第三章34第2课时 基础巩固 、选择题 1.已知正数a、b满足ab=10,则a+b的最小值是() A.10 B.25 [答案] 解析]a+b≥2如b=2√10,等号在a=b=√10时成立,∴选D 2.已知m、n∈R,m2+n2=100,则m的最大值是( A.100 B.50 D.10 [答案]B m2+n2 [解析]由m2+n2≥2m得,m 20,等号在m=n=5√2时成立,故选B 3.若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( B.-+≤1 a2+b2 [答案]D +b [解析]∵a>0,b>0,a+b=4,∴√ab 2 ≥1,故A、B、C均错,选D 4.已知正数x、y满足一+=1,则x有() A.最小值6 B.最大值16 C.最小值16 D.最大值 答案]C [解析]∵x0,y>0,∴+≥
第三章 3.4 第 2 课时 一、选择题 1．已知正数 a、b 满足 ab＝10，则 a＋b 的最小值是( ) A．10 B．25 C．5 D．2 10 [答案] D [解析] a＋b≥2 ab＝2 10，等号在 a＝b＝ 10时成立，∴选 D. 2．已知 m、n∈R，m2＋n 2＝100，则 mn 的最大值是( ) A．100 B．50 C．20 D．10 [答案] B [解析] 由 m2＋n 2≥2mn 得，mn≤ m2＋n 2 2 ＝50，等号在 m＝n＝5 2时成立，故选 B. 3．若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A. 1 ab > 1 2 B． 1 a ＋ 1 b ≤1 C. ab≥2 D． 1 a 2＋b 2≤ 1 8 [答案] D [解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴ ab≤ a＋b 2 ＝2， ∴ab≤4，∴ 1 ab≥ 1 4 ， ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b ab ＝ 4 ab≥1，故 A、B、C 均错，选 D. 4．已知正数 x、y 满足1 x ＋ 4 y ＝1，则 xy 有( ) A．最小值 1 16 B．最大值 16 C．最小值 16 D．最大值 1 16 [答案] C [解析] ∵x>0，y>0，∴ 1 x ＋ 4 y ≥2 4 xy ＝4 1 xy ，又∵ 1 x ＋ 4 y ＝1， ∴4 1 xy ≤1
xy≥16,故选C. 5.设a、b是实数,且a+b=3,则2+2的最小值是() B.4 6 D.8 [答案]B [解析]∵2∞0,2∞>0,a+b=3 2+2≥2V22=2V2+b=2V=4V, 等号成立时,2=2b,∴a=b=3 6.实数x、y满足x+2y=4,则3+9y的最小值为() B.12 D.√3 答案]A [解析]∵x+2y=4,∴3+9=32+32 ≥ y+2=2V 等号在3=32即x=2y时成立 x+2y=4,∴x=2,y=1时取到最小值18 二、填空题 含)50,y0,则x的最小值是 解析]∵x>0,y>0,xF 2≥2 当且仅当=3,且5+3=2,即x=5,y=3时,取等号 8.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每 平方米120元和80元,那么水池的最低总造价为元 [答案]1760 [解析]设水池池底的一边长为xm,则另一边长为-m,则总造价为 y=48+8×2+9×2-48939
∴ 1 xy ≤ 1 16， ∴xy≥16，故选 C. 5．设 a、b 是实数，且 a＋b＝3，则 2 a＋2 b 的最小值是( ) A．6 B．4 2 C．2 6 D．8 [答案] B [解析] ∵2 a >0,2 b >0，a＋b＝3， ∴2 a＋2 b≥2 2 a·2b＝2 2 a＋b＝2 2 3＝4 2， 等号成立时，2 a＝2 b，∴a＝b＝ 3 2 . 6．实数 x、y 满足 x＋2y＝4，则 3 x＋9 y的最小值为( ) A．18 B．12 C．2 3 D． 4 3 [答案] A [解析] ∵x＋2y＝4，∴3 x＋9 y＝3 x＋3 2y ≥2 3 x·32y＝2 3 x＋2y＝2 3 4＝18， 等号在 3 x＝3 2y即 x＝2y 时成立． ∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1 时取到最小值 18. 二、填空题 7．已知5 x ＋ 3 y ＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是________． [答案] 5 [解析] ∵x>0，y>0， 5 x ＋ 3 y ＝2， ∴2≥2 15 xy ，∴xy≥15， 当且仅当5 x ＝ 3 y ，且5 x ＋ 3 y ＝2，即 x＝5，y＝3 时，取等号． 8．建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每 平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为__________元． [答案] 1 760 [解析] 设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为4 x m，则总造价为： y＝480＋80× 2x＋2× 4 x ×2＝480＋320 x＋ 4 x
