基本不等式中 不等式在各种题型中均有出现,渗透在各类考试试卷中;基本不等式是不等式中高频考点之一,其应 用、变形等是考试热点.本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳 ■知识旋理■■■■■ 1.基本不等式√ab≤ b 基本不等式的使用条件 ①一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值 ②二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数 ③三相等:当且仅当a=b时取等号:即:等号能否取得 在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,若忽略了某个条件,就会出现错误 2.由公式d2+B2a和ak≤2可以引申出的常用结论 b2=2(a,b同号) ≤-2(a,b异号) (3)≤Va+b∠ a+ea+b (a>0,b>0)或ab≤ (a>0,b>0 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x>0,y>0,且x=P(定值).那么当x=y时,x+y有最小值2√F(简记:“积定和最小”) (2)如果x>0,p>0,且x+y=S(定值).那么当x=y时,x有最大值一·(简记:“和定积最大”) 类型一、直接应用类 此类问题较为基础,利用基本不等式求最值时应注意:①非零的各数(或式)均为正;②和或积为定值 ③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可 解答技巧一:直接应用 【母题一】若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是 【解析】由于0>0.则+≥2际,所以x( =81,当且仅当x=y=9时 xy取到最大值81 【答案】81 【变式】
基本不等式中 不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应 用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳． 1．基本不等式 ab≤ a＋b 2 基本不等式的使用条件： ① 一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值； ② 二定：ab 或 a＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当 a＝b 时取等号；即：等号能否取得． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式 a 2＋b 2≥2ab 和 ab≤ a＋b 2 可以引申出的常用结论 (1)b a ＋ a b ≥2(a，b 同号)； (2)b a ＋ a b ≤－2(a，b 异号)； (3) 2 1 a ＋ 1 b ≤ ab≤ a＋b 2 ≤ a 2＋b 2 2 (a＞0，b＞0) 或 ab≤ a＋b 2 2≤ a 2＋b 2 2 (a＞0，b＞0) ． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x＞0，y＞0，且 xy＝P(定值)．那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P．(简记：“积定和最小”) (2)如果 x＞0，y＞0，且 x＋y＝S(定值)．那么当 x＝y 时，xy 有最大值S 2 4 ．(简记：“和定积最大”) 类型一、直接应用类 此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值； ③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可． 解答技巧一：直接应用 【母题一】若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值是________． 【解析】由于 x＞0，y＞0，则 x＋y≥2 xy，所以 xy≤ x＋y 2 2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时， xy 取到最大值 81． 【答案】81 【变式】
1.已知f(x)=x+--2(x0.∴x(3-3x)=3x(1-x)≤ 当x=1-x,即x=时取 2 等号 【答案】B 3.(2014·成都诊断)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=3,若f(a+b)=9,则f(ab的最大值为 【解析】∵3+=9,∴a+b=2≥2√ab,得ab≤1,:r(ab)=3“≤3 【答案】3 4.已知a,b∈R,且ab=50,则|a+2b|的最小值是 【解析】依题意得a,b同号,于是有|a+2b|=|al+12b≥2√a·|2b=22|ab|=2√00=20,当 且仅当|a=|2b=10时取等号,因此|a+2b的最小值是20. 【答案】20 类型二、配凑定值类(恒等变形类」 此类问题一般不能直接使用基本不等式,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,凑项,凑系数等.不论条件怎么变形,都需要 根据条件:凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小 解答技巧二:拆项 【母题二】已知t>0,则函数,(-4t+ 的最小值为 【解析】∵>0,∴y=4+1-=+1-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号
