等差数列 第一课时等差数列的概念及通项公式 以本为本·抓课 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P36~38,思考并完成以下问题 (1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列? (2)等差数列的通项公式是什么? (3)等差中项的定义是什么? 它义 1.等差数列的定 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示 点睛](1)“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合 (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了: ①作差的顺序;②这两项必须相钾 (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数 列不能称为等差数列 2.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.这三个数满足的关 系式是A+b 3.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a,公差为d 递推公式 通项公式 an-a-1=d(n≥2) an=a1+(u=1dn∈N)
等差数列 第一课时 等差数列的概念及通项公式 (1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？ (2)等差数列的通项公式是什么？ (3)等差中项的定义是什么？ [新知初探] 1．等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． [点睛] (1)“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数 列不能称为等差数列． 2．等差中项 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．这三个数满足的关 系式是 A＝ a＋b 2 . 3．等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 递推公式 通项公式 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N* ) 预习课本 P36～38，思考并完成以下问题
点睛]由等差数列的通项公式a=a+(m-1)d可得an=mn+(a-,如采设p=d q=a1-d,那么an=pn十q,其中P,q是常数,.当P≠0时,an是关于n的一次函数;当p 0时,an=q,等差数列为常数列 小身手 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1诺一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列 (2)等差数列{a}的单调性与公差d有关() (3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项() (4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列 解析:(1)错误。若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等 则这个数列就不是等差数列 (2)正确,当小0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列. (3)正确.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项 (4)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c一b,故a,b,c为等差数列 答案:(1)×(2)√(3)√(4)√ 2.等差数列{an中,a1=1,d=3,an=298,则n的值等于() B.100 D.101 解析:选Ban=m1+(n-1=3m-2,令an=298,即3mn-2=298→n=100 3在等差数列{an}中,若a1·a3=8,a2=3,则公差d=() B.-1 解析:选C由已知得, (an+2d=8, 解得d=±1 la1+c=3, 4.若log32,log3(2x-1),log3(2x+1)成等差数列,则x的值为 解析:由log(2+1)-log(2-1)=log(2-1)-1g32,得:(2)2-42-21=0,2 7,∴x=log27 答案:log7 学用结台通技祛 果堂讲练设计,举一能通类题 型 等差数列的通项公式及库用 典例]在等差数列{an}中
[点睛] 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn＋(a1－d)，如果设 p＝d， q＝a1－d，那么 an＝pn＋q，其中 p，q 是常数．当 p≠0 时，an是关于 n 的一次函数；当 p ＝0 时，an＝q，等差数列为常数列． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关( ) (3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数 a，b，c 满足 2b＝a＋c，则 a，b，c 一定是等差数列( ) 解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等， 则这个数列就不是等差数列． (2)正确．当 d>0 时为递增数列；d＝0 时为常数列；d<0 时为递减数列． (3)正确．只需将项数 n 代入即可求出数列中的任意一项． (4)正确．若 a，b，c 满足 2b＝a＋c，即 b－a＝c－b，故 a，b，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，则 n 的值等于( ) A．98 B．100 C．99 D．