第二章 数列 DIERZHANG 21 数列的概念与简单表示法 第一课时数列的概念与简单表示法 以本为本·抓以基 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P28~29,思考并完成以下问题 (1)什么是数列?什么叫数列的通项公式? (2)数列的项与项数一样吗? (3)数列与函数有什么关系,数列通项公式与函数解析式有什么联系? 1.数列的概念 (1)定义:按照一定厕序排列的一列数称为数列 (2项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.a称为数列{an}的第1项或称为首项, 2称为第2项,…,an称为第n项 (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a,a,a3,…,an,…,简记为un} 点睛](1)数列中的数是按一定顺序排列的.因此,如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同,那么它们就是不同的数列.例如,数列4,56,7,8,910与数列109,87,6.5,4是不 同的数列 (2)在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以 重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,… 2.数列的分类
数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与简单表示法 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？ (2)数列的项与项数一样吗？ (3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第 1 项(或称为首项)， a2 称为第 2 项，…，an称为第 n 项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列 4,5,6,7,8,9,10 与数列 10,9,8,7,6,5,4 是不 同的数列． (2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以 重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 2．数列的分类 预习课本 P28～29，思考并完成以下问题
分类标准名称 含义 有穷数列 项数有限的数列 按项的个数 无穷数列 项数无限的数列 递增数列从第2项起,每一项都大王它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 按项的变化 地势 各项相等的数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的 摆动数列 前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式 点睛](1)激列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{,23,…,n} 为定义域的函数解析式 (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的教列都有逼项公式 小賞身手 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列1,1,1,…是无穷数列 (2)数列12,34和数列12,43是同一个数列() (3)有些数列没有通项公式() 解析:(1)正确.每项都为1的常数列,有无穷多项 (2)错误,虽然都是由1,2,34四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同, 不是同一个数列. (3)正确,某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项 公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式 谷案:(1)√(2)×(3)√ 2.在数列-,0,1,1 …中,0.08是它的( A.第100项 B.第12项 C.第10项 D.第8项 解析:选C∵a="n2令"n20,.解得=10戴n三含去 3n+1,n为奇数, 3.数列的通项公式为a=12n-2,m为偶数,则a2a等于()
分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化 趋势 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项的数列 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限子集{1,2,3，…，n} 为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1,1,1，…是无穷数列( ) (2)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列( ) (3)有些数列没有通项公式( ) 解析：(1)正确．每项都为 1 的常数列，有无穷多项． (2)错误，虽然都是由 1,2,3,4 四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同， 不是同一个数列． (3)正确，某些数列的第 n 项 an和 n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项 公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式． 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．在数列－1,0， 1 9 ， 1 8 ，…， n－2 n 2 ，…中，0.08 是它的( ) A．第 100 项 B．第 12 项 C．第 10 项 D．第 8 项 解析：选 C ∵an＝ n－2 n 2 ，令n－2 n 2 ＝0.08，解得 n＝10 或 n＝ 5 2 (舍去)． 3．数列的通项公式为 an＝ 3n＋1，n为奇数， 2n－2，n为偶数， 则 a2·a3 等于( )
