二元一次不等式组与简单的线性规划教案 设计思路和教材学情分析 【设计思路】前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法 并且知道相应的几何意义。作为不等式模型,它们在生产、生活中有着广泛的应 用,然而,在不等式模型中,除了它们之外,还有二元一次不等式模型。本节将 通过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型,引出二元一次不等式(组)的 相关概念 本节的主要内容有:二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应 的画法。其中,重点是二元一次不等式所表示的平面区域,难点是复杂的二元 次不等式组所表示的平面区域的确定。在教学中,可启发学生观察图象,循序渐 进地理解掌握相关概念,以学生探究为主,老师点拨为辅,学生之间分组讨论, 交流心得,分享成果,进行思维碰撞,同时可借助计算机等媒体工具来进行动态 本节内容在教学中应体现以下几点:①注重探究过程。能正确地画出给定 的二元一次不等式(组)表示的平面区域,是学习下节简单线性规划问题图解法的 重要基础。②注重探究方法,结合等式函数所表示的图形的认知,用类比的方 法提出“二元一次不等式组的解集表示什么图形的问题③注重探究手段,结合 信息计术 【教材分析】 1.课标要求: ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。③ 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决 2.教材分析: 本单元包含两节,331主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集, 332主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以 解决。其中3.31是解决二元线性规划问题的基础,应作为本单元的重点要求所 有学生掌握 【学情分析】在初中,学生已学过一元一次不等式组的的解法,学生普遍具有利 用不等式组解决问题的思想,能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题,这用 利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等 式组解法 在必修2中,学生已学习了直线方程的有关知识,多数学生能画出二元一次方程 表示的直线,这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集,也有利 于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法
二元一次不等式组与简单的线性规划教案 一、设计思路和教材学情分析 【设计思路】前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法， 并且知道相应的几何意义。作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应 用，然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型。本节将 通过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型，引出二元一次不等式(组)的 相关概念。 本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应 的画法。其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一 次不等式组所表示的平面区域的确定。在教学中，可启发学生观察图象，循序渐 进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论， 交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态 演示 本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程。能正确地画出给定 的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题图解法的 重要基础。②注重探究方法，结合等式(函数)所表示的图形的认知，用类比的方 法提出“二元一次不等式组的解集表示什么图形”的问题③注重探究手段，结合 信息计术 【教材分析】 1．课标要求： ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③ 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．教材分析： 本单元包含两节，3.3.1 主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集， 3.3.2 主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以 解决。其中 3.3.1 是解决二元线性规划问题的基础，应作为本单元的重点要求所 有学生掌握。 【学情分析】在初中，学生已学过一元一次不等式组的的解法，学生普遍具有利 用不等式组解决问题的思想，能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题，这用 利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等 式组解法。 在必修 2 中，学生已学习了直线方程的有关知识，多数学生能画出二元一次方程 表示的直线，这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集，也有利 于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。