1．已知 f(x)＝x＋ 1 x －2(x＜0)，则 f(x)有 ( ) A．最大值为 0 B．最小值为 0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－ － x ＋ 1 －x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝ 1 －x ，即 x＝－1 时取等号． 【答案】C 2．已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为 ( ) A． 1 3 B． 1 2 C． 3 4 D． 2 3 【解析】∵0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 x＋1－x 2 2＝ 3 4 ．当 x＝1－x，即 x＝ 1 2 时取 等号． 【答案】B 3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)＝3 x ，若 f(a＋b)＝9，则 f(ab)的最大值为 __________． 【解析】∵3 a＋b ＝9，∴a＋b＝2≥2 ab，得 ab≤1，∴f(ab)＝3 ab ≤3． 【答案】3 4．已知 a，b∈R，且 ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________． 【解析】依题意得 a，b 同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2 |a|·|2b|＝2 2|ab|＝2 100＝20，当 且仅当|a|＝|2b|＝10 时取等号，因此|a＋2b|的最小值是 20． 【答案】20 类型二、配凑定值类(恒等变形类) 此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要 根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小． 解答技巧二：拆项 【母题二】已知 t＞0，则函数 y＝ t 2－4t＋1 t 的最小值为________． 【解析】∵t＞0，∴y＝ t 2－4t＋1 t ＝t＋ 1 t －4≥2－4＝－2，且在 t＝1 时取等号．
【答案】-2 解答技巧三:凑项 【母题三】若x>2,则函数y=x+的最小值为 【解析】∵>2,∴=(x-2)+2+2≥2+2=4,当且仅当x=3时取等号 【答案】4 解答技巧四:凑系数 【母题四】若02,∴=3(30)(8-3)≤3x+8-32-16 2 当且仅当x=时取等号 【答案】 【变式】 (x>1)的最小值是() 3 B. D.2 【解析】∵x>1,∴x-1>0 x2+2x2-2x+2x+2x2-2x+1+2x-1+3 x-12+2x-1+3 x-1+—+2≥21x-1 +2=23+2.当且仅当x-1 X-1 即 x=1+√时,取等号 【答案】A 2.当x>1时,不等式x+一,≥a恒成立,则实数a的最大值为 【解析】∵x>1,…x1>0.又x,1=r1、+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,则 a≤3,所以a的最大值为3 【答案】3
【答案】－2 解答技巧三：凑项 【母题三】若 x＞2，则函数 y＝x＋ 1 x－2 的最小值为________． 【解析】∵x＞2，∴y＝(x－2)＋ 1 x－2 ＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x＝3 时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数 【母题四】若 0＜x＜ 8 3 ，则函数 y＝x(8－3x)的最大值为________． 【解析】∵x＞2，∴y＝ 1 3 (3x)(8－3x)≤ 1 3 3x＋8－3x 2 2＝ 16 3 ，当且仅当 x＝ 4 3 时取等号． 【答案】16 3 【变式】 1．函数 y＝ x 2＋2 x－1 (x＞1)的最小值是( ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 3 D．2 【 解 析 】 ∵ x ＞ 1 ， ∴ x － 1 ＞ 0 ． ∴ y ＝ x 2＋2 x－1 ＝ x 2－2x＋2x＋2 x－1 ＝ x 2－2x＋1＋2 x－1 ＋3 x－1 ＝ x－1 2＋2 x－1 ＋3 x－1 ＝x－1＋ 3 x－1 ＋2≥2 x－1 3 x－1 ＋2＝2 3＋2．当且仅当 x－1＝ 3 x－1 ，即 x＝1＋ 3时，取等号． 【答案】A 2．当 x＞1 时，不等式 x＋ 1 x－1 ≥a 恒成立，则实数 a 的最大值为________． 【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．又 x＋ 1 x－1 ＝x－1＋ 1 x－1 ＋1≥2＋1＝3，当且仅当 x＝2 时等号成立．则 a≤3，所以 a 的最大值为 3． 【答案】3
