元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于 零的不等式a2+bx+c>0>0)或ax2+bx+c0) (2)计算相应的判别式 (3)当4≥0时,求出相应的一元二次方程的根 (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不 等式的解集
1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于 零的不等式 ax 2＋bx＋c>0(a>0)或 ax 2＋bx＋c0)． (2)计算相应的判别式． (3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不 等式的解集．
2.三个二次之间的关系 判别式 A>0 A=0 A0)的图象 A10/2 x 0 x1=x2 x
2．三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0)的图象
续表 判别式 A>0 A0)的根 2a a+b+C>0过x或 ≠ R (a>0)的解集x>x2
续表 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ b2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 { x|x x 2 } xx≠－ b2a R
续表 判别式 A>0 =0 A0)的解集
续表 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax 2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x |x< x1< x2 } ∅ ∅
?问题思考 1.ax2+bx+c>0,ax2+bx+c0, 提示:ax2+bx+c>0对一切x∈R都成立的条件为 4<0 <0 ax2+bx+c<0对一切x∈R都成立的条件为 4<0
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c0 对一切 x∈R 都成立的条件为 a>0， Δ<0. ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为 a<0， Δ<0
2.可用(x-a)(x-b)>0的解集代替_x>0的解集,你认为 x-a x-a x( 如何求不等式 x-b,,x≥0及≤0的解集? 提示: x-a x-b 0今(x-a)(x-b)<0 x-a (x-a)(x-b)≥0 ≥0分 x-b≠0: xa ∫(x-a)x-b)≤0, ≤0今 x-b x-b≠0
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替x－a x－b >0 的解集，你认为 如何求不等式x－a x－b <0， x－a x－b ≥0 及 x－a x－b ≤0 的解集？ 提示：x－a x－b ＜0⇔(x－a)(x－b)<0； x－a x－b ≥0⇔ (x－a)(x－b)≥0， x－b≠0； x－a x－b ≤0⇔ (x－a)(x－b)≤0， x－b≠0
1.函数x)=3x-x2的定义域为() B.(0,3) C.(-∞,0U|3,+∞) ,0)U(3,+∞) 解析:选A要使函数(x)=3x-x有意义,则3x-x2≥0, 即x2-3x≤0,解得0≤x≤3
1．函数 f(x)＝ 3x－x 2的定义域为( ) A．[0,3] B．(0,3) C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选 A 要使函数 f(x)＝ 3x－x 2有意义，则 3x－x 2≥0， 即 x 2－3x≤0，解得 0≤x≤3
x-3 2.不等式1≤0的解集为 A.{xx<1或x≥3} B.{x1≤x≤3} C.{xl1<x≤3} D.{l<x<3} x-3 x-3x-1)≤0, 解析:选C由;≤0,得 x-1≠0, 解得1<x≤3
2．不等式x－3 x－1 ≤0 的解集为( ) A．{x|x<1 或 x≥3} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1<x<3} 解析：选 C 由 x－3 x－1 ≤0，得 (x－3)(x－1)≤0， x－1≠0， 解得 1＜x≤3
3.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是 23 则a+b=() A.10 B.-10 C.14 解析:选D:ax2+bx+20的解集是 -2,3是方程ax2+bx+2=0的两个根 b 23 解得1 ab =-12 a+b=-12+(-2)=-14
3．关于 x 的不等式 ax 2＋bx＋2>0 的解集是 － 1 2， 1 3 ， 则 a＋b＝( ) A．10 B．－10 C．14 D．－14 解析：选 D ∵ax 2＋bx＋2>0 的解集是 － 1 2， 1 3 ， ∴－ 1 2， 1 3是方程 ax 2＋bx＋2＝0 的两个根． ∴ － 1 2＋ 1 3＝－ b a， － 1 2× 1 3＝ 2 a， 解得 a＝－12， b＝－2. ∴a＋b＝－12＋(－2)＝－14