7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 、选择题 1.不等式x-2y>0表示的平面区域是(). 解析将点(1,0)代入x-2y得1-2×0=1>0 答案D x+2y-5>0 2.设实数x,y满足不等式组2x+y7>0,若x,y为整数,则3x+4y的最小值是 x≥0,y≥0. 解析线性区域边界上的整点为(3,1),因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2),对于 点(4,1),3x+4y=3×4+4×1=16:对于点(3,2),3x+4y=3×3+4×2=17,因此3x+ 4y的最小值为16 答案B x-y,10, 3.设变量x,y满足{0≤x+y≤20,则2x3y的最大值为( 0≤y≤15, B.35 C.45 解析画出可行域,根据图形可知当ⅹ=5,y=15时2x3y最大,最大值为55,故选D. 答案 4.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A 原料2kg、B原料4kg,生产乙产品每件需用A原料3kg、B原料2kg.A原料每日供应量 限额为60kg,B原料每日供应量限额为80kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多 超过10件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为() A.500元 B.700元 C.400元 D.650元
7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、选择题 1．不等式 x－2y＞0 表示的平面区域是( )． 解析 将点(1,0)代入 x－2y 得 1－2×0＝1＞0. 答案 D 2．设实数 x，y 满足不等式组 x＋2y－5>0， 2x＋y－7>0， x≥0，y≥0. 若 x，y 为整数，则 3x＋4y 的最小值是 ( )． A．14 B．16 C．17 D．19 解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于 点(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此 3x＋ 4y 的最小值为 16. 答案 B 3. 设变量 x，y 满足 10, 0 20, 0 15, x y x y y − + „ 则 2x+3y 的最大值为( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 55 解析 画出可行域，根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大，最大值为 55，故选 D. 答案 D 4．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、20 元，生产甲产品每件需用 A 原料 2 kg、B 原料 4 kg，生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、B 原料 2 kg.A 原料每日供应量 限额为 60 kg，B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多 超过 10 件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( ) A．500 元 B．700 元 C．400 元 D．650 元
2x+3y≤60 4x+2y≤80 K≤10 解析设每天生产甲乙两种产品分别为x,y件,则x,y满足 利润z=30x+20y 4x+2y= 不等式组所表示的平面区域如图,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x 2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zanx=30×15+ 20×10=650 答案D 4x-y-10≤0 5.设实数x,y满足条件x-2y+8≥0,若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为12,则+的最小值为() 11 C. 解析由可行域可得,当x=4,y=6时,目标函数z=ax+by取得最大值,∴4a+6b=12, 即p2+2=1.:2 13⊥b⊥a13 答案A 已知不等式组x-y≥-1,表示的平面区域为M若直线=k-3k与平面区域∥ 有公共点,则k的取值范围是() A.0, 解析如图所示,画出可行域,直线y=kx-3k过定点(3,0),由数形结合,知该直线的斜
解析 设每天生产甲乙两种产品分别为 x，y 件，则 x，y 满足 2x＋3y≤60， 4x＋2y≤80， y－x≤10， x≥0， y≥0， x，y∈N * . 利润 z＝30x＋20y. 不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，在直线 2x＋3y＝60 和直线 4x ＋2y＝80 的交点 B 处取得最大值，解方程组得 B(15,10)，代入目标函数得 zmax＝30×15＋ 20×10＝650. 答案 D 5．设实数 x，y 满足条件 4x－y－10≤0， x－2y＋8≥0， x≥0，y≥0， 若目标函数 z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的最大值为 12，则2 a ＋ 3 b 的最小值为( )． A. 25 6 B. 8 3 C. 11 3 D．4 解析 由可行域可得，当 x＝4，y＝6 时，目标函数 z＝ax＋by 取得最大值，∴4a＋6b＝12， 即 a 3 ＋ b 2 ＝1.∴ 2 a ＋ 3 b ＝ 2 a ＋ 3 b · a 3 ＋ b 2 ＝ 13 6 ＋ b a ＋ a b ≥ 13 6 ＋2＝ 25 6 . 答案 A 6．已知不等式组 x＋y≤1， x－y≥－1， y≥0 表示的平面区域为 M，若直线 y＝kx－3k 与平面区域 M 有公共点，则 k 的取值范围是( )． A. 0， 1 3 B. －∞， 1 3 C. － 1 3 ，0 D. －∞，－ 1 3 解析 如图所示，画出可行域，直线 y＝kx－3k 过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜
