选择题 1.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d#0.若ak=a+a+a+…+an,则k=( B.23 C.24 【答案】A 【解析】∵数列{an}为等差数列,首项a=0,公差d≠0,∴ak=a1+(k-1)d=an+a+a3+…+a7 7a4=21d解得k=22故选A 2.已知{an}为等差数列,a+a3+as=105,a2+a4+a6=9,则ax等于() B.1 【答案】B 【解析】∵{an}是等差数列,∴a1+a3+as=3a3=105,∴a3=35 a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33,∴d=a4-a3=-2,a0=a4+16d=33-32=1.故选B 3.已知{an}为等差数列,a1+a3+as=9,a2+a4+a6=15,则a3+a4=( A.5 B.6 【答案】D 【解析】在等差数列{an}中,a1+a3+as=3a3=9,∴a=3 又a+a4+a6=3a4=15,∴a4=5,∴a3+a4=8.故选D. 4.已知数列{an}满足an=15,且3am+1=3am-2.若akak+10,a+10, 47 得 所以a23>0,a24<0,所以k=23,故选B 5.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1aa3=80,则a11+a12+an等于() A.120 B.105 【答案】B 【解析】∵a+a+a=3a2=15,∴a=5,又∵aa2a3=80,∴aa3=16, 即(a-d(a+d)=16,∵40,∴d=3.则a1+a2+a13=3a2=3(a+10d=105.故选B. 6.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b=75,a2+b2=100,则a3+b等于(C) C.10 D.-37 【答案】C
1 一、选择题： 1．在等差数列{an}中，首项 a1＝0，公差 d≠0.若 ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则 k＝ ( ) A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】A 【解析】∵数列{an}为等差数列，首项 a1＝0，公差 d≠0，∴ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7 ＝7a4＝21d.解得 k＝22.故选 A. 2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则 a20 等于 ( ) A．－1 B．1 C．3 D．7 【答案】B 【解析】 ∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1. 故选 B． 3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则 a3＋a4＝ ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3； 又 a2＋a4＋a6＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a3＋a4＝8. 故选 D． 4．已知数列{an}满足 a1＝15，且 3an＋1＝3an－2.若 ak·ak＋10，ak＋10，a240，∴d＝3. 则 a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105. 故选 B． 6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则 a37＋b37 等于 ( C ) A．0 B．37 C．10 D．－37 【答案】C
【解析】∵数列{an},{bn}都是等差数列,∴{an+bn}也是等差数列.又∵a+b=100,a+b2 100, {an+bn}的公差为0,∴数列{an+bn}的第37项为100.故选C 7.下列命题中正确的个数是() (1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列 (2)若a,b,c成等差数列,则222可能成等差数列 (3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,hb+2,kc+2一定成等差数列; (4)若a,b,c成等差数列,则 ab,二可能成等差数列 个 B.3 C.2个 【答案】B 【解析】对于(1)取a=1,b=2,c=3→a2=1,b2=4,c2=9,(1)错 对于(2),a=b=c→2=2b=2,(2)正确:对于(3),∵a,b,c成等差数列 ∴a+c=2b.(ka+2)+(kc+2)=ka+c)+4=2(kb+2),(3)正确 对于(4,a=b=c0÷=1=1,(4)正确,综上选B 点评,等差数列的性质;(1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和 a3 tan-2 (2)若{an}、{bn}分别是公差为d,d的等差数列,则有 数列 结论 octan 公差为d的等差数列(c为任一常数) Can 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为p+qd的等差数列(p,q)为常数 (3){an}的公差为d,则d>0台{an}为递增数列:d0{an}为递减数列:d=0分{an}为常数列 8.设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(C) A.若a1+a2>0,则a+a3>0 B.若a1+a3Va D.若a10 【答案】 【解析】先分析四个答案,A举一反例a1=2,a=-1,则a=-4,a1+a2>0,而a2+a30,B错误;下面针 对C进行研究,{an}是等差数列,若00,设公差为d,则d0,数列各项均 为正,由于a2-a1a3=(a1+d)2-a(a1+2d)=ai+2ad+dP ad=dP>0,则a2>a1a3→ an2>yVa1a3,选C. 二、填空题: 9.等差数列{an}中,已知a+a3+a0+a1=36,则as+a=
2 【解析】∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列． 又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝ 100， ∴{an＋bn}的公差为 0，∴数列{an＋bn}的第 37 项为 100. 故选 C． 7．下列命题中正确的个数是 ( ) (1)若 a，b，c 成等差数列，则 a 2，b 2，c 2 一定成等差数列； (2)若 a，b，c 成等差数列，则 2 a,2 b,2 c可能成等差数列； (3)若 a，b，c 成等差数列，则 ka＋2，kb＋2，kc＋2 一定成等差数列； (4)若 a，b，c 成等差数列，则1 a ， 1 b ， 1 c 可能成等差数列． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【解析】 对于(1)取 a＝1，b＝2，c＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错． 对于(2)，a＝b＝c⇒2 a＝2 b＝2 c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c 成等差数列， ∴a＋c＝2b.∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确； 对于(4)，a＝b＝c≠0⇒ 1 a ＝ 1 b ＝ 1 c ，(4)正确，综上选 B． 点评; 等差数列的性质; (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和． 即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…… (2)若{an}、{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) {c·an} 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) {pan＋qbn} 公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q)为常数 (3){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列；d0，而 a2＋a30，B 错误；下面针 对 C 进行研究，{an}是等差数列，若 00，设公差为 d，则 d>0，数列各项均 为正，由于 a 2 2－a1a3＝(a1＋d) 2－a1(a1＋2d)＝a 2 1＋2a1d＋d 2－a 2 1－2a1d＝d 2>0，则 a 2 2>a1a3⇒ a2> a1a3，选 C． 二、填空题： 9．等差数列{an}中，已知 a2＋a3＋a10＋a11＝36，则 a5＋a8＝
