则S奇S偶=a9a10. ( ) (3)若等差数列{an }的前n项和为Sn ,则S5 ,S10,S15也成等差数列.( ) (4)若无穷等差数列{an }的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大 值. ( ) (5)若数列{an }为等差数列,则数列{|an |}一定不是等差数列. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
1123 【例1】导学号0499061在等差数列{an}中,为其前n项和若 a6+a83+a0=33则S5= (2设Sn为等差数列{a}的前n项和若S3=9,8=35,则 3)等差数列{a}与{b的前n项和分别是S和nm已知=m则 1+3 思路分析运用等差数列前n项和的性质解决问题
1 2 3 【例 1】 导学号 04994036(1)在等差数列{an}中,Sn为其前 n 项和.若 a6+a8+a10=33,则 S15= ; (2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=9,S6=36,则 S9= ; (3)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别是 Sn和 Tn,已知𝑆𝑛 𝑇𝑛 = 7𝑛 𝑛+3 ,则 𝑎5 𝑏5 = . 思路分析运用等差数列前 n 项和的性质解决问题