A.70 B.28 1,m为奇数, 解析:选C由a21n-2,n为俩数,得m2=2,a=10,所以a2a3=20. 4.在数列1,1,2,3,5,8,x,2134,55,…中,x= 解析:通过观察数列各项的大小关系,发现从第三项起,每项的值都等于前两项值之 和,因此x=5+8=13 谷案:13 学用结合·通技活 课堂讲练设计,举一能通类题 数列的概念及分类 典例]下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() B 2r.3r.4π · D.1,2,3,4,…,30 /解析数列13’323…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列 3 是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列 教列一1“2-3,、1…是无穷数列,也是遁增数列;敷列1234 30是递增数 列,但不是无穷数列 谷案]C 一类题通店 有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列是有限项还是无限项.若数 列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列 2.数列单调性的判斷 判断数列的单调性,则需要从第2项超,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满
A．70 B．28 C．20 D．8 解析：选 C 由 an＝ 3n＋1，n为奇数， 2n－2，n为偶数， 得 a2＝2，a3＝10，所以 a2·a3＝20. 4．在数列 1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________. 解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之 和，因此 x＝5＋8＝13. 答案：13 数列的概念及分类 [典例] 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1， 1 3 ， 1 3 2， 1 3 3，… B．sin π 13，sin 2π 13，sin 3π 13，sin 4π 13，… C．－1，－ 1 2 ，－ 1 3 ，－ 1 4 ，… D．1,2,3,4，…，30 [解析] 数列 1， 1 3 ， 1 3 2， 1 3 3，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列 sin π 13，sin 2π 13，sin 3π 13，sin 4π 13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列； 数列－1，－ 1 2 ，－ 1 3 ，－ 1 4 ，…是无穷数列，也是递增数列；数列 1,2,3,4，…，30 是递增数 列，但不是无穷数列． [答案] C 1．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数 列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 2．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第 2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满
足anan1,则是递增数列;若满足an>an+1,则是递减数列;若满足an=am1,则是常数列; 若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列 活学活用 给出以下数列: ①1,-1,1 ②2,,6,8,…,1000; ⑧8,8,8,8,…; ④0.,0.820.830.84,…,0.810. 其中,有穷数列为 无穷数列为 ;递增数列为_;递减数列 为 摆动数列为 ;常数列为.(填序号) 解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递减数列为④;摆动列 为①;常数列为③. 答案:②④①③②④①③ 题型 由数列的前几项求通项公式 典例」()数列,,53 的一个通项公式是 (2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式 12×43×54×6·5×7 7 ③2,6,2,6, 解析(1)数列可写为:3456…分子满足:3=1+24=2+2,5=3+2,6= 5,8’11’14 4+2, 分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…, 故通项公式为an= n+2 谷案]an (2)解:①均是分式且分子均为1,分母均是两因数的积,第一个因数是项数加上1,第 二个因数比第一个因数大2, (n+1)(n+3 ②正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)来表示符号,各项的绝对值恰是2的整数
足 anan＋1，则是递减数列；若满足 an＝an＋1，则是常数列； 若 an与 an＋1 的大小不确定时，则是摆动数列． [活学活用] 给出以下数列： ①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000； ③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810 . 其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列 为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号) 解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列 为①；常数列为③. 答案：②④ ①③ ② ④ ① ③ 由数列的前几项求通项公式 [典例] (1)数列3 5 ， 1 2 ， 5 11， 3 7 ，…的一个通项公式是________． (2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式． ① 1 2×4 ， 1 3×5 ， 1 4×6 ， 1 5×7 ，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，…. [解析] (1)数列可写为：3 5 ， 4 8 ， 5 11， 6 14，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝ 4＋2，…， 分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为 an＝ n＋2 3n＋2 . [答案] an＝ n＋2 3n＋2 (2)解：①均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上 1，第 二个因数比第一个因数大 2， ∴an＝ 1 (n＋1)(n＋3) . ②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是 2 的整数