率的最大值为k=0,最小值为k=0-113-2210N2 答案C 7.设双曲线4x-y=1的两条渐近线与直线x=V围成的三角形区域(包含边界)为DP(x 为D内的一个动点,则目标函数z=2-y的最小值为() VE E2 解析曲线4x-y2=1的两条渐近线方程为2x-y=0,2x+y=0,与直 P2,22) 线x=V2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示,所以目标函数z 2一在点P,22处取得最小值为22D-2E==5 答案 填空题 8.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区 域内,则m= 4m9+1 解析由题意可得 解得m=-3. 2m+3<3, 答案 9.在平面直角坐标系中,若不等式组{x-1≤0 (a为常数)所表示的平面区域内 ax-y+1≥0 的面积等于2,则a的值为 x+y-1≥0, 解析等式组 表示的区域为图中阴影部分 x-1≤0 又因为ax-y+1=0恒过定点(0O,1), 当a=0时,不等式组 x-1≤0, 所表示的平面区域的面积为,不合题意;当a0时,所 ax-y+1≥0
率的最大值为 k＝0，最小值为 k＝ 0－1 3－0 ＝－ 1 3 . 答案 C 7．设双曲线 4x 2－y 2＝1 的两条渐近线与直线 x＝ 2围成的三角形区域(包含边界)为 D，P(x， y)为 D 内的一个动点，则目标函数 z＝ 1 2 x－y 的最小值为( ) A．－2 B．－ 3 2 2 C．0 D．－ 5 2 2 解析 曲线 4x 2－y 2＝1 的两条渐近线方程为 2x－y＝0,2x＋y＝0，与直 线 x＝ 2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数 z ＝ 1 2 x－y 在点 P( 2，2 2)处取得最小值为 z＝ 1 2 2－2 2＝－ 3 2 2. 答案 二、填空题 8．若点 P(m,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y＜3 表示的平面区 域内，则 m＝________. 解析 由题意可得 |4m－9＋1| 5 ＝4， 2m＋3＜3， 解得 m＝－3. 答案 －3 9．在平面直角坐标系中，若不等式组 x＋y－1≥0， x－1≤0， ax－y＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域内 的面积等于 2，则 a 的值为________． 解析 等式组 x＋y－1≥0， x－1≤0 表示的区域为图中阴影部分． 又因为 ax－y＋1＝0 恒过定点(0,1)， 当 a＝0 时，不等式组 x＋y－1≥0， x－1≤0， ax－y＋1≥0. 所表示的平面区域的面积为1 2 ，不合题意；当 a<0 时，所
围成的区域面积小于,所以a>0,此时所围成的区域为三角形,其面积为S=×1×(a+1) =2,解之得a=3 答案3 10.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c如下表 ab万吨c/百万元 B70% 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的 最少费用为 百万元 解析可设需购买A矿石x万吨,B矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为 x≥0 0.5x+0.7y≥1.9, 目标函数为z=3x+6y,作图可知当目标函数经过(1,2)点时目 x+0.5≤2 标函数取得最小值,最小值为zin=3×1+6×2=15(百万元) 0.5x+0.7y=19 答案15 11.若变量x,y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为 y≤9 3≤2x+y≤9, 解析根据 得可行域如图所 ry 根据z=x+2y得y=2+2平移直线=X,在M点z取得最小值,根据=9 x12 得 2x+y=3 4
围成的区域面积小于1 2 ，所以 a>0，此时所围成的区域为三角形，其面积为 S＝ 1 2 ×1×(a＋1) ＝2，解之得 a＝3. 答案 3 10．铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表： a b/万吨 c/百万元 A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨)，则购买铁矿石的 最少费用为________百万元． 解析 可设需购买 A 矿石 x 万吨，B 矿石 y 万吨，则根据题意得到约束条件为： x≥0， y≥0， 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2， 目标函数为 z＝3x＋6y，作图可知当目标函数经过(1,2)点时目 标函数取得最小值，最小值为 zmin＝3×1＋6×2＝15(百万元)． 答案 15 11．若变量 x，y 满足约束条件 3≤2x＋y≤9， 6≤x－y≤9， 则 z＝x＋2y 的最小值为________． 解析 根据 3≤2x＋y≤9， 6≤x－y≤9 得可行域如图所示； 根据 z＝x＋2y 得 y＝－ x 2 ＋ z 2 ，平移直线 y＝－ x 2 ，在 M 点 z 取得最小值．根据 x－y＝9 2x＋y＝3 得 x＝4 y＝－5