教学目标和重点难点分析 【教学目标】 1.知识与技能目标: 了解二元一次不等式(组)、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标 函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题,并能加以解决。 2.过程与方法目标 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等 式的过程,体会类比的思想,数学建模的思想 3.情感态度与价值观目标: 通过解决线性规划实际问题,使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作 用,增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程,培养学生的探 索方法与精神。 【重点难点】教学重点:理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组) 所表示的平面区域画出来。 教学难点:把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面 区域。 、教学过程 1课题导入 【复习引入】 二元一次不等式AX+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线AX+By+C=0某 侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法:由于对在直线AX+By+C=0同一侧的所有点(xy),把它的坐标(xy)代 入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特 殊点(xOyO),从Ax0+ByO+C的正负即可判断AX+By+C>0表示直线哪一侧的 平面区域 (特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点) 练习 ①画出不等式2X+6<0表示的平面区域 x-y+5≥0 x+y≥0 ②画出不等式组(x≤3 示的平面区域。 如图所示:(PPT演示)
二、教学目标和重点难点分析 【教学目标】 1．.知识与技能目标： 了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标 函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解二元一次不等式的几何意义， 能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以解决。 2．过程与方法目标： 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等 式的过程，体会类比的思想，数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标： 通过解决线性规划实际问题，使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作 用，增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探 索方法与精神。 【重点难点】教学重点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组） 所表示的平面区域画出来。 教学难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面 区域。 三、教学过程 1.课题导入 【复习引入】 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一 侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 判断方法：由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代 入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特 殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C＞0 表示直线哪一侧的 平面区域. （特殊地，当 C≠0 时，常把原点作为此特殊点）。 练习： ①画出不等式 2x+y-6＜0 表示的平面区域. ②画出不等式组 示的平面区域。 如图所示：（PPT 演示）
2y6=0 【复习提问】 ①二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示什么图形? ②怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? ③熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵 2.讲授新课 【应用举例】放映多媒体,出示实例 例1:某人准备投资1200万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得 到了下面的数据表格(以班级为单位) 学段班级学生人数「配备教师数「硬件建设/万元教师年薪/万元 初中 26/班 2/人 高中 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件 (设计意图:表格能帮助学生理清已知条件,为列不等式组做准备) 解:①设开设初中班ⅹ个,开设高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30之间, 所以有20≤x+y≤30 考虑到所投资金的限制,得到26x+54y+2×2x+2×3y≤1200 即x+2y≤40 又∵开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0 ③[引导学生列出不等式组:(一学生口述,老师放映多媒体)] 20≤x+y≤30 x+2y≤40 ≥0 y≥0 如图所示 引导学生观察该不等式组,用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域 (阴影部分) 设计意图:明确二元一次不等式及二元一次不等式组是两新概念
【复习提问】 ①二元一次不等式 Ax+By+C＞0 在平面直角坐标系中表示什么图形？ ②怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ ③熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 【应用举例】 放映多媒体，出示实例 例 1：某人准备投资 1200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得 到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 （设计意图：表格能帮助学生理清已知条件，为列不等式组做准备） 解：①设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总共招生班数应限制在 20-30 之间， 所以有 20≤x+y≤30 考虑到所投资金的限制，得到 26x+54y+2×2x+2×3y≤1200 即 x+2y≤40 又∵开设的班数不能为负，则 x≥0,y≥0 ③ [引导学生列出不等式组：（一学生口述，老师放映多媒体）] 如图所示： 引导学生观察该不等式组，用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域 （阴影部分） 设计意图：明确二元一次不等式及二元一次不等式组是两新概念