次幂减1 an=(-1)"(2m1-1) 2+6 ③为摆动数列,一般求两数的平均数,=4,而2=4-26=42,中间符号用(-1) 来表示 是奇数, an=4+(-1)2或 6,n是偶数 一类题通法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系 (2)若n和n+1项正负交错,那么符号用(-1y或(-1)y+1或(-1-1来调控 (3)悉一些常见数列的通项公式 (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结 构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的 “和”“差”“积”“离”后再进行归纳 活学活用 写出下列数列的一个通项公式 (1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)1 4)1,ll, 111, 1 111, 解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1 所以它的一个通项公式是an=n2-1 (2)数列各项的绝对值为13,57,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶 数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)+(2n-1) (3)此数列的整数部分1,2,34,“恰妤是序号n,分数部分与序号n的关系为 n+1 n2+2n 所求的数列的一个通项公式为an=n+ n+1n+1 (4)原数列的各项可变为。×90×9。×99。×999…,易知数列99999990 的一个通项公式为an=10-1所以原数列的一个通项公式为an=(10-1
次幂减 1， ∴an＝(－1)n (2n＋1－1)． ③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋6 2 ＝4，而 2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示． an＝4＋(－1)n·2 或 an＝ 2，n是奇数， 6，n是偶数. 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1 或(－1)n－1 来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式． (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结 构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的 “和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [活学活用] 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1 1 2 ，2 2 3 ，3 3 4 ，4 4 5 ，…； (4)1,11,111,1 111，…. 解：(1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…， 所以它的一个通项公式是 an＝n 2－1. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶 数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1 (2n－1)． (3)此数列的整数部分 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为 n n＋1 ，故 所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋ n n＋1 ＝ n 2＋2n n＋1 . (4)原数列的各项可变为1 9 ×9， 1 9 ×99， 1 9 ×999， 1 9 ×9 999，…，易知数列 9,99,999,9 999，… 的一个通项公式为 an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为 an＝ 1 9 (10n－1)
判定数列中项的问题 典例]已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍 (1)求这个数列的第4项与第25项; (2)253和153是不是这个数列中的项?如果是,是第几项? 解!(1)由题设条件,知an=V+2n ∴a4=√4+2×4=10,a2s=√25+2×25=55 (2)假设253是这个数列中的项,则253=√m+2n,解得n=121253是这个数列的第 121项 假设15是这个数列中的项,则153=Vm+2m,解得n=7这与nm是正整数矛盾, 153不是这个数列中的项 类题通店 已知数列{al的通项公式,判断某一个数是否是数列{an}的项,即令通项公式等于该数, 解关于n的方程,若解得n为正整数k,则该数为数列{an}的第k项,若关于n的方程无解 或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项 活学活用 数列1,12.123123,4,…,则是该数列的() 2’1’321,43,21 第127项 第 128项 第129项 第130项 解析:选B把该数列的第一项1写成,再将该数列分组,第一組一项:;第二组 两项:x1第三血三项:3第四血四须:32,1“靠场发现:每血中每 分数的分子、分母之和均为该组序号加1,且每组的分子从1开始逐一增加,因此。应位于 第十六组中第八位,由1+2+…+15+8=128,得是该数列的第128项, 多练提能·熟生巧 课后层级训练,步步提升能力 层级一学业水平达标 1.有下面四个结论: ①数列可以看作是一个定义在正整数集或它的有限子集)上的函数 ②数列的项数一定是无限的
判定数列中项的问题 [典例] 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的 2 倍． (1)求这个数列的第 4 项与第 25 项； (2)253 和 153 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)由题设条件，知 an＝ n＋2n. ∴a4＝ 4＋2×4＝10，a25＝ 25＋2×25＝55. (2)假设 253 是这个数列中的项，则 253＝ n＋2n，解得 n＝121.∴253 是这个数列的第 121 项． 假设 153 是这个数列中的项，则 153＝ n＋2n，解得 n＝72 1 4 ，这与 n 是正整数矛盾， ∴153 不是这个数列中的项． 已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数， 解关于 n 的方程，若解得 n 为正整数 k，则该数为数列{an}的第 k 项，若关于 n 的方程无解 或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项． [活学活用] 数列 1， 1 2 ， 2 1 ， 1 3 ， 2 2 ， 3 1 ， 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ，…，则8 9 是该数列的( ) A．