≥480+320×21/x× 760 当且仅当x=即x=2时,y取最小值1760 所以水池的最低总造价为1760元 三、解答题 9.已知a、b、c∈R*,求证:9+2+≥a+b+c i证明∵:a、b、c∈R,g,,三均大于0, b- C=26 式相加得+b++c++a≥2a+2b+2c ≥a+b+c 10.已知a、b、c∈R,求证:Ⅷ+b2+Vb2+2+VP2+a≥2(a+b+c) 证明·叶+ba2+b2 2+b2≥b 2{a+b)a,b∈R等号在a=b时成立) 同理V2+c2≥2(b+c)(等号在b=c时成立) +c2≥y(a+c等号在a=c时成立) 式相加得2+b2+√b2+c+2+c2 (a+b)+y(b+c)+2(a+c =√2(a+b+c等号在a=b=c时成立) ⌒能力提升 一、选择题 1.设x+3y-2=0,则3x+27+1的最小值为()
≥480＋320×2 x× 4 x ＝1 760. 当且仅当 x＝ 4 x 即 x＝2 时，y 取最小值 1 760. 所以水池的最低总造价为 1 760 元． 三、解答题 9．已知 a、b、c∈R ＋，求证： a 2 b ＋ b 2 c ＋ c 2 a ≥a＋b＋c. [证明] ∵a、b、c∈R ＋， a 2 b ， b 2 c ， c 2 a 均大于 0， 又 a 2 b ＋b≥2 a 2 b ·b＝2a， b 2 c ＋c≥2 b 2 c ·c＝2b， c 2 a ＋a≥2 c 2 a ·a＝2c， 三式相加得a 2 b ＋b＋ b 2 c ＋c＋ c 2 a ＋a≥2a＋2b＋2c， ∴ a 2 b ＋ b 2 c ＋ c 2 a ≥a＋b＋c. 10．已知 a、b、c∈R，求证： a 2＋b 2＋ b 2＋c 2＋ c 2＋a 2≥ 2(a＋b＋c)． [证明] ∵ a＋b 2 ≤ a 2＋b 2 2 ，∴ a 2＋b 2≥ a＋b 2 ＝ 2 2 (a＋b)(a，b∈R 等号在 a＝b 时成立)． 同理 b 2＋c 2≥ 2 2 (b＋c)(等号在 b＝c 时成立)． a 2＋c 2≥ 2 2 (a＋c)(等号在 a＝c 时成立)． 三式相加得 a 2＋b 2＋ b 2＋c 2＋ a 2＋c 2 ≥ 2 2 (a＋b)＋ 2 2 (b＋c)＋ 2 2 (a＋c) ＝ 2(a＋b＋c)(等号在 a＝b＝c 时成立). 一、选择题 1．设 x＋3y－2＝0，则 3 x＋27y＋1 的最小值为( )
B.3 C.1+2V2 D.5 答案] [解析]由已知得x+3y=2 33>0.27>0, ∴3+27+1≥23+1=6+1=7, 当且仅当33=27", 即x=1,y=时等号成立 2.已知0,b0,且a+b=,则)(2-)的最小值为 A.6 B.7 [答案]D [解析]∵a+b=1,a>0,b>0 ≤,等号在a=b=时成立 (1+a)b(1+b)a(1+a)(1+b) b2 b 2+ab2 1≥+1=9,故选D 3.若直线2ax-by+2=00,b0被圆x+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+b 的最小值为() B [答案 [解析]圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆的直径为4,而直线被圆截得的弦长为 4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即a+b=1, ≥2+2 =4(等号在a=b=÷时成立) 故所求最小值为4,选D
A．7 B．3 3 9 C．1＋2 2 D．5 [答案] A [解析] 由已知得 x＋3y＝2， 3 x >0,27y >0， ∴3 x＋27y＋1≥2 3 x＋3y＋1＝6＋1＝7， 当且仅当 3 x＝27y， 即 x＝1，y＝ 1 3 时等号成立． 2．已知 a>0，b>0，且 a＋b＝1，则 1 a 2－1 1 b 2－1 的最小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 [答案] D [解析] ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴ab≤ 1 4 ，等号在 a＝b＝ 1 2 时成立． ∴ 1 a 2－1 1 b 2－1 ＝ 1－a 2 a 2 · 1－b 2 b 2 ＝ (1＋a)·b a 2 · (1＋b)a b 2 ＝ (1＋a)(1＋b) ab ＝ 2＋ab ab ＝ 2 ab＋1≥ 2 1 4 ＋1＝9，故选 D. 3．若直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆 x 2＋y 2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则 1 a ＋ 1 b 的最小值为( ) A.1 4 B． 1 2 C．2 D．4 [答案] D [解析] 圆的标准方程为(x＋1) 2＋(y－2) 2＝4，∴圆的直径为 4，而直线被圆截得的弦长为 4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即 a＋b＝1， ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ 1 a ＋ 1 b (a＋b)＝1＋1＋ b a ＋ a b ≥2＋2 b a × a b ＝4 (等号在 a＝b＝ 1 2 时成立)． 故所求最小值为 4，选 D
