课时跟踪检测(四十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 x-y+1≥0, 1.(2018冒部分学校旗底检测若实数x,y满足x+P≥0, 则2x+y的最小值 为 B.0 C.1 解析:选A作出不等式组所表示的平面区域如图中阴彩部分所示, 令=2x十y,作出直线y=-2x,平移该直线,当直线经过点 2,2 z=2x十y取得最小值,最小值为、故选A. x-y+1=0 j- 2.不等式(x-2y+1x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是 解析:选C(x-2++-3≤0≥ 2y+1≤0,姑合 图形 x+y3≤0 x+y3≥0 可知选C. 「x+y4≤0, 3.(2019螂州桃飘尼已知直线y=A(x+1)与不等式组3x-y≥0,表示的平面区域 x>0,p>0 有公共点,则k的取值范围为() 解析:选C作出不等式组表示的可行城如图中阴影部分所示(不 y=0 jx+y-4=0, 包括直线y=0,直线y=k(x+1)过定点(-1,0,由 过点(—10)与(1的直线的斜率是根据题意可知0<k≤ x+y-4=0
课时跟踪检测（四十三） 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1．(2018·陕西部分学校摸底检测)若实数 x，y 满足 x－y＋1≥0， x＋y≥0， x≤0， 则 2x＋y 的最小值 为 ( ) A．－ 1 2 B．0 C．1 D． 3 2 解析：选 A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 令 z＝2x＋y，作出直线 y＝－2x，平移该直线，当直线经过点 A － 1 2 ， 1 2 时， z＝2x＋y 取得最小值，最小值为－1 2 ，故选 A． 2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是 ( ) 解析：选 C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔ x－2y＋1≥0， x＋y－3≤0 或 x－2y＋1≤0， x＋y－3≥0. 结合图形 可知选 C． 3．(2019·郑州模拟)已知直线 y＝k(x＋1)与不等式组 x＋y－4≤0， 3x－y≥0， x>0，y>0 表示的平面区域 有公共点，则 k 的取值范围为( ) A．[0，＋∞) B． 0， 3 2 C． 0， 3 2 D． 3 2 ，＋∞ 解析：选 C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不 包括直线 y＝0)，直线 y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，由 x＋y－4＝0， 3x－y＝0， 解 得 x＝1， y＝3， 过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是3 2 ，根据题意可知 0<k≤ 3 2
故选C -计2≤0, 4.(2018阳名较期來联已知变量x,y满足约束条件1x≥1, 则的取值 范围是() 3U6,+∞) 3,6] 解析:选A作出不等式组表示的可行城如图中阴彩部分所示, +2=0 易知可行城的三个顶点的坐标分别为A(1,3),B(1,6), ,2 上裹示可行城内的点(x,与原点连蠛的斜率,观察图象可知,当 x+y-7=0 =(6时,得大值,最大僬为6,当cy=,时,得 最小值,最小值为 故x 的取值范 是,小 故选A x+2y≥0, 5.(2019咖素五校联考)已知实数x,y满足{x-<≤0且z=x+y的最大值为6 ≤<≤k 则(x+5)2+y2的最小值为() 解析:选A作出不等式组所表示的平面区城如图中阴彩部分 所示,由z=x+y,得y=-x+z,平移直线y=-x,由图形可知当 直线=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的纵截距最大,此时 arty=6, z最大,最大值为6,即x+y=6由 得A(3,3,直线y y=0 =k过点A,∴k=3又(x+5)2+y2的几何意义是可行城内的点与B(-5,0的距离的平方,数 形结合可知,(-50到直线x+2=0的距离最小,可得(x+5)2+y的最小值为 5+2×0 12+22 2=5故选A 6.已知z=2x+y其中实数xy满足x+<≤2,且z的最大值是最小值的2倍, teas 则a的值是()
故选 C． 4．(2018·安阳名校期末联考)已知变量 x，y 满足约束条件 x－y＋2≤0， x≥1， x＋y－7≤0， 则 y x 的取值 范围是( ) A． 9 5 ，6 B． －∞， 9 5 C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6] 解析：选 A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． 易知可行域的三个顶点的坐标分别为 A(1,3)，B(1,6)，C 5 2 ， 9 2 ， y x 表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x， y)＝(1,6)时，y x 取得最大值，最大值为 6，当(x，y)＝ 5 2 ， 9 2 时，y x 取得 最小值，最小值为9 5 ，故 y x 的取值范围是 9 5 ，6 ，故选 A． 5．(2019·湘东五校联考)已知实数 x，y 满足 x＋2y≥0， x－y≤0， 0≤y≤k， 且 z＝x＋y 的最大值为 6， 则(x＋5)2＋y 2 的最小值为( ) A．5 B．3 C． 5 D． 3 解析：选 A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分 所示，由 z＝x＋y，得 y＝－x＋z，平移直线 y＝－x，由图形可知当 直线 y＝－x＋z 经过点 A 时，直线 y＝－x＋z 的纵截距最大，此时 z 最大，最大值为 6，即 x＋y＝6.由 x＋y＝6， x－y＝0 得 A(3,3)，∵直线 y ＝k 过点 A，∴k＝3.又(x＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与 B(－5,0)的距离的平方，数 形结合可知，(－5,0)到直线 x＋2y＝0 的距离最小，可得(x＋5)2＋y 2的最小值为 |－5＋2×0| 1 2＋2 2 2＝5.故选 A． 6．已知 z＝2x＋y，其中实数 x，y 满足 y≥x， x＋y≤2， x≥a， 且 z 的最大值是最小值的 2 倍， 则 a 的值是( )