a+b 3.(2014·潍坊一模)已知a>b>0,ab=1,则一的最小值为 【解析】土=2-b十2=一2一b十2=(-b+2≥2巨.当且仅当a-b=E时,取等 【答案】2E 4.已知函数f(m)= x2+6 (1)若f(x)>k的解集为{x|x-2},求k的值: (2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围 【解】(1)f(x)>ke→kx2-2x+6k-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=7,即k= 5 √6 (2因为x>0,f(x)=x+6266当且仅当 时取等号 由已如0任>立即(的成意即+ 类型三、条件最值类 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值:求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:① 具备条件—一正数;②验证等号成立 (2)知积求和的最值:明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本 不等式求最值的条件 (3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数 ”的替换,构造不等式求解. 技巧五:换衣(“1”)(或整体代换) 【母题五】已知a>0,b>0,a+b=1,则一+的最小值为 【解析】∵a>0,b>0,a+b=1,∴- a+b a+bb b 即-+元的最小值为4,当且仅当a=b=时等号成立 【答案】4 【变式】
3．(2014·潍坊一模)已知 a＞b＞0，ab＝1，则a 2＋b 2 a－b 的最小值为________． 【解析】 a 2＋b 2 a－b ＝ a－b 2＋2ab a－b ＝ a－b 2＋2 a－b ＝(a－b)＋ 2 a－b ≥2 2．当且仅当 a－b＝ 2时，取等 号． 【答案】2 2 4．已知函数 f(x)＝ 2x x 2＋6 ． (1)若 f(x)＞k 的解集为{x|x＜－3，或 x＞－2}，求 k 的值； (2)对任意 x＞0，f(x)≤t 恒成立，求 t 的取值范围． 【解】(1)f(x)＞k⇔kx 2－2x＋6k＜0． 由已知{x|x＜－3，或 x＞－2}是其解集，得 kx 2－2x＋6k＝0 的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝ 2 k ，即 k＝－ 2 5 ． (2)因为 x＞0，f(x)＝ 2x x 2＋6 ＝ 2 x＋ 6 x ≤ 2 2 6 ＝ 6 6 ，当且仅当 x＝ 6时取等号． 由已知 f(x)≤t 对任意 x＞0 恒成立，故 t≥ 6 6 ，即 t 的取值范围是 6 6 ，＋∞ ． 类型三、条件最值类 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：① 具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本 不等式求最值的条件． (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解． 技巧五：换衣(“1”)(或整体代换) 【母题五】已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1 a ＋ 1 b 的最小值为________． 【解析】∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b a ＋ a＋b b ＝2＋ b a ＋ a b ≥2＋2 b a · a b ＝4， 即 1 a ＋ 1 b 的最小值为 4，当且仅当 a＝b＝ 1 2 时等号成立． 【答案】4 【变式】
1.本例的条件不变,则1+1+的最小值为 【解析】1+1+ B=(+2+9(+计-2+9++4+=5+4-9当且仅当a=b =时,取等号 【答案】9 本例的条件和结论互换即:已知a>0,b>0,1少则a+b的最小值为 解1由+n+11:+(+m+b+++2(+=当且 仅当a=b=时取等号 【答案】1 3.若本例条件变为:已知a>0,b>,a+2b=8,则+的最小值为 【解析】由a+2b=3得a+=b=1,∴ 4+2+325+2·3=3.当且 仅当a=2b=时,取等号 【答案】 4.本例的条件变为:已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则+b+c的最小值为 【解析】∵a>0,b>0,∞>0,且a+b+c=1,…-x a+b+c a+b+c a+b+c 24C424b bbc 3+(a+b (+=3+2+2+2-9且仅当=b=c3,取等号 【答案】9 5.若本例变为:已知各项为正数的等比数列{an}满足a=+2a,若存在两项a,an,使得 VEa,则+的最小值为 【解析】设公比为q(q>0),由a=a6+2→q=q+2国→-q-2=0(q>0)→g= a→a21·a2=8=2,2-=8÷m+-2=3m+n=,则4+4=14+4)(m+=5++n m n 5 65+2√)=2.当且仅当n=2m=时等号成立 【答案】
