2.2等差数列 (一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念:;探索并掌握等差数列的通项公式:能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题:体会等差数列与 次函数的关系。 2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究 3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些 简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念:接着就等差数列的特点,推导出等差 数列的通项公式:可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 类特殊的数列 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案 (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列 2012年,在伦敦举行的奥运会上,女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个 级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算 起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5, 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入10000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是: 寸间 年初本金(元) 年末本利和(元) 10000 10072 第2年 10000 0144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288
3 2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具 体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出 等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些 简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差 数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一次，可以得到数列： 0，5，____,____,____,____,…… 2012 年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个 级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为 18cm，自然放水每天水位降低 2.5m，最低降至 5m。那么从开始放水算 起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5， 8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期 存入 10 000 元钱，年利率是 0.72%。那么按照单利，5 年内各年末的本利和分别是： 时间 年初本金（元） 年末本利和（元） 第 1 年 10 000 10 072 第 2 年 10 000 10 144 第 3 年 10 000 10 216 第 4 年 10 000 10 288
第5年 10000 10360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10072,10144,10216,10288,10360 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,……① 48,53,58,63② 18,15.5,13,10.5,8,5.5③ 10072,10144,10216,10288,10360④ 看这些数列有什么共同特点呢? (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到: 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于-2.5 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于7ξ 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征, 尝试着给等差数列下个定义 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列, 它们的公差依次是5,5,-2.5,72 提问:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列数列,那么A应满足什么 条件 由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: +b 所以就有A 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的 等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。 看来,a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 则an+ [等差数列的通项公式]
4 第 5 年 10 000 10 360 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ① 48，53，58，63 ② 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？ （由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 72 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常 数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征， 尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列， 它们的公差依次是 5，5，-2.5，72。 提问：如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a ，A，b 成等差数列数列，那么 A 应满足什么 条件？ 由学生回答：因为 a，A，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A 所以就有 2 a b A + = 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做 a 与 b 的 等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前 一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5 是 3 和 7 的等差中项，1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项，5 和 13 的等差中项。 看来， 2 4 1 5 4 6 3 7 a + a = a + a ,a + a = a + a 从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q 则 am + an = ap + aq [等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学 习的内容。 (1)、我们是通过研究数列{an}的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下 面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式 ①这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20 (=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an=5n ②这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项 是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an=48+5(n-1) ③这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2), 第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是an=18-25(m-1) ④这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216 (=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是an=10072+72(n-1) (2)、那么,如果任意给了一个等差数列的首项a1和公差d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳 d (n-1)个等式 所以a2=a1+d, d a,=a+d 思考:那么通项公式到底如何表达呢? a2=a1+d, a2=a2+d=(a1+d)+d=a+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a+3d
5 对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学 习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列 { }n a 的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下 面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式： ① 这个数列的第一项是 5，第 2 项是 10（=5+5），第 3 项是 15（=5+5+5），第 4 项是 20 （=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 an = 5n ② 这个数列的第一项是 48，第 2 项是 53（=48+5），第 3 项是 58（=48+5×2），第 4 项 是 63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a = 48 + 5(n −1) n ③ 这个数列的第一项是 18，第 2 项是 15.5（=18-2.5），第 3 项是 13（=18-2.5×2）， 第 4 项是 10.5（=18-2.5×3），第 5 项是 8（=18-2.5×4），第 6 项是 5.5（=18-2.5×5）由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a =18 − 2.5(n −1) n ④ 这个数列的第一项是 10072，第 2 项是 10144（=10172+72），第 3 项是 10216 （=10072+72×2），第 4 项是 10288（=10072+72×3），第 5 项是 10360（=10072+72×4），由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a =10072 + 72(n −1) n ⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项 1 a 和公差 d，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： , a2 − a1 = d , a3 − a2 = d , a4 − a3 = d … 所以 , a2 = a1 + d , a3 = a2 + d , a4 = a3 + d …… 思考：那么通项公式到底如何表达呢？ , a2 = a1 + d ( ) 2 , a3 = a2 + d = a1 + d + d = a + d ( 2 ) 3 , a4 = a3 + d = a1 + d + d = a + d （n-1）个等式