4.设a、b是两个实数,且a≠b,①a+b5>a3b+ab3,②a2+b2≥2(a-b-1),③2+2 上述三个式子恒成立的有() 0个 1个 C.2个 3个 [答案]B [解析]①a+b-(a3b+ab)=d(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b2)=(a-b)(a+ b)(a2+ab+b2)0不恒成立;(a2+b2)-2(a-b-1)=a2-2a+b2+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0 恒成立;日+ 2,故选B 二、填空题 5已知不等式(x+y)+9≥9对任意正实数x、y恒成立则正实数a的最小值为 答案 解析1∵a,:(x+y)(+9 由条件知a+2Va+1=9,∴a=4 6.若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 2 答案3 解析]∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2=x+1. 又∴xy≤( 2)2 ∴(x+y0,b
4．设 a、b 是两个实数，且 a≠b，①a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a－b－1)，③ a b ＋ b a >2. 上述三个式子恒成立的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 [答案] B [解析] ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3 )＝a 3 (a 2－b 2 )＋b 3 (b 2－a 2 )＝(a 2－b 2 )(a 3－b 3 )＝(a－b) 2 (a＋ b)(a 2＋ab＋b 2 )>0 不恒成立；(a 2＋b 2 )－2(a－b－1)＝a 2－2a＋b 2＋2b＋2＝(a－1) 2＋(b＋1) 2≥0 恒成立；a b ＋ b a >2 或 a b ＋ b a 0，∴(x＋y)(1 x ＋ a y ) ＝1＋a＋ y x ＋ xa y ≥1＋a＋2 a， 由条件知 a＋2 a＋1＝9，∴a＝4. 6．若实数 x、y 满足 x 2＋y 2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________． [答案] 2 3 3 [解析] ∵x 2＋y 2＋xy＝1，∴(x＋y) 2＝xy＋1. 又∵xy≤( x＋y 2 ) 2， ∴(x＋y) 2≤( x＋y 2 ) 2＋1， 即 3 4 (x＋y) 2≤1. ∴(x＋y) 2≤ 4 3 . ∴－ 2 3 3 ≤x＋y≤ 2 3 3 . ∴x＋y 的最大值为2 3 3 . 三、解答题 7．已知 a、b 均为正实数，且 2a＋8b－ab＝0，求 a＋b 的最小值． [解析] ∵2a＋8b－ab＝0，∴ 8 a ＋ 2 b ＝1，又 a>0，b>0
+b=(a+b)( 10+ ≥10+2、8b20=18,当且仅当出=2,即a=2b时,等号成立 8⊥2 当a=12,b=6时,a+b取最小值18 8.某单位决定投资3200元建一仓库长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,试 (1)仓库面积S的取值范围是多少? (2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? [解析](1)设正面铁栅长xm,侧面长为ym,总造价为二元,则二=40x+2×45y+20x 40x+90y+20xy,仓库面积S=x 由条件知≤3200,即4x+9y+2xy≤320 4x+9y≥24x9y=12y 6S+S≤160,即(s2+65-160≤0 0<S≤10,0<S≤100 故S的取值范围是(0,100] 2)当S=100m2时, 解之得x=15m),y=2(m) 答:仓库面积S的取值范围是(0100,当S取到最大允许值100m2时,正面铁栅长15m
∴a＋b＝(a＋b)(8 a ＋ 2 b )＝10＋ 8b a ＋ 2a b ≥10＋2 8b a · 2a b ＝18，当且仅当8b a ＝ 2a b ，即 a＝2b 时，等号成立． 由 a＝2b 8 a ＋ 2 b ＝1 ，得 a＝12 b＝6 . ∴当 a＝12，b＝6 时，a＋b 取最小值 18. 8．某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元．试 求： (1)仓库面积 S 的取值范围是多少？ (2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ [解析] (1)设正面铁栅长 x m，侧面长为 y m，总造价为 z 元，则 z＝40x＋2×45y＋20xy ＝40x＋90y＋20xy，仓库面积 S＝xy. 由条件知 z≤3 200，即 4x＋9y＋2xy≤320. ∵x>0，y>0， ∴4x＋9y≥2 4x·9y＝12 xy. ∴6 S＋S≤160，即( S) 2＋6 S－160≤0. ∴0< S≤10，∴0<S≤100. 故 S 的取值范围是(0,100]． (2)当 S＝100 m2 时，4x＝9y，且 xy＝100. 解之得 x＝15(m)，y＝ 20 3 (m)． 答：仓库面积 S 的取值范围是(0,100]，当 S 取到最大允许值 100 m2 时，正面铁栅长 15 m