1．本例的条件不变，则 1＋ 1 a 1＋ 1 b 的最小值为________． 【解析】 1＋ 1 a 1＋ 1 b ＝ 1＋ a＋b a 1＋ a＋b b ＝ 2＋ b a · 2＋ a b ＝5＋2 b a ＋ a b ≥5＋4＝9．当且仅当 a＝b ＝ 1 2 时，取等号． 【答案】9 2．本例的条件和结论互换即：已知 a＞0，b＞0， 1 a ＋ 1 b ＝4，则 a＋b 的最小值为________． 【解析】由 1 a ＋ 1 b ＝4，得 1 4a ＋ 1 4b ＝1．∴a＋b＝ 1 4a ＋ 1 4b (a＋b)＝ 1 2 ＋ b 4a ＋ a 4b ≥ 1 2 ＋2 b 4a ＋ a 4b ＝1．当且 仅当 a＝b＝ 1 2 时取等号． 【答案】1 3．若本例条件变为：已知 a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则2 a ＋ 1 b 的最小值为________． 【解析】由 a＋2b＝3 得 1 3 a＋ 2 3 b＝1，∴ 2 a ＋ 1 b ＝ 1 3 a＋ 2 3 b 2 a ＋ 1 b ＝ 4 3 ＋ a 3b ＋ 4b 3a ≥ 4 3 ＋2 a 3b · 4b 3a ＝ 8 3 ．当且 仅当 a＝2b＝ 3 2 时，取等号． 【答案】 8 3 4．本例的条件变为：已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，则1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 的最小值为________． 【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，∴ 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＝ a＋b＋c a ＋ a＋b＋c b ＋ a＋b＋c c ＝3＋ b a ＋ c a ＋ a b ＋ c b ＋ a c ＋ b c ＝3＋ b a ＋ a b ＋ c a ＋ a c ＋ c b ＋ b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当 a＝b＝c＝ 1 3 时，取等号． 【答案】9 5．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an，使得 am·an＝ 2 2a1，则1 m ＋ 4 n 的最小值为________． 【解析】设公比为 q(q＞0)，由 a7＝a6＋2a5⇒a5q 2＝a5q＋2a5⇒q 2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2． am·an＝2 2 a1⇒a12 m－1·a12 n－1＝8a 2 1⇒2 m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则1 m ＋ 4 n ＝ 1 5 1 m ＋ 4 n (m＋n)＝ 1 5 5＋ n m ＋ 4m n ≥ 1 5 (5＋2 4)＝ 9 5 ，当且仅当 n＝2m＝ 10 3 时等号成立． 【答案】 9 5
6.(2012·浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( 24 A B 解009:++已9+9+1 1313x4121213+2×2 5(当且仅当x=2y时取等号) 【答案】C 7.已知不等式(x+D(+≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是() B.4 C.6 D.8 【解析](+(+=1++2+=1++2:当1计N后≥9时不等式恒成立故+1≥3 【答案】B 技巧六:构造一元二次不等式 在运用该方式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a+b≥2ab逆用就是ab≤ a+b a+b y(mD>D用就是((m0还要注意“添、拆技巧和公式等号 成立的条件等 思考方式还能以保留“和(a+b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向 【母题六】若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 【解析】由x>0,y>0,2x+y+6=x,得xy≥2V2xy+6(当且仅当2x=y时,等号成立), 即(x)2-2x-6≥0,∴(-32·(x+2)≥0.又:>0,∴x≥3VE, 即xy≥18.∴xy的最小值为18 【答案】18 【变式】 1.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是() 11 2 【解析】依题意,得2x=-(x+2+8≤1x+2 当且仅当=2 时等 x+2y+2xy=8