2x-y=9 此时z=4+2×(-5)=-6. 答案-6 12.若x,y满足约束条件{x-y≥-1 目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小 2x-y≤2, 值,则a的取值范围是 解析画出可行域 ,目标函数可化为y=—x+z,根据图象判断, 当目标函数的斜率一10, 解析()已知条件即x+1-x0, 1-x-y>x>0, 灭-x+1, 化简即〈0<y (2)区域如下图
此时 z＝4＋2×(－5)＝－6. 答案 －6 12．若 x，y 满足约束条件 x＋y≥1， x－y≥－1 2x－y≤2， ，目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1,0)处取得最小 值，则 a 的取值范围是________． 解析 画出可行域 ，目标函数可化为 y＝－ a 2 x＋ 1 2 z，根据图象判断， 当目标函数的斜率－11－x－y>0， x＋1－x－y>y>0， y＋1－x－y>x>0， 化简即 －x＋ 1 2 <y<－x＋1， 0<y< 1 2 ， 0<x< 1 2 . (2)区域如下图．
14.画出2x-32x-3, 解析先将所给不等式转化为 而求正整数解则意味着x,y还有限制条件, 即求兴≤3 的整数解.所给不等式等价于 x>0,y>0 依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1) 对于2x-30,y>0 如图(2)所示 (3,3) 可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组 15.若a≥0,b≥0,且当y≥0, 时,恒有ax+b<≤1,求以a,b为坐标的点P(a, b所形成的平面区域的面积 解析作出线性约束条件y≥0, 对应的可行域如图所示,在此条件下,要使ax+
14．画出 2x－3＜y≤3 表示的区域，并求出所有正整数解． 解析 先将所给不等式转化为 y＞2x－3， y≤3. 而求正整数解则意味着 x，y 还有限制条件， 即求 y＞2x－3， y≤3， x＞0，y＞0 的整数解．所给不等式等价于 y＞2x－3， y≤3. 依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)． 对于 2x－3＜y≤3 的正整数解，再画出 y＞2x－3， y≤3， x＞0，y＞0 表示的平面区域． 如图(2)所示： 可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组． 15．若 a≥0，b≥0，且当 x≥0， y≥0， x＋y≤1 时，恒有 ax＋by≤1，求以 a，b 为坐标的点 P(a， b)所形成的平面区域的面积． 解析 作出线性约束条件 x≥0， y≥0， x＋y≤1 对应的可行域如图所示，在此条件下，要使 ax＋
b≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超过1即可 +by,则 因为a≥0,b≥0,则一1<-≤0时,≤1,或-2≤-1时,a≤1 此时对应的可行域如图 所以以a,b为坐标的点P(a,b所形成的面积为1 16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合 物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童S这两餐需要的营养中至少含64个 单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐 的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分 别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解析设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, ≥0,y≥0, 12x+8y≥64 则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足 6x+6y≥42 3x+2y≥16, 让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z +y≥7, 3x+5y≥27 )3x+5y=27 2.5x+4y在(4,3)处取得最小值 3x+2y=16 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求
by≤1 恒成立，只要 ax＋by 的最大值不超过 1 即可． 令 z＝ax＋by，则 y＝－ a b x＋ z b . 因为 a≥0，b≥0，则－1＜－ a b ≤0 时，b≤1，或－a b ≤－1 时，a≤1. 此时对应的可行域如图， 所以以 a，b 为坐标的点 P(a，b)所形成的面积为 1. 16．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童 S 这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐 的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分 别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元， 则依题意得：z＝2.5x＋4y，且 x，y 满足 x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54， 即 x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16， x＋y≥7， 3x＋5y≥27. 让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知 z ＝2.5x＋4y 在(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求．