101 解析：选 B an＝a1＋(n－1)d＝3n－2，令 an＝298，即 3n－2＝298⇒n＝100. 3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( ) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 解析：选 C 由已知得， a1(a1＋2d)＝8， a1＋d＝3， 解得 d＝±1. 4．若 log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列．则 x 的值为________． 解析：由 log3(2x＋11)－log3(2x－1)＝log3(2x－1)－log32，得：(2x ) 2－4·2x－21＝0，∴2 x ＝7，∴x＝log27. 答案：log27 等差数列的通项公式及应用 [典例] 在等差数列{an}中
(1)已知as=-1,as=2,求a与d (2)已知a1+a6=12,a=7,求ap 解](1)∵as=-1,as=2 +4-1, 解得 a+72, (2)设数列{an}的公差为d a1+a+5d=1 1, 由已知得, a+3d=7, 解得d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1, a=2×9-1=17. 类题通法 在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如 果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a,d的关系列方程组求解,但是要注意公 式的变形及整体计算,以减少计算量 活学活用 1.2016是等差数列4,6,8,…的() 第1006项 第1007项 C.第1008项 D.第1009项 解析:选B∵此等差数列的公差=2,∴an=4(m-1)×2,an=2n+2,即2016 =2n+2,∴n=1007 2.已知等差数列{an}中,as=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果 是,是第几项? 解:设首项为m,公差为d,则an=a1+(n-1)d, an+(5-1)d= 由已知 a+(61-1)=217, 解得 所以an=-23+(m-1)×4=4n-27 令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N,所以153是所给数列的第45项 E等中项的用」了 「典例已知等差数列{an},满足a+a+a=18,a2aa=66求数列{an}的通项公式
(1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9. [解] (1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴ a1＋4d＝－1， a1＋7d＝2， 解得 a1＝－5， d＝1. (2)设数列{an}的公差为 d. 由已知得， a1＋a1＋5d＝12， a1＋3d＝7， 解得 a1＝1， d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 在等差数列{an}中，首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如 果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关 a1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公 式的变形及整体计算，以减少计算量． [活学活用] 1．2 016 是等差数列 4,6,8，…的( ) A．第 1 006 项 B．第 1 007 项 C．第 1 008 项 D．第 1 009 项 解析：选 B ∵此等差数列的公差 d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即 2 016 ＝2n＋2，∴n＝1 007. 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果 是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知 a1＋(15－1)d＝33， a1＋(61－1)d＝217， 解得 a1＝－23， d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*，所以 153 是所给数列的第 45 项. 等差中项的应用 [典例] 已知等差数列{an}，满足 a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
解]在等差数列{an}中 a3+a=18,3a3=18,a3=6. =1,解得{=1 a2+a=12, =11L an=m1+(n-1)d=16+(m-1)(-5)=-5n+21 类题通法 三数a,b,c成等差数列的条件是b=-,(或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定 或有关等差中项的计算问题,如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N). 活学活用 1.已知数列8,a2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为 解析:因为8,a,2,b,c是等差数列, 所以1a+b=2×2,解得b=-1 谷案:5-1 2.已知数列a中,0=2,a=1,且教列十1为等差数列,则a= 解析:由数列n+1乃为等差数列,则有a+1a+1a+可解得a=5 答案 题型三 一题多法 牵回路转 等差数列的判定与证明 「典例已知数列{an}满足m=4,an=4--(m>1),记b=求证:数列{bn}是等 差数列 证明:法一定义法