6．(2012·浙江)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( ) A． 24 5 B． 28 5 C．5 D．6 【解析】∵x＞0，y＞0，由 x＋3y＝5xy 得 1 5 1 y ＋ 3 x ＝1．∴3x＋4y＝ 1 5 (3x＋4y) 1 y ＋ 3 x ＝ 1 5 3x y ＋4＋9＋ 12y x ＝ 13 5 ＋ 1 5 3x y ＋ 12y x ≥ 13 5 ＋ 1 5 ×2 3x y · 12y x ＝5(当且仅当 x＝2y 时取等号)． 【答案】C 7．已知不等式(x＋y) 1 x ＋ a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】(x＋y) 1 x ＋ a y ＝1＋a＋ y x ＋ ax y ≥1＋a＋2 a，∴当 1＋a＋2 a≥9 时不等式恒成立，故 a＋1≥3， a≥4． 【答案】B 技巧六：构造一元二次不等式 在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a 2＋b 2≥2ab 逆用就是 ab≤ a 2＋b 2 2 ； a＋b 2 ≥ ab (a，b＞0)逆用就是 ab≤ a＋b 2 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号 成立的条件等． 思考方式还能以保留“和(a＋b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向． 【母题六】若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是________． 【解析】由 x＞0，y＞0，2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2 2xy＋6(当且仅当 2x＝y 时，等号成立)， 即( xy) 2－2 2 xy－6≥0，∴( xy－3 2)·( xy＋ 2)≥0． 又∵ xy＞0，∴ xy≥3 2， 即 xy≥18．∴xy 的最小值为 18． 【答案】18 【变式】 1．已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C． 9 2 D． 11 2 【解析】依题意，得 2xy＝－(x＋2y)＋8≤ x＋2y 2 2，当且仅当 x＝2y， x＋2y＋2xy＝8， 即 x＝2， y＝1 时等
号成立.∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,解得x+2y≥4或x+20,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共 线,则2+的最小值是(
号成立．∴(x＋2y) 2＋4(x＋2y)－32≥0，解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去)，∴x＋2y 的最小值是 4． 【答案】B 2．若正数 x，y 满足 x 2＋3xy－1＝0，则 x＋y 的最小值是( ) A． 2 3 B． 2 2 3 C． 3 3 D． 2 3 3 【解析】对于 x 2＋3xy－1＝0 可得 y＝ 1 3 ( 1 x －x)，∴x＋y＝ 2x 3 ＋ 1 3x ≥2 2 9 ＝ 2 2 3 (当且仅当2x 3 ＝ 1 3x ，即 x ＝ 2 2 时等号成立)． 【答案】B 3．若实数 x，y 满足 x 2＋y 2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________． 【解析】x 2＋y 2＋xy＝1⇔(x＋y) 2－xy＝1⇔(x＋y) 2－1＝xy≤(x＋y 2 ) 2，解得－2 3 3 ≤x＋y≤ 2 3 3 ． 【答案】2 3 3 类型四、基本不等式的应用 1．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓 库到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费用 y1和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么 要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处． 【解析】设 x 为仓库与车站距离，由已知 y1＝ 20 x ，y2＝0.8x．费用之和 y＝y1＋y2 ＝0.8x＋ 20 x ≥2 0.8x· 20 x ＝8，当且仅当 0．8x＝ 20 x ，即 x＝5 时等号成立． 【答案】5 2． 创新题 规定记号“⊙”表示一种运算，即 a⊙b＝ ab＋a＋b(a，b 为正实数)．若 1⊙k＝3，则 k 的值为________，此时函数 f(x)＝ k⊙x x 的最小值为________． 【解析】1⊙k＝ k＋1＋k＝3，即 k＋ k－2＝0，∴ k＝1 或 k＝－2(舍)，∴k＝1． f(x)＝ k⊙x x ＝ x＋x＋1 x ＝1＋ x＋ 1 x ≥1＋2＝3，当且仅当 x＝ 1 x ，即 x＝1 时等号成立． 【答案】1；3 3．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a，－1)，OC →＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O 为坐标原点)，若 A，B，C 三点共 线，则2 a ＋ 1 b 的最小值是( )
