§2.3等差数列的前n项和() 课时目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其性质 2.掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn之间的关系 知识梳理● 1.把a1+a+…+an叫数列{an}的前n项和,记做S2例如a+a2+…+a6可以记作S 2.若{an}是等差数列,则S可以用首项a1和末项a表示为sm(ax+a,.若首项为 an,公差为d,则S可以表示为Sn=man+m(n-1) 3.等差数列前n项和的性质 (1若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)Sm,S2m,Sm分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3 S2m也成等差数列 (3)设两个等差数列{a、{bn}的前n项和分别为Sn、Tm,则=S2n=1 作业设计● 、选择题 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于() 答案C 解析s,=7(a+a)_7(2+a) 2.等差数列{a}中,S10=4S,则等于() D.4 谷案A 解析由题意得 10a1+×10×9d=4(5a1+×5×4d, 10a1+45d=20a1+40d, 10a1=5a,∴ 3.已知等差数列{an}中,a3+aB+2a3ag=9,且an<0,则S10为() A.-9B.-11 谷案D 解析由a3+a3+2aa=9得 (a3+as)2=9
起 §2.3 等差数列的前 n 项和(一) 课时目标 1．掌握等差数列前 n 项和公式及其性质． 2．掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn 之间的关系． 1．把 a1＋a2＋…＋an 叫数列{an}的前 n 项和，记做 Sn.例如 a1＋a2＋…＋a16 可以记作 S16； a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1 (n≥2)． 2．若{an}是等差数列，则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn＝ n(a1＋an) 2 ；若首项为 a1，公差为 d，则 Sn 可以表示为 Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d. 3．等差数列前 n 项和的性质 (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列 Sn n 也是等差数列，且公差为d 2 . (2)Sm，S2m，S3m 分别为{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 Sm，S2m－Sm，S3m －S2m 也成等差数列． (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn，则 an bn ＝ S2n－1 T2n－1 . 一、选择题 1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，则 S7 等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 答案 C 解析 S7＝ 7(a1＋a7) 2 ＝ 7(a2＋a6) 2 ＝49. 2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则 a1 d 等于( ) A.1 2 B．2 C.1 4 D．4 答案 A 解析 由题意得： 10a1＋ 1 2 ×10×9d＝4(5a1＋ 1 2 ×5×4d)， ∴10a1＋45d＝20a1＋40d， ∴10a1＝5d，∴ a1 d ＝ 1 2 . 3．已知等差数列{an}中，a 2 3＋a 2 8＋2a3a8＝9，且 an<0，则 S10 为( ) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 答案 D 解析 由 a 2 3＋a 2 8＋2a3a8＝9 得 (a3＋a8) 2＝9，∵an<0
10(a1+a1o 10(a3+a8)10×(-3) 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36则a7+ag+a等于() A.63B.45C.36D.27 谷案 解析数列{an}为等差数列,则S,S6-S,S-S为等差数列,即2(S6-S)=S3+(S ∵S3=9,S6-S3=27,则S-S6=45 a7+a8+ag=S-S6=45 5.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765B.665C.763D.663 答案B 解析∵∴a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15, n=14,S14=14×2+×14×13×7=665 6.一个等差数列的项数为2n,若a+a3+…+a-1=90,a+a4+…+an=72,且a a2n=3,则该数列的公差是() 答案 a1+a2+…+4an-1=mn+0=x(20 解析由 a2+a+…+an=ma2+m(m-1)×(2a0=72, 得nd=-18 又a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以d=-3 二、填空题 7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a= 答案 解析设等差数列的公差为d,则 3× S3=3a1+ d=3a1+3d=3 即a1+d= 6×5 S6=6a+-d=6a1+15d=24 即2a1+5d=8 2+=解两 a1+d=1, d=2. 故a9=a1+8d=-1+8×2=15 8.两个等差数列{a},{b)的前n项和分别为S和T,已知=+2,则华的值是 答案 解析a+a)S2_65 bs 9(b1+bg) T9 9.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则 的值为
∴a3＋a8＝－3， ∴S10＝ 10(a1＋a10) 2 ＝ 10(a3＋a8) 2 ＝ 10×(－3) 2 ＝－15. 4．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36.则 a7＋a8＋a9 等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B 解析 数列{an}为等差数列，则 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，即 2(S6－S3)＝S3＋(S9 －S6)， ∵S3＝9，S6－S3＝27，则 S9－S6＝45. ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 5．在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663 答案 B 解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15， ∴n＝14，S14＝14×2＋ 1 2 ×14×13×7＝665. 6．一个等差数列的项数为 2n，若 a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且 a1 －a2n＝33，则该数列的公差是( ) A．3 B．－3 C．－2 D．－1 答案 B 解析 由 a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋ n(n－1) 2 ×(2d)＝90， a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋ n(n－1) 2 ×(2d)＝72， 得 nd＝－18. 又 a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以 d＝－3. 二、填空题 7．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S3＝3，S6＝24，则 a9＝________. 答案 15 解析 设等差数列的公差为 d，则 S3＝3a1＋ 3×2 2 d＝3a1＋3d＝3， 即 a1＋d＝1， S6＝6a1＋ 6×5 2 d＝6a1＋15d＝24， 即 2a1＋5d＝8. 由 a1＋d＝1， 2a1＋5d＝8， 解得 a1＝－1， d＝2. 故 a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 8．两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知Sn Tn ＝ 7n＋2 n＋3 ，则 a5 b5 的值是 ________． 答案 65 12 解析 a5 b5 ＝ 9(a1＋a9) 9(b1＋b9) ＝ S9 T9 ＝ 65 12. 9．在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 的值为________．