[解] 在等差数列{an}中， ∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6. ∴ a2＋a4＝12， a2·a4＝11， 解得 a2＝11， a4＝1 或 a2＝1， a4＝11. 当 a2＝11， a4＝1 时，a1＝16，d＝－5. an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21. 当 a2＝1， a4＝11 时，a1＝－4，d＝5. an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9. 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝ a＋c 2 (或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定 或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N* )． [活学活用] 1．已知数列 8，a,2，b，c 是等差数列，则 a，b，c 的值分别为________，________， ________. 解析：因为 8，a,2，b，c 是等差数列， 所以 8＋2＝2a， a＋b＝2×2， 2＋c＝2b. 解得 a＝5， b＝－1， c＝－4. 答案：5 －1 －4 2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列 1 an＋1 为等差数列，则 a5＝________. 解析：由数列 1 an＋1 为等差数列，则有 1 a3＋1 ＋ 1 a7＋1 ＝ 2 a5＋1 ，可解得 a5＝ 7 5 . 答案：7 5 等差数列的判定与证明 [典例] 已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ 4 an－1 (n>1)，记 bn＝ 1 an－2 .求证：数列{bn}是等 差数列． 证明：[法一 定义法]
∴bn+1-b=-1 21 2(an-2)an-22(an-2)2 为常数(n∈N) 又b1 数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. 法二等差中项法 b b 4)_,2(an-2) an+I an an-1 (an+1-2) bn+bu+2-26nu+ 0 2(an-2) ∴bn十bn+2=2bn+1(m∈N) ∴数列{bn}是等差数列 题通法 等差数列判定的常用的2种方法 (1)定义法:an+1-an=常数)m∈N){为等差数列 (2)等差中项法:2an+1=an+an+(n∈N)分{an}为等差数列 活学活用 已知b成等差数列,并且叶+e,a-c,a+c-2均为正数,求证:g(a+c,kg(a c),lg(a+c-2b)成等差数列 解:∵ab,c成等差数列,=a+, ,即2ac=b(a+ (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c) ∵ac,a+c-2b,ac均为正数,上式左右两边同时取对数得,lgl(a+c)(a+c-2b lg(a-c)2, pp ig(a+c)+lg(a+c-26)=2lg(a-c)
∵bn＋1＝ 1 an＋1－2 ＝ 1 4－ 4 an －2 ＝ an 2(an－2) ， ∴bn＋1－bn＝ an 2(an－2) － 1 an－2 ＝ an－2 2(an－2) ＝ 1 2 ，为常数(n∈N* )． 又 b1＝ 1 a1－2 ＝ 1 2 ， ∴数列{bn}是首项为1 2 ，公差为1 2 的等差数列． [法二 等差中项法] ∵bn＝ 1 an－2 ， ∴bn＋1＝ 1 an＋1－2 ＝ 1 4－ 4 an －2 ＝ an 2(an－2) . ∴bn＋2＝ an＋1 2(an＋1－2) ＝ 4－ 4 an 2 4－ 4 an －2 ＝ an－1 an－2 . ∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝ 1 an－2 ＋ an－1 an－2 －2× an 2(an－2) ＝0. ∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N* )， ∴数列{bn}是等差数列． 等差数列判定的常用的 2 种方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N* )⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N* )⇔{an}为等差数列． [活学活用] 已知1 a ， 1 b ， 1 c 成等差数列，并且 a＋c，a－c，a＋c－2b 均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a －c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列． 解：∵ 1 a ， 1 b ， 1 c 成等差数列，∴ 2 b ＝ 1 a ＋ 1 c ， ∴ 2 b ＝ a＋c ac ，即 2ac＝b(a＋c)． (a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c) 2－2b(a＋c)＝(a＋c) 2－2×2ac＝a 2＋c 2＋2ac－4ac＝(a－c) 2 . ∵a＋c，a＋c－2b，a－c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)] ＝lg(a－c) 2，即 lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)