B 9 A.4 【解析】∵AB=OB-OA=(a-1,1),AC=0C-0=(-b-1,2).若A,B,C三点共线,则有AB∥AC ∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,又a>0,b>0 26 +·(2a+b)=5++b 26 2a y+/9,当且仅当ab 即a=b=时等号成立 2a+b=1 【答案】D 4.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当一取得最大值时, 的最大值为() 【解析】由己知得2=x-3+4(米+4 ≤1,当且仅当x=2y时取等号 把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以-+ 【答案】B 5.已知x>0,y>0,x++3=xy,且不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围 是 【解析】要使(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则有(x+y)2+1≥a(x+y),即∝≤(x+y)+—1恒成 由x+y+3=xy,得x+y+3=/+,即(x+y2-4(x+y-12≥0,解得x+y≥6或x+<≤-2(舍 设t=x+y,则t≥6,(x+y)+x+yt 设f(t)=t+-,则在t≥6时,f(t)单调递增,所以f(t)=t 的最小值为6+ 66,所以 即实数a的取值范围是 6 【答案】 【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用对勾函数y= 0)的单调性
A．4 B． 9 2 C．8 D．9 【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a－1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b－1,2)．若 A，B，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又 a＞0，b＞0，∴ 2 a ＋ 1 b ＝ 2 a ＋ 1 b ·(2a＋b)＝5＋ 2b a ＋ 2a b ≥5 ＋2 2b a × 2a b ＝9，当且仅当 2b a ＝ 2a b ， 2a＋b＝1， 即 a＝b＝ 1 3 时等号成立． 【答案】D 4．设正实数 x，y，z 满足 x 2－3xy＋4y 2－z＝0，则当xy z 取得最大值时，2 x ＋ 1 y － 2 z 的最大值为( ) A．0 B．1 C． 9 4 D．3 【解析】由已知得 z＝x 2－3xy＋4y 2 (*)，则xy z ＝ xy x 2－3xy＋4y 2＝ 1 x y ＋ 4y x －3 ≤1，当且仅当 x＝2y 时取等号， 把 x＝2y 代入(*)式，得 z＝2y 2，所以2 x ＋ 1 y － 2 z ＝ 1 y ＋ 1 y － 1 y 2＝－ 1 y －1 2＋1≤1． 【答案】B 5．已知 x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y) 2－a(x＋y)＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围 是________． 【解析】要使(x＋y) 2－a(x＋y)＋1≥0 恒成立，则有(x＋y) 2＋1≥a(x＋y)，即 a≤(x＋y)＋ 1 x＋y 恒成 立． 由 x＋y＋3＝xy，得 x＋y＋3＝xy≤ x＋y 2 2，即(x＋y) 2－4(x＋y)－12≥0，解得 x＋y≥6 或 x＋y≤－2(舍 去)． 设 t＝x＋y，则 t≥6，(x＋y)＋ 1 x＋y ＝t＋ 1 t ．设 f(t)＝t＋ 1 t ，则在 t≥6 时，f(t)单调递增，所以 f(t)＝t ＋ 1 t 的最小值为 6＋ 1 6 ＝ 37 6 ，所以 a≤ 37 6 ，即实数 a 的取值范围是 －∞， 37 6 ． 【答案】 －∞， 37 6 【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数 y＝x＋ m x (m＞0)的单调性．
〓分期练彐·题≡八握好〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 ■星期一■ 1.小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(aa. a+b a+b 【答案】A 2.函数,x+3x+ x+1的最小值是( B.2 D.5 【解析】=2+3x+3=x+1)+(x+1+1=(2+1)+ x2+1 +1≥2+1=3,当且仅当(x2+1 +1,即x=0时,取等号 【答案】C 201湖南设x,∈R,且x≠0,则(2+月)+4)的最小值为 【解析】x+1/1 队+4小=5+x+4≥5+2V,4=9,当且仅当x=之时,等号成立 【答案】9 4.(2014·贵阳适应性监测)已知向量m=(2,1),n=(1-b,a)(a>0,b>0).若m∥n,则ab的最大 值为 【解析】依题意得2=1-b,即2a+b=1(4>0,b>0,因此1=2a+b≥22ab,即ab≤,当且仅 当2a=b=时取等号,因此ab的最大值是 【答案