【答案】18 【解析】解法1:根据题意,有(a1+d+(a1+2d+(an1+9d+(an+10d=36, ∴4a1+22d=36,则2a1+1ld=18 ∴as+ag=(a1+4a+(a1+7d=2a1+1ld=18. 解法2:根据等差数列性质,可得as+a8=a3+a10=a2+am=36÷2=18 10.已知等差数列{an}中,a3、a5是方程x2-6x-1=0的两根,则a+ag+a+a10+an= 【答案】15 【解析】∵a+a1s=6,又a+a11=a8+a10=2a=a3+as, ∵an+ag+a+a1o+an=(2+)a3+a1s)=2×6=15 1.若xy,两个数列x,a1,a2,a,y和x,b,b2,b3,b,y都是等差数列,则二 【答案】 【解析】设两个等差数列的公差分别为d,h,由已知,得=x+4d,m(4=y-x, y=x+5d2, 解得5 12.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积 为 【答案】153 a2+a-4 a+42 【解析】设△ABC的三边长为a-4,a,a+4(a>4),则 解得G=0,三边长分别为61014所1以5=160=35 三、解答题 13.已知等差数列{an}的公差d>0,且aa7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式 【答案】2n-12 【解析】由等差数列的性质,得a3+a=a4+a6=-4,又∵aa=-12, a3、a是方程x2+4x-12=0的两根.又∵d0,∴a3=-6,a=2 ∴a-a3=4d=8,∴d=2.:an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12 14.四个数成等差数列,其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少 求此四个数 【答案】见解析 【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d2+(a-d)2+(a+d2+(a+3d2=94→2a2+10dF=47①
3 【答案】18 【解析】 解法 1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36， ∴4a1＋22d＝36，则 2a1＋11d＝18. ∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18. 解法 2：根据等差数列性质，可得 a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 10．已知等差数列{an}中，a3、a15 是方程 x 2－6x－1＝0 的两根，则 a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝ 【答案】15 【解析】 ∵a3＋a15＝6，又 a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15， ∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋ 1 2 )(a3＋a15)＝ 5 2 ×6＝15. 11．若 x≠y，两个数列 x，a1，a2，a3，y 和 x，b1，b2，b3，b4，y 都是等差数列，则a2－a1 b3－b2 ＝ . 【答案】 5 4 【解析】设两个等差数列的公差分别为 d1，d2，由已知，得 y＝x＋4d1， y＝x＋5d2， 即 4d1＝y－x， 5d2＝y－x， 解得d1 d2 ＝ 5 4 ，即a2－a1 b3－b2 ＝ d1 d2 ＝ 5 4 . 12．已知△ABC 的一个内角为 120°，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则△ABC 的面积 为 . 【答案】15 3. 【解析】设△ABC 的三边长为 a－4，a，a＋4(a>4)，则a 2＋ a－4 2－ a＋4 2 2a a－4 ＝－ 1 2 ， 解得 a＝10，三边长分别为 6,10,14.所以 S△ABC＝ 1 2 ×6×10× 3 2 ＝15 3. 三、解答题 13．已知等差数列{an}的公差 d>0，且 a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式. 【答案】2n－12. 【解析】由等差数列的性质，得 a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12， ∴a3、a7 是方程 x 2＋4x－12＝0 的两根．又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2. ∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12. 14．四个数成等差数列，其平方和为 94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少 18， 求此四个数. 【答案】见解析 【解析】设四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得， (a－3d) 2＋(a－d) 2＋(a＋d) 2＋(a＋3d) 2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.①
又(a-3d(a+3d=(a-d(a+d-18=8F=18→d=代入①得a=士,故所求四数为85,2, 或1,-2,-5,-8或-1,2,5,8或-8, 15.设数列{an}是等差数列,bn=()an又b+b+b=Q,bzb3=,求通项an 【答案】见解析 【解析】:bb=又b=M:n2mn= ∵G)a1+a+ ∴a1+a2+a3=3, 又{an}成等差数列:a2=1,a1+a2=2,:bb=1,b1+b3=1, b1=2 1或 an=-1 a3=3 a3=-1 ∴an=2n-3或
4 又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d 2＝18⇒d＝± 3 2 代入①得 a＝± 7 2 ，故所求四数为 8,5,2， －1 或 1，－2，－5，－8 或－1,2,5,8 或－8，－5，－2，1. 15．设数列{an}是等差数列，bn＝( 1 2 )an 又 b1＋b2＋b3＝ 21 8 ，b1b2b3＝ 1 8 ，求通项 an. 【答案】见解析 【解析】 ∵b1b2b3＝ 1 8 ，又 bn＝( 1 2 )an，∴( 1 2 )a1·(1 2 )a2·(1 2 )a3＝ 1 8 . ∴( 1 2 )a1＋a2＋a3＝ 1 8 ，∴a1＋a2＋a3＝3， 又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2， ∴b1b3＝ 1 4 ，b1＋b3＝ 17 8 ， ∴ b1＝2 b3＝ 1 8 或 b1＝ 1 8 b3＝2 ，即 a1＝－1 a3＝3 或 a1＝3 a3＝－1 ， ∴an＝2n－3 或 an＝－2n＋5