∴g(a十c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列 多练提能·熟生巧课后层级训练,步步提升能力 层级一学业水平达标 1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为( 解析:选C:an=3-2n=1+(n-1)×(-2),∴d=一2,故选C. 2.若等差数列a中,已知a1=,a2+a=4,4,=35,则n=() B.51 D.53 解析;选D依题意,a2+as=a1+a+a+4d=4,代入a=,得d 所以a=n+-1=3+(=0)×3-3y-3,令=3,解得n=53 3.设x是a与b的等差中项,x2是a2与一b2的等差中项,则a,b的关系是() B. a=3b =-b或a=3b b=0 解析:选C由等差中项的定义知;x=+b a-ba+ 即 2 故 b或a=3b 4数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a0s的值是() B.1007 C.1008 解析:选D由2an+1=2an+1,得an+1-an=,所以{am}是等差数列,首项a1=2,公 d=1 所以an=2+,m-1≈+3 所以 2015+3
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列． 层级一 学业水平达标 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：选 C ∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C. 2．若等差数列{an}中，已知 a1＝ 1 3 ，a2＋a5＝4，an＝35，则 n＝( ) A．50 B．51 C．52 D．53 解析：选 D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入 a1＝ 1 3 ，得 d＝ 2 3 . 所以 an＝a1＋(n－1)d＝ 1 3 ＋(n－1)× 2 3 ＝ 2 3 n－ 1 3 ，令 an＝35，解得 n＝53. 3．设 x 是 a 与 b 的等差中项，x 2是 a 2 与－b 2 的等差中项，则 a，b 的关系是( ) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝－b 或 a＝3b D．a＝b＝0 解析：选 C 由等差中项的定义知：x＝ a＋b 2 ， x 2＝ a 2－b 2 2 ， ∴ a 2－b 2 2 ＝ a＋b 2 2，即 a 2－2ab－3b 2＝0. 故 a＝－b 或 a＝3b. 4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则 a2 015 的值是( ) A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009 解析：选 D 由 2an＋1＝2an＋1，得 an＋1－an＝ 1 2 ，所以{an}是等差数列，首项 a1＝2，公 差 d＝ 1 2 ， 所以 an＝2＋ 1 2 (n－1)＝ n＋3 2 ， 所以 a2 015＝ 2 015＋3 2 ＝1 009
5.等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为() 解析:选B|an=|70+(n-1)×(-9)=179-9m=9 时,|a最小 6.在等差数列{an}中,a3=7,as=a2+6,则a6 解析:设等差数列{an}的公差为d 由题意,得 a+4=a+a6 解得 an=m1+(n-1)d=3+(m-1)×2=2n+1. a6=2×6+1=13 答案 7.已知{an}为等差数列,且a-2a=-1,a3=0,则公差d= 解析:根据题意得: a-2a4=a1+6d-2(a1+3=-a1=-1, 又a3=a+2d=1+2d=0 答案 8.已知数列{an}满足:a2n+1=m2+4,且a1=1,an>0,则an= 解析:根据已知条件a2+1=a2+4,即a2+1-a2=. ∴数列{G是公差为4的等差数列, 则a=a+(n-1)×4=4m-3 ∵an>0,∴an2 答案: 9.已知数列{an}满足a1=2,an+ a+2则数列是否为等差数列?说明理由 解:数列}是等差数列,理由如下: 因为a=2,an+1 a,+2 所以
5．等差数列{an}的首项为 70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A．a8 B．a9 C．a10 D．a11 解析：选 B |an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|＝9 8 7 9 －n ，∴n＝9 时，|an|最小． 6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为 d， 由题意，得 a1＋2d＝7， a1＋4d＝a1＋d＋6. 解得 a1＝3， d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1. ∴a6＝2×6＋1＝13. 答案：13 7．已知{an}为等差数列，且 a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差 d＝________. 解析：根据题意得： a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， ∴a1＝1. 又 a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0， ∴d＝－ 1 2 . 答案：－ 1 2 8．已知数列{an}满足：a 2 n＋1＝a 2 n＋4，且 a1＝1，an>0，则 an＝________. 解析：根据已知条件 a 2 n＋1＝a 2 n＋4，即 a 2 n＋1－a 2 n＝4. ∴数列{a 2 n}是公差为 4 的等差数列， 则 a 2 n＝a 2 1＋(n－1)×4＝4n－3. ∵an>0，∴an＝ 4n－3. 答案： 4n－3 9．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝ 2an an＋2 ，则数列 1 an 是否为等差数列？说明理由． 解：数列 1 an 是等差数列，理由如下： 因为 a1＝2，an＋1＝ 2an an＋2 ， 所以 1 an＋1 ＝ an＋2 2an ＝ 1 2 ＋ 1 an