第 127 项 B．第 128 项 C．第 129 项 D．第 130 项 解析：选 B 把该数列的第一项 1 写成1 1 ，再将该数列分组，第一组一项：1 1 ；第二组 两项：1 2 ， 2 1 ；第三组三项：1 3 ， 2 2 ， 3 1 ；第四组四项：1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ；…容易发现：每组中每个 分数的分子、分母之和均为该组序号加 1，且每组的分子从 1 开始逐一增加，因此8 9 应位于 第十六组中第八位．由 1＋2＋…＋15＋8＝128，得8 9 是该数列的第 128 项． 层级一 学业水平达标 1．有下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的；
数列的通项公式的形式是唯一的 ④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通项公式 其中正确的是() B.①②C.③④ D.②④ 解析:选A结合数列的定义与函数的概念可知,①正确;有穷数列的项数就是有限 的,因此②错误;数列的通项公式的形式不一定唯一,③错误;数列1,32,6,3,9,4,12,5,15, 存在通项公式,④错误.故选A. 2.下列说法正确的是() A.数列1,3,5,7与数集{13,,7}是一样的 B.数列1,2,3与数列32,1是相同的 C.数列1+-是递增数列 D.数列1+}是摆动数列 解析:选D数列是有序的,而数集是无序的,所以A,B不正确;选项C中的数列 是递减数列;选项D中的数列是摆动数列 3.数列{an中,an=3,则a2等于() A.2 B.3 解析:选B因为an=3-1,所以a2=321=3 4.数列0, 3√√l5√6 的一个通项公式是( B 解析:选C已知数列可化为:0, 4,5,V6 已知数列3…,?则0%是该数列的() A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项 解析:选C由_1,=0.96,解得n=24 6.已知数列,5,2√2, ,则2是该数列的第 解析::a=2,a=5,a=8,a=√
③数列的通项公式的形式是唯一的； ④数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式． 其中正确的是( ) A．① B．①② C．③④ D．②④ 解析：选 A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限 的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，… 存在通项公式，④错误．故选 A. 2．下列说法正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 与数集{1,3,5,7}是一样的 B．数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是相同的 C．数列 1＋ 1 n 是递增数列 D．数列 1＋ (－1) n n 是摆动数列 解析：选 D 数列是有序的，而数集是无序的，所以 A，B 不正确；选项 C 中的数列 是递减数列；选项 D 中的数列是摆动数列． 3．数列{an}中，an＝3 n－1，则 a2 等于( ) A．2 B．3 C．9 D．32 解析：选 B 因为 an＝3 n－1，所以 a2＝3 2－1＝3. 4．数列 0， 3 3 ， 2 2 ， 15 5 ， 6 3 ，…的一个通项公式是( ) A．an＝ n－2 n B．an＝ n－1 n C．an＝ n－1 n＋1 D．an＝ n－2 n＋2 解析：选 C 已知数列可化为：0， 1 3 ， 2 4 ， 3 5 ， 4 6 ，…，故 an＝ n－1 n＋1 . 5．已知数列1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，…， n n＋1 ，则 0.96 是该数列的( ) A．第 20 项 B．第 22 项 C．第 24 项 D．第 26 项 解析：选 C 由 n n＋1 ＝0.96，解得 n＝24. 6．已知数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列的第________项． 解析：∵a1＝ 2，a2＝ 5，a3＝ 8，a4＝ 11
l=25→3n-1=20→n=7, ∴25是该数列的第7项 答案 7.数列a,b,a,b,…的一个通项公式是 a+b a-b a+b a+b 解析:a= 答案 +(-1)" 8.已知数列{an}的通项公式an=19-n,则使an>0成立的最大正整数n的值为 解析:由an=19-2n>0,得r2 n∈N,n≤9 答案:9 9.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式: n3,2 7 3 152 (3)2,1, 解:(1)根据观察:分母的最小公倍数为12,把各项都改写成以12为分母的分数,则 序号 ↓↓↓ 98 54 121212 于是应填,,而分子恰为10减序号, 10-n 故应填通项公式为an= √54+ 6+1 1516-1
∴an＝ 3n－1. 由 3n－1＝2 5⇒3n－1＝20⇒n＝7， ∴2 5是该数列的第 7 项． 答案：7 7．数列 a，b，a，b，…的一个通项公式是________． 解析：a＝ a＋b 2 ＋ a－b 2 ，b＝ a＋b 2 － a－b 2 ，故 an＝ a＋b 2 ＋(－1)n＋1 a－b 2 . 答案：a＋b 2 ＋(－1)n＋1 a－b 2 8．已知数列{an}的通项公式 an＝19－2n，则使 an>0 成立的最大正整数 n 的值为 ________． 解析：由 an＝19－2n>0，得 n< 19 2 . ∵n∈N*，∴n≤9. 答案：9 9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1) 3 4 ， 2 3 ， 7 12，________， 5 12， 1 3 ，…； (2) 5 3 ，________， 17 15 ， 26 24 ， 37 35 ，…； (3)2,1，________， 1 2 ，…； (4) 3 2 ， 9 4 ，________， 65 16，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为 12，把各项都改写成以 12 为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 9 12 8 12 7 12 ________ 5 12 4 12 于是应填 6 12，而分子恰为 10 减序号， 故应填1 2 ，通项公式为 an＝ 10－n 12 . (2) 5 3 ＝ 4＋1 4－1 ， 17 15 ＝ 16＋1 16－1