1．小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a＜b)，其全程的平均时速为 v，则( ) A．a＜v＜ ab B．v＝ ab C． ab＜v＜ a＋b 2 D．v＝ a＋b 2 【解析】设甲、乙两地之间的距离为 s．∵a＜b，∴v＝ 2s s a ＋ s b ＝ 2sab a＋b s ＝ 2ab a＋b ＜ 2ab 2 ab ＝ ab．又 v－ a＝ 2ab a＋b －a＝ ab－a 2 a＋b ＞ a 2－a 2 a＋b ＝0，∴v＞a． 【答案】A 2．函数 y＝ x 4＋3x 2＋3 x 2＋1 的最小值是( ) A．2 3 B．2 C．3 D．5 【解析】y＝ x 4＋3x 2＋3 x 2＋1 ＝ (x 2＋1) 2＋(x 2＋1)＋1 x 2＋1 ＝(x 2＋1)＋ 1 x 2＋1 ＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝ 1 x 2＋1 ，即 x＝0 时，取等号． 【答案】C 3．(2011·湖南)设 x，y∈R，且 xy≠0，则 x 2＋ 1 y 2 · 1 x 2＋4y 2 的最小值为________． 【解析】 x 2＋ 1 y 2 1 x 2＋4y 2 ＝5＋ 1 x 2 y 2＋4x 2 y 2≥5＋2 1 x 2 y 2·4x 2 y 2＝9，当且仅当 x 2 y 2＝ 1 2 时，等号成立． 【答案】9 4．(2014·贵阳适应性监测)已知向量 m＝(2,1)，n＝(1－b，a)(a＞0，b＞0)．若 m∥n，则 ab 的最大 值为__________． 【解析】依题意得 2a＝1－b，即 2a＋b＝1(a＞0，b＞0)，因此 1＝2a＋b≥2 2ab，即 ab≤ 1 8 ，当且仅 当 2a＝b＝ 1 2 时取等号，因此 ab 的最大值是1 8 ． 【答案】 1 8
5.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求 (1)xy的最小值 (2)x+y的最小值 【解】(1)由2x+8yxy=0,得-+-=1, 又c0,p>0,.则1=942≥2.一8=,得≥0, 当且仅当x=16,y=4时,等号成立 ∴xy的最小值为64. (2)由2x+8y-xy=0,得-+-=1, 则+=(+2·(+=0+2+=10+2个,=1 当且仅当x=12且y=6时等号成立, ∴x+y的最小值为18 ■星用二■ 1.(2012·福建)下列不等式一定成立的是() 4-18x(x>0) B.sinx+-.≥2(x≠k,k∈Z) C.x2+1≥2|x(x∈R) D 【解析】当x>0时,x+224,所以12+≥1gx(x>0),故选项A不正确:而当x≠k, k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;当x=0时,有 x2+1 1,故选项D不正确 【答案】C 2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=2+的最小值是() 7-29 【解析】依题意,得- +b=22+b(a+b=2+(+b)1=26+Vab)=2 ==,当且仅当 色即=号到取等号,+如最小值是号
5．已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x＋y 的最小值． 【解】(1)由 2x＋8y－xy＝0，得8 x ＋ 2 y ＝1， 又 x＞0，y＞0，则 1＝ 8 x ＋ 2 y ≥2 8 x · 2 y ＝ 8 xy ，得 xy≥64， 当且仅当 x＝16，y＝4 时，等号成立． ∴xy 的最小值为 64． (2)由 2x＋8y－xy＝0，得8 x ＋ 2 y ＝1， 则 x＋y＝ 8 x ＋ 2 y ·(x＋y)＝10＋ 2x y ＋ 8y x ≥10＋2 2x y · 8y x ＝18． 当且仅当 x＝12 且 y＝6 时等号成立， ∴x＋y 的最小值为 18． 1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( ) A．lg x 2＋ 1 4 ＞lg x(x＞0) B．sin x＋ 1 sin x ≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x 2＋1≥2|x|(x∈R) D． 1 x 2＋1 ＞1(x∈R) 【解析】当 x＞0 时，x 2＋ 1 4 ≥2·x· 1 2 ＝x，所以 lg x 2＋ 1 4 ≥lg x(x＞0)，故选项 A 不正确；而当 x≠kπ， k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；当 x＝0 时，有 1 x 2＋1 ＝1，故选项 D 不正确． 【答案】C 2．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝ 1 a ＋ 4 b 的最小值是( ) A． 7 2 B．4 C． 9 2 D．5 【解析】依题意，得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2 1 a ＋ 4 b ·(a＋b)＝ 1 2 [5＋( b a ＋ 4a b )]≥1 2 (5＋2 b a · 4a b )＝ 9 2 ，当且仅当 a＋b＝2， b a ＝ 4a b ， 即 a＝ 2 3 ，b＝ 4 3 时取等号，即1 a ＋ 4 b 的最小值是9 2 ．