所以 (常数) 所以是以一=为首项,公差为的等差数列 10.若b+ca+a+是等差数列,求证:,b,c成等差数列 26+arc 证明:由已知得b++a+b=a+c通分有(b++b)=a+c 进一步变形有2(b+c)a十b)=(2b十a+c)a+c),整理,得a2+c2=2b2, 所以a2,b2,c2威等差数列 层级二应试能力达标 1.若数列{an}为等差数列,a=q,a4=P≠q),则a+为( Ptq P十q (p+q) D 解析:选B∵a=a1+(p-1)d,a=a+(q-1)d, n+(-1d=q (qd=p.② ①一②,得(p-q p≠q,∴d=-1 代入①,有a+q-1)×(-1 ∴an+q=a+q+q-1)d=p+q-1+p+q-1)×(-1)=0. 2.已知x≠y,且两个数列x,m,a,…,amy与xb,b,…,b,y各自都成等 差数列,则_等于() m+1 B. n 1 m+1 解析:选D设这两个等差数列公差分别是d,d,则a-m=d1,b2-b=h第一个 数列共(m+项,:山=m+1 二第二个数列共m+2)项,=二这样可求出二①二山 n+1 3.已知数列{an},对任意的n∈N,点PAm,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为() A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列 C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列
所以 1 an＋1 － 1 an ＝ 1 2 (常数)． 所以 1 an 是以1 a1 ＝ 1 2 为首项，公差为1 2 的等差数列． 10．若 1 b＋c ， 1 a＋c ， 1 a＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2 成等差数列． 证明：由已知得 1 b＋c ＋ 1 a＋b ＝ 2 a＋c ，通分有 2b＋a＋c (b＋c)(a＋b) ＝ 2 a＋c . 进一步变形有 2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得 a 2＋c 2＝2b 2， 所以 a 2，b 2，c 2 成等差数列． 层级二 应试能力达标 1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则 ap＋q 为( ) A．p＋q B．0 C．－(p＋q) D. p＋q 2 解析：选 B ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， ∴ a1＋(p－1)d＝q， ① a1＋(q－1)d＝p. ② ①－②，得(p－q)d＝q－p. ∵p≠q，∴d＝－1. 代入①，有 a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1. ∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0. 2．已知 x≠y，且两个数列 x，a1，a2，…，am，y 与 x，b1，b2，…，bn，y 各自都成等 差数列，则a2－a1 b2－b1 等于( ) A. m n B. m＋1 n＋1 C. n m D. n＋1 m＋1 解析：选 D 设这两个等差数列公差分别是 d1，d2，则 a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个 数列共(m＋2)项，∴d1＝ y－x m＋1 ；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝ y－x n＋1 .这样可求出a2－a1 b2－b1 ＝ d1 d2 ＝ n＋1 m＋1 . 3．已知数列{an}，对任意的 n∈N*，点 Pn(n，an)都在直线 y＝2x＋1 上，则{an}为( ) A．公差为 2 的等差数列 B．公差为 1 的等差数列 C．公差为－2 的等差数列 D．非等差数列
解析:选A由题意知an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A 4.如果a,a2,…,a为各项都大于零的等差数列,且公差d≠0,则( A. a3a>a4a5 B. a3a6a4+ 解析:选B由通项公式,得a3=a1+2d,a=a+5,那么a3+a6=2a+7d,a3a6= (a+2d(a+5=+7a1a+10dP,同理a+as=2a1+7d,a4as=+7a1H12a,显然a3a6 2d<0,故选B 5.数列{am}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为一2,公差为4的等 差数列.若an=bn,则n的值为 解析:an=2+(n-1)×3=3n-1 bn=-2+(n-1)×4=4n-6, 令an=bn得3n-1=4m-6,∴n=5. 答案:5 6.在数列a中,a=3,且对于任意大于1的正整数n,点Nlan,√an-0都在直线x √3=0上,则an= 解析:由题意得a-√la-1=、3,所以数列、}是首项为3,公差为3的等差数列, 所 答案: 7.已知数列{a}满足a=1,且an=2an-1+2(n≥2,且∈N') (1)求 (2)证明:数列,}是等差数列 (3)求数列{an}的通项公式an 解:(1)a2=2a1+2=6,a3=2a2+23=20 (2)证明:∵an=2an-1+2"(m≥2,且n∈N), ∴数列是首项为2=2公差d=1的等差数列 (3)由(2,得=+(m-1)×1=n