25+1 2425-1 37V36+ 只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平 方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差,故应填 逼项公式为an a+D)+1 (m+1)2-1 为2=2,1-22-2所以数列缺少部分数列的通项公式为-2 (4先将原数列变形为12,2 ,所以应填 3, 数列的通项公式为 n.数列{a中,a=a,a+=,2m,写出这个数列的前4项,并根据前4项观察规 n 律,写出该数列的一个通项公式 解 a, an+11+an 2a22X 1十 2a1+3a 1+7观察规律 1+a 1+(2m1-1)a 层级二应试能力达标 1.已知数列{a的通项公式a,=m+1则aan++2等于() B. n+2 n+1 n+1 nn+1n+2 解析:选 B aa+1·an n+1n+2n+3n+3 故 2.数列1, 79 的一个通项公式是 2n+1 2+nnEN) B.an=(-1)
26 24 ＝ 25＋1 25－1 ， 37 35 ＝ 36＋1 36－1 . 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加 1 的平 方与 1 的和的算术平方根，分母为序号加 1 的平方与 1 的差．故应填 10 8 ， 通项公式为 an＝ (n＋1) 2＋1 (n＋1) 2－1 . (3)因为 2＝ 2 1 ，1＝ 2 2 ， 1 2 ＝ 2 4 ，所以数列缺少部分为2 3 ，数列的通项公式为 an＝ 2 n . (4)先将原数列变形为 1 1 2 ，2 1 4 ，________，4 1 16，…，所以应填 3 1 8 ，数列的通项公式为 an＝n＋ 1 2 n . 10．数列{an}中，a1＝a，an＋1＝ 2an 1＋an ，写出这个数列的前 4 项，并根据前 4 项观察规 律，写出该数列的一个通项公式． 解：∵a1＝a，an＋1＝ 2an 1＋an ， ∴ a2＝ 2a 1＋a ， a3＝ 2a2 1＋a2 ＝ 2× 2a 1＋a 1＋ 2a 1＋a ＝ 4a 1＋3a ，同理：a4＝ 8a 1＋7a ，观察规律：an＝ 2 n－1·a 1＋(2 n－1－1)a . 层级二 应试能力达标 1．已知数列{an}的通项公式 an＝ n n＋1 ，则 an·an＋1·an＋2 等于( ) A. n n＋2 B. n n＋3 C. n＋1 n＋2 D. n＋1 n＋3 解析：选 B an·an＋1·an＋2＝ n n＋1 · n＋1 n＋2 · n＋2 n＋3 ＝ n n＋3 .故选 B. 2．数列 1，－ 5 8 ， 7 15，－ 9 24，…的一个通项公式是( ) A．an＝(－1)n＋1 2n＋1 n 2＋n (n∈N* ) B．an＝(－1)n－1 2n－1 n 2＋3n (n∈N* )
C.a=(-1)y+2n-1 n2+2n(n∈N 2n+1 +2n 解析:选DA项中o3 2,B项中a=4C项中m=3,D项中m=1,因此首先排 除A、B、C,故选D 3.图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成: 通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为() A.3n-1 B. 3I C.3n+1 D.3(n+1) 解析ε选C通过观察,第1个图形中,火柴棒有4根;第2个图形中,火柴榫有4 十3根;第3个图形中,火柴榫有4+33=4+3×2根;第4个图形中,火柴棒有4+3 3十3=4+3×3根;第5个图形中,火柴榫有43+33+3=4+3×4根,…,可以发现, 从第二项起,每一项与前一项的差都等于3,即a2-a=3,a-a2=3,a4-a=3,5-a4 =3,…,an-an1=3m≥2),把上面的式子累加,则可得第n个图形中,an=4+3n-1) =3n+1(根) 4,已知数列{an}的通项公式是 n+1那么这个数列是() 递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:选Aan=n1;=1 n n+1:当n越,+越小,则a越,故该数列是通 增数列 5.数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…其通项公式为 解析:1=12, 1+2+1=4=2 12+3+2十1=9=32, 1十2+3+4+3+2+1=16=42 观察归纳出遁项公式为an=m2 答案:an=n2
C．an＝(－1)n＋1 2n－1 n 2＋2n (n∈N* ) D．an＝(－1)n－1 2n＋1 n 2＋2n (n∈N* ) 解析：选 D A 项中 a1＝ 3 2 ，B 项中 a1＝ 1 4 ，C 项中 a1＝ 1 3 ，D 项中 a1＝1，因此首先排 除 A、B、C，故选 D. 3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成： 通过观察可以发现：第 n 个图形中，火柴棒的根数为( ) A．3n－1 B．3n C．3n＋1 D．3(n＋1) 解析：选 C 通过观察，第 1 个图形中，火柴棒有 4 根；第 2 个图形中，火柴棒有 4 ＋3 根；第 3 个图形中，火柴棒有 4＋3＋3＝4＋3×2 根；第 4 个图形中，火柴棒有 4＋3＋ 3＋3＝4＋3×3 根；第 5 个图形中，火柴棒有 4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4 根，…，可以发现， 从第二项起，每一项与前一项的差都等于 3，即 a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4 ＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第 n 个图形中，an＝4＋3(n－1) ＝3n＋1(根)． 4．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n－1 n＋1 ，那么这个数列是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：选 A an＝ n－1 n＋1 ＝1－ 2 n＋1 ，∴当 n 越大， 2 n＋1 越小，则 an越大，故该数列是递 增数列． 5．数列 1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…其通项公式为________． 解析：1＝1 2， 1＋2＋1＝4＝2 2， 1＋2＋3＋2＋1＝9＝3 2， 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4 2， … 观察归纳出通项公式为 an＝n 2 . 答案：an＝n 2