【讨论解法】 ①老师:刚刚做了一道题,我们还利用二元一次不等式组画出了图像,那同学 们可以说一下你们觉得节二元一次方程组的方法有哪些 学生:消元 老师:这不是二元一次方程组,不能用消元的方法,比如说了x>3,相加得 2x>8没有意义 (设计意图:消除学生错误认识) ②老师:引导学生回忆 次不等式的解法 例 以下各对x,y的值是x+y>5的解吗? x=1「x=0「x=3x=2「x=-1 6 由学生进行判断 学生:检验得出它们都是x+y>5的解 老师:用多媒体出示不等式解和二元一次不等式的解集的概念及含义: 使二元一次不等式成立的一对x与y值是二元一次不等式的一个解 元一次不等式的所有解组成的集合是这个二元一次不等式的解集 设计意图:使学生明确什么是二元一次不等式的解,什么是二元一次不等式的解 集 ④老师提出问题:(1)怎么确定ⅹy>5的解集?通过下面过程引导学生探索 (2)要求学生画出直线x+y=5,然后在坐标系中描出以上各解所对应的点, 提问学生这些点的分布有什么规律? 学生:这些点分布在直线x+y=5的一侧。 老师:PPT演 +y=5
【讨论解法】 ①老师：刚刚做了一道题，我们还利用二元一次不等式组画出了图像，那同学 们 可 以 说 一 下 你 们 觉 得 节 二 元 一 次 方 程 组 的 方 法 有 哪 些 呢？ 学生：消元 老师：这不是二元一次方程组，不能用消元的方法，比如说 x＞3 ,相加得 x＞5 2x＞8 没有意义。 （设计意图：消除学生错误认识） ②老师：引导学生回忆一元一次不等式的解法 例： 学生：检验得出它们都是 x+y＞5 的解 老师：用多媒体出示不等式解和二元一次不等式的解集的概念及含义： 使二元一次不等式成立的一对 x 与 y 值是二元一次不等式的一个解． 二元一次不等式的所有解组成的集合是这个二元一次不等式的解集 设计意图：使学生明确什么是二元一次不等式的解，什么是二元一次不等式的解 集。 ④ 老师提出问题：⑴怎么确定 x+y＞5 的解集？通过下面过程引导学生探索 ⑵要求学生画出直线 x+y=5 ，然后在坐标系中描出以上各解所对应的点， 提问学生这些点的分布有什么规律？ 学生： 这些点分布在直线 x+y=5 的一侧。 老师：PPT 演示
老师:进一步让学生试验:当x,y的值不是不等式x+y>5的解时对应点的分布 有什么规律?让学生说出试验的点。 设计意图:通过实例使学生直观地认识到二元一次不等式的解集是相应直线一侧 的一个区域,突破了学生不易理解元一次不等式的解集这一难点。 【巩固练习】 例2:一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐l8t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐lt,硝酸盐15t,现库 存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件 的数学关系式,并画出相应的平面区域。 解:设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件 4x+y≤10 18x+15y≤66 x≥0 ≥0 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分) 4r.olsr.lSy-66 [补充例题] 例1、画出下列不等式表示的区域 1)(x-y)(x-y-1)≤0;(2)xspl≤2x 分析:(1)转化为等价的不等式组;(2)注意到不等式的传递性,由x≤2x 得x≥0,又用-y代y,不等式仍成立,区域关于x轴对称 「x-y≥0 →0≤x-y≤1或 y≤0 矛盾无解, x-y≥ 解:(1) 故点(x,y)在一带形区域内(含边界)。 由x≤2x,得x≥0;当y>0时,有 y≤0 点(x,y)在一条形区域内边界) 2x-1≥0
老师：进一步让学生试验：当 x,y 的值不是不等式 x+y＞5 的解时对应点的分布 有什么规律？ 让学生说出试验的点。 设计意图：通过实例使学生直观地认识到二元一次不等式的解集是相应直线一侧 的一个区域，突破了学生不易理解元一次不等式的解集这一难点。 【巩固练习】 例 2：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐 18t；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库 存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件 的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分） [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由 x≤2x 得 x≥0，又用-y 代 y，不等式仍成立，区域关于 x 轴对称。 解：(1) 故点(x,y)在一带形区域内（含边界）。 (2)
当y+1;(2),|>p,(3).x>p 答案如图所示 四、教学反思 在探索二元一次不等式的解集的几何表示时,没有按教材中的方法安排教学, 通过直观观察由学生归纳,突出了重点,突破了难点。充分挖掘了教学内容中所 蕴涵的数学思想,使学生在学习知识同时,提高了能力 本节不足之处是内容偏少没有考虑到班级内部的学生学习水平差异的情况 对于基础较好的班级,应安排学生探索二元一次不等式组的解集,或总结在以前 学习中哪些地方用到了类比的思想
当 y＜0 时，由对称性可得出。 注：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 【随堂练习】 答案如图所示： 四、教学反思 在探索二元一次不等式的解集的几何表示时，没有按教材中的方法安排教学， 通过直观观察由学生归纳，突出了重点，突破了难点。充分挖掘了教学内容中所 蕴涵的数学思想，使学生在学习知识同时，提高了能力。 本节不足之处是内容偏少没有考虑到班级内部的学生学习水平差异的情况， 对于基础较好的班级，应安排学生探索二元一次不等式组的解集，或总结在以前 学习中哪些地方用到了类比的思想