得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以a为首项,d为公差的等差数列{an}的通项 公式为:an=a1+(m-1)d 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项a1和公差d,那么这个等差数列的通项a,就 可以表示出来了 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法):{an}是等差数列,所以an-an1=d an-i=d a =d 两边分别相加得 an-a1=(- 所以 (迭代法):{an}是等差数列,则有 dtd a +3d =a1+(n-1)d 所以 a=a,+(n-l)d [例题分析」 例1、(1)求等差数列 的第20项 (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 分析:(1)要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该 等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差 (2)这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中
6 …… 得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以 1 a 为首项，d 为公差的等差数列 { }n a 的通项 公式为： an = a1 + (n −1)d 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项 1 a 和公差 d，那么这个等差数列的通项 n a 就 可以表示出来了。 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： { }n a 是等差数列，所以 , an − an−1 = d , an−1 − an−2 = d , an−2 − an−3 = d …… , a2 − a1 = d 两边分别相加得 ( 1) , an − a1 = n − d 所以 an = a1 + (n −1)d （迭代法）： { }n a 是等差数列，则有 an = an−1 + d = an−2 + d + d = an−2 + 2d = an−3 + d + 2d = an−3 + 3d …… = a1 + (n −1)d 所以 an = a1 + (n −1)d [例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8，5，2，…的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：⑴要求出第 20 项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该 等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差； ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中
的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。 解:(1)由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(21-1)×(-3)=-49 (2)由a1=-5,d=9-(-5)=4,得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1, 由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立 解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、 n(独立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的 项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就 不是数列中的项 (放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不 含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等 候时间为0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2 元所以,我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费 令a1=1.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14如m处时,n=1l 此时需要支付车费a1=112+(11-1)×12=23,2(元) 答:需要支付车费23.2元 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题 (放投影片)思考例题:例3已知数列{an}的通项公式为an=P+q,其中p、q为常数, 且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗? 分析:判定{an}是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看 n-1(n >1)是不是一个与n无关的常数。 解:取数列{an}中的任意相邻两项an与an(n>1) 求差得an-an1=(m+q)-[p{-1)+q]=pn+q-(pn-p+q]=p 它是一个与n无关的数 所以{an}是等差数列 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少? 这个数列的首项a1=p+q,公差d=P。由此我们可以知道对于通项公式是形如 an=p+q的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q. 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通
7 的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。 解：⑴由 1 a =8，d=5-8=-3，n=20，得 a20 = 8 + (21−1)(−3) = −49 ⑵由 1 a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为 a = −5 − 4(n −1) = −4n −1, n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程，得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项。 例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 n a 、 1 a 、d、 n（独立的量有 3 个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的 项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就 不是数列中的项。 （放投影片）例 2．某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即最初的 4km（不 含 4 千米）计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地，且一路畅通，等 候时间为 0，需要支付多少车费？ 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km 时，每增加 1km，乘客需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列 { }n a 来计算车费. 令 1 a =11.2，表示 4km 处的车费，公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时，n=11， 此时需要支付车费 11.2 (11 1) 1.2 23.2( ) a11 = + − = 元 答：需要支付车费 23.2 元。 例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。 （放投影片）思考例题：例 3 已知数列 { }n a 的通项公式为 a pn q, n = + 其中 p、q 为常数， 且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 分析：判定 { }n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 an − an−1 （n ＞1）是不是一个与 n 无关的常数。 解：取数列 { }n a 中的任意相邻两项 an与an−1 （n＞1）， 求差得 an − an−1 = ( pn + q) −[ p{n −1) + q] = pn + q − ( pn − p + q] = p 它是一个与 n 无关的数. 所以 { }n a 是等差数列。 课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？ 这个数列的首项 a1 = p + q,公差d = p 。由此我们可以知道对于通项公式是形如 an = pn + q 的数列，一定是等差数列，一次项系数 p 就是这个等差数列的公差，首项是 p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通
项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: (1)在直角坐标系中,画出通项公式为an=3n-5的数列的图象。这个图象有什么特点? (2)在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列 an=P+q与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。 分析:(1)n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的an可以利用通项公式求出。经过描 点知道该图象是均匀分布的一群孤立点 (2)画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一 次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列 n=pn+q的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+定义在正整数集上对 应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列an=P+q中的p的几何意义去探究。 [随堂练习] 例1之后:“练习”第1题 例2之后:“练习”第2题 [课堂小结] 本节主要内容为: ①等差数列定义:即an-an1=d(n≥2) ②等差数列通项公式:an=a1+(n-1d(n≥1) 推导出公式:an=am+(n-m)d (五)评价设计 1、已知{an}是等差数列 (1)2a5=a3+a是否成立?2a5=a1+a呢?为什么? (2)2an=an-1+an(n)l)是否成立?据此你能得出什么结论? 2an=anx+an+k(m)1)是否成立?据此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列{an}的公差为d求证:am-a=d
8 项公式是关于正整数 n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究： ⑴在直角坐标系中，画出通项公式为 an = 3n − 5 的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数 y=3x-5 的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列 an = pn + q 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析：⑴n 为正整数，当 n 取 1，2，3，……时，对应的 n a 可以利用通项公式求出。经过描 点知道该图象是均匀分布的一群孤立点； ⑵画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一 次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列 an = pn + q 的图象是一次函数 y=px+q 的图象的一个子集，是 y=px+q 定义在正整数集上对 应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列 an = pn + q 中的 p 的几何意义去探究。 [随堂练习] 例 1 之后： “练习”第 1 题； 例 2 之后： “练习”第 2 题； [课堂小结] 本节主要内容为： ①等差数列定义：即 an − an−1 = d (n≥2) ②等差数列通项公式： an = a1 + (n −1)d (n≥1) 推导出公式： an = am + (n − m)d (五）评价设计 1、已知 { }n a 是等差数列. ⑴ 5 3 7 2a a a = + 是否成立？ 5 1 9 2a a a = + 呢？为什么？ ⑵ 1 1 2 1 n n n a a a n = + − +（ ） 是否成立？据此你能得出什么结论？ 2 1 n n k n k a a a n = + − +（ ） 是否成立？据此你又能得出什么结论？ 2、已知等差数列 { }n a 的公差为 d.求证： m n a a d m n − = −