答案10 解析S(n+1)(a1+an+) 165 n(atam) a1+a2n+1=a2+a2m n+116511 n15010 10.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{am}的前3m项的和Sm 的值是 答案210 解析方法一在等差数列中,Sm,S2m-Sn,S3m-S2m成等差数列. 30,70,S2m-100成等差数列 2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210 方法二在等差数列中,当,当m,S成等差数列 2m 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210 三、解答题 11.在等差数列{an}中,已知d=2,an=1l,Sn=35,求a1和n n( a+2(m-1)=11, 得 2=35, 解方程组得/S 12.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S=7,Sis=75,Tm为数 的前n项和,求Tn 解设等差数列{an}的公差为d, 则Sn=nan+m(n-1)d, ∴S7=7,S1s=75, 15a1+105d=75 解得 la1+7d=5 a+(n-1)d=-2+(n-1), Sn 1 数列{}是等差数列,其首项为_2,公差为, Tn=n×(-2)+ n( 能力提升 13.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么
答案 10 解析 S 奇＝ (n＋1)(a1＋a2n＋1) 2 ＝165， S 偶＝ n(a2＋a2n) 2 ＝150. ∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴ n＋1 n ＝ 165 150＝ 11 10， ∴n＝10. 10．等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则数列{an}的前 3m 项的和 S3m 的值是________． 答案 210 解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． ∴30,70，S3m－100 成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. 方法二 在等差数列中，Sm m ， S2m 2m ， S3m 3m 成等差数列， ∴ 2S2m 2m ＝ Sm m ＋ S3m 3m . 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 三、解答题 11．在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n. 解 由 an＝a1＋(n－1)d， Sn＝na1＋ n(n－1) 2 d， 得 a1＋2(n－1)＝11， na1＋ n(n－1) 2 ×2＝35， 解方程组得 n＝5 a1＝3 或 n＝7， a1＝－1. 12．设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列 Sn n 的前 n 项和，求 Tn. 解 设等差数列{an}的公差为 d， 则 Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d， ∵S7＝7，S15＝75，∴ 7a1＋21d＝7 15a1＋105d＝75 ， 即 a1＋3d＝1 a1＋7d＝5 ，解得 a1＝－2 d＝1 ， ∴ Sn n ＝a1＋ 1 2 (n－1)d＝－2＋ 1 2 (n－1)， ∵ Sn＋1 n＋1 － Sn n ＝ 1 2 ， ∴数列 Sn n 是等差数列，其首项为－2，公差为1 2 ， ∴Tn＝n×(－2)＋ n(n－1) 2 × 1 2 ＝ 1 4 n 2－ 9 4 n. 能力提升 13．现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么
剩余钢管的根数为() B.10C.19D.29 谷案B 解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为 1,逐层增加1个 钢管总数为:1+2+3+… (n+1) 当n=19时,S19=190 当n=20时,S20=210>200 n=19时,剩余钢管根数最少,为10根 4.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为A和B,且4_7m+45则使得 Br n+3 为整数的正整数n的个数是() A.2B.3 谷案D 解析=42==14n+38m+19 bn B2n-l 2n-+2 7(n+1)+12 =7+ n+1 n+1 ∴n=1,2,3,5,11 ◎反思感悟 1.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三 个量,可求另外两个量 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项a及末项a,用公式S=ma+a)较好, 若已知首项a1及公差d,用公式S=m1+m一山较好 2.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在结合推导过程中加强记忆, 并在解题中熟练灵活地应用
剩余钢管的根数为( ) A．9 B．10 C．19 D．29 答案 B 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为 1，逐层增加 1 个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝ n(n＋1) 2 . 当 n＝19 时，S19＝190. 当 n＝20 时，S20＝210>200. ∴n＝19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根． 14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 An Bn ＝ 7n＋45 n＋3 ，则使得an bn 为整数的正整数 n 的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析 an bn ＝ A2n－1 B2n－1 ＝ 14n＋38 2n＋2 ＝ 7n＋19 n＋1 ＝ 7(n＋1)＋12 n＋1 ＝7＋ 12 n＋1 ， ∴n＝1,2,3,5,11. 1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，an，Sn，n，d 五个量，通常已知其中三 个量，可求另外两个量． 在求等差数列的和时，一般地，若已知首项 a1 及末项 an，用公式 Sn＝ n(a1＋an) 2 较好， 若已知首项 a1 及公差 d，用公式 Sn＝na1＋ n(n－1) 2 d 较好． 2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆， 并在解题中熟练灵活地应用．