重
第三章 不等式 3.4 基本不等式： 2 a b ab +
ETnV ICM 2002 B eIll 点访谈 这是200年在北京召开的第24届国际数学家大会 会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热 情好客
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会 会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热 情好客
思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
探究1: 1、正方形ABcD的 tb 面积S=4+b2 C2、四个直角三角形的 A bGH 面积和S 2ab 3、S与S有什么 样的不等关系? 问:那么它们有相等的情况吗?
A D C B H F G a E b 2 2 a +b 2 2 a + b 1、正方形ABCD的 面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 面积和S’= 2＿＿ab ３、S与S’有什么 样的不等关系？ 探究１： S____S′ 问：那么它们有相等的情况吗？ >
va+ F C A E(FGH) C AHTEA B B 重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,我们有 a2+62>2ab 当且仅当a=b时,等号成立
A D B C E F G H b a 2 2 a b + 重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 2 2 a b ab + 2 A B C D E(FGH) a b
思考:你能给出不等式a2+b2≥2ab的证明吗? 证明:(作差法)a2+b2-2ab=(a-b) 当a≠砂时(a-b)2>0 当a=b时(a-b)2=0 所以a-b)2=0 所以a2+b2≥2b
思考：你能给出不等式 的证明吗？ a b 2ab 2 2 + − ( ) 0 2 a − b ( ) 0 2 a − b = 2 所以( ) 0 a b − ≥ 2 2 所以a b ab + ≥2 . 当a b时 当a = b时 2 2 a b ab + ≥2 证明：（作差法） 2 = (a −b)
结论:一般地,对于任意实数a、b,总有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立 适用范围:a,b∈R 文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍. 问题一如果a>0b>0我们用G,v分别代替ab 可得到什么结论?
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 2 2 a b ab + ≥2 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 如果a b a b a b 0, 0, , , , 我们用 分别代替 可得到什么结论？
问题一如果a>0b>0我们用G,b分别代替ab 可得到什么结论? 替换后得到:(√a)2+(b)2≥2Vab 即:a+b≥2yb atb ≥Vab(a>0,b>0) 2 问题二你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?
如果a b a b a b 0, 0, , , , 我们用 分别代替 可得到什么结论？ 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b + ≥ 2 a b ab + ≥ 替换后得到： 即： (a 0,b 0) 即： a b ab + ≥2 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
问题二证明不等式 小.q+bzVb(a>0,b>0) 证明:要证a+b 分 ≥√ab 析① 只要证a+b≥b 法 要证,只要证a+b-2ab≥0 (a>0,b>0,a=(a),b=(Vb)2) 要证②,只要证(a-b)2=0 显然,③是成立的当且仅当a=b时,③中的等号成立
2 a b ab + 证明：要证 ≥ 只要证 a b + ≥_______ ① 要证②，只要证 a b + − _____ 0 ≥ ② 要证②，只要证 2 (___ ___) 0 − ≥ ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分 析 法 2 2 ( 0, 0, ( ) , ( ) ) a b a a b b = = 2 a b ab + 证明不等式： ≥ (a 0,b 0) 2 ab2 ab a b ④