解析：选 A 由题意知 an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选 A. 4．如果 a1，a2，…，a8 为各项都大于零的等差数列，且公差 d≠0，则( ) A．a3a6>a4a5 B．a3a6a4＋a5 D．a3a6＝a4a5 解析：选 B 由通项公式，得 a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么 a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝ (a1＋2d)(a1＋5d)＝a 2 1＋7a1d＋10d 2，同理 a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a 2 1＋7a1d＋12d 2，显然 a3a6 －a4a5＝－2d 2<0，故选 B. 5．数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为 4 的等 差数列．若 an＝bn，则 n 的值为________． 解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1， bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6， 令 an＝bn，得 3n－1＝4n－6，∴n＝5. 答案：5 6．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于 1 的正整数 n，点( an， an－1)都在直线 x －y－ 3＝0 上，则 an＝________. 解析：由题意得 an－ an－1＝ 3，所以数列{ an}是首项为 3，公差为 3的等差数列， 所以 an＝ 3n，an＝3n 2 . 答案：3n 2 7．已知数列{an}满足 a1＝1，且 an＝2an－1＋2 n (n≥2，且∈N* )． (1)求 a2，a3； (2)证明：数列 an 2 n 是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式 an. 解：(1)a2＝2a1＋2 2＝6，a3＝2a2＋2 3＝20. (2)证明：∵an＝2an－1＋2 n (n≥2，且 n∈N* )， ∴ an 2 n＝ an－1 2 n－1＋1(n≥2，且 n∈N* )， 即 an 2 n－ an－1 2 n－1＝1(n≥2，且 n∈N* )， ∴数列 an 2 n 是首项为a1 2 1＝ 1 2 ，公差 d＝1 的等差数列． (3)由(2)，得an 2 n＝ 1 2 ＋(n－1)×1＝n－ 1 2 ， ∴an＝ n－ 1 2 ·2n
重点选做题 8.数列{an}满足a1=2,an+1=(-3)an+2"(n∈N) (1)当a2=-1时,求λ及a的值; (2是否存在的值使数列{am为等差数列?若存在求其通项公式;若不存在说明理由 (1)∵a=2,a2=-1,a=(-3)a1+2,∴ 十22 (2)∵a=2,an+1=(1-3)an+2" =(-3)a+2=22-4. a3=(-3)a2+4=2-10+16. 若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2 即2-7+13=0. ∵』=49-4×13<0,∴方程无实数解 ∴.值不存在,∴不存在以的值使{an}成等差数列 第二课时等差数列的性质 为本·孤双 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P39练习第45题,思考并完成以下问题 (1)等差数列通项公式的推广形式是什么? (2)等差数列的运算性质是什么? 新初謀 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 +(m-1)d (示首末两项的关系)(揭示任意两项之间的关系) 2等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列,正整数m,m,p,q满足m+n=叶+q,则an+an=an (1)特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N)时,am+an=2a (2对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+
8．数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2 n (n∈N* )． (1)当 a2＝－1 时，求 λ 及 a3 的值； (2)是否存在 λ 的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由． 解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝ 3 2 . ∴a3＝－ 3 2 a2＋2 2，∴a3＝ 11 2 . (2)∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2 n， ∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4. a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ 2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列，则 a1＋a3＝2a2. 即 λ 2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解． ∴λ 值不存在．∴不存在 λ 的值使{an}成等差数列． 第二课时 等差数列的性质 (1)等差数列通项公式的推广形式是什么？ (2)等差数列的运算性质是什么？ [新知初探] 1．等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) 2.等差数列的性质 若{an}是公差为 d 的等差数列，正整数 m，n，p，q 满足 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap ＋aq. (1)特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N* )时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 a1＋an 预习课本 P39 练习第 4、5 题，思考并完成以下问题