2 解析:选D作出不等式组所表示的可行域如图中阴彩部分所示, 联立方程组 解得A(a,a) 联立方程组 解得B(1,1) 化目标函数z=2x+y为y=-2x+乙 由图可知,当直线y=-2x+z过点B时,z取得最大值,此时zmnx=2×1+1=3; 当直线y=-2x+z过点A时,z取得最小值,此时孤m=2a+a=3a x+<≤0, 7.(2019,W安模拟若x,y满足约束条件x-<≤0,则 的最小值为() +y2≤4 B D 解析:选C作出不等式组所表示的平面区城如图中阴影部分所 示,因为目标画数z十表示区城内的点与点P-32的之 x y- 率.由图知当区城内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切綴 十 方程为y-2=kx+3),即kx-y+3k+2=0,则有 2,解得 k2+1 s或k=0合去)所以m=_12,故选C x+y-2≤0, 8.(019庆六被要噜已知x,y满足约束条件-2y-2≤0,若=y-a取得最 2≥0, 大值的最优解不唯一,则实数a的值为( 或-1 B.2或 C.2或1 或-1
A． 2 11 B． 1 4 C．4 D． 1 2 解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示． 联立方程组 x＝a， y＝x， 解得 A(a，a)． 联立方程组 y＝x， x＋y＝2， 解得 B(1,1)． 化目标函数 z＝2x＋y 为 y＝－2x＋z. 由图可知，当直线 y＝－2x＋z 过点 B 时，z 取得最大值，此时 zmax＝2×1＋1＝3； 当直线 y＝－2x＋z 过点 A 时，z 取得最小值，此时 zmin＝2a＋a＝3a. 由 6a＝3，得 a＝ 1 2 . 7．(2019·西安模拟)若 x，y 满足约束条件 x＋y≤0， x－y≤0， x 2＋y 2≤4， 则 z＝ y－2 x＋3 的最小值为( ) A．－2 B．－ 2 3 C．－ 12 5 D． 2－4 7 解析：选 C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所 示，因为目标函数 z＝ y－2 x＋3 表示区域内的点与点 P(－3,2)连线的斜 率．由图知当区域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线 方程为 y－2＝k(x＋3)，即 kx－y＋3k＋2＝0，则有|3k＋2| k 2＋1 ＝2，解得 k＝－ 12 5 或 k＝0(舍去)，所以 zmin＝－ 12 5 ，故选 C． 8．(2019·重庆六校联考)已知 x，y 满足约束条件 x＋y－2≤0， x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0， 若 z＝y－ax 取得最 大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( ) A． 1 2 或－1 B．2 或 1 2 C．2 或 1 D．2 或－1
解析:选D作出不等式组所表示的可行城如图中阴彩部分 y2x-y+2=0 所示,令=0,画出直线y=axm=0显然不满足题意,当m时, 要使=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则需使直线p=a与 x-2y2=0 x+y-2=0平行,此时=-1;当a>0时,要使zy-ax取得2 最大值的最优解不唯一,则需使直严=ax与2x-y+2=0平行, 、x+y2=0 此时a=2综上,a=-1或2 叶5≥0, 9.不等式组≥2, 所表示的平面区域的面积为 0≤x≤2 解析:如图,平面区域为直角梯形,易得A(02),B(22),C(2,T, 5=0 D(0,5,所以AD=3,AB=2,BC=5故所求区城的面积为S=1×3 5)×2=8. 答案:8 10.(2018北京高考诺若x,y满足x+1≤≤2x,则2y-x的最小值是 jx+1≤y 解析:由条件得 /-叶+1≤0, 作出不等式组所表示的可行域如图中阴彩部 1,2)-l 分所示 设z=2y-x,即y-2x+2 作直线h:y=并向上平移,显然当b过点A(1,2)时,z取得最小值,zn=2×2-1 谷案:3 11.(2018·育阳桃抓)已知O是坐标原点,点4(—1,1),若点Mx,y为平面区域 x≤1, 上的一个动点,则OA·的取值范围是 x+p≥2 解析:作出不等式組x≤1, 表示的平面区城如图中阴 y≤2 影部分所示,因为点A(-1,1),点Mx,y所以O4·OM=y-x
解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分 所示．令 z＝0，画出直线 y＝ax.a＝0 显然不满足题意．当 a0 时，要使 z＝y－ax 取得 最大值的最优解不唯一，则需使直线 y＝ax 与 2x－y＋2＝0 平行， 此时 a＝2.综上，a＝－1 或 2. 9．不等式组 x－y＋5≥0， y≥2， 0≤x≤2 所表示的平面区域的面积为________． 解析：如图，平面区域为直角梯形，易得 A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)， D(0，5)，所以 AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为 S＝ 1 2 ×(3 ＋5)×2＝8. 答案：8 10．(2018·北京高考)若 x，y 满足 x＋1≤y≤2x，则 2y－x 的最小值是________． 解析：由条件得 x＋1≤y， y≤2x， 即 x－y＋1≤0， 2x－y≥0， 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部 分所示． 设 z＝2y－x，即 y＝ 1 2 x＋ 1 2 z， 作直线 l0：y＝ 1 2 x 并向上平移，显然当 l0过点 A(1,2)时，z 取得最小值，zmin＝2×2－1 ＝3. 答案：3 11．(2018·南阳模拟)已知 O 是坐标原点，点 A(－1,1)，若点 M(x，y)为平面区域 x＋y≥2， x≤1， y＝2 上的一个动点，则OA ―→·的取值范围是________． 解析：作出不等式组 x＋y≥2， x≤1， y≤2 表示的平面区域如图中阴 影部分所示，因为点 A(－1,1)，点 M(x，y)，所以 OA ―→·OM―→＝y－x
令y-x=m,平移直线y-x=m,由图可知,当直线经过点D(1,1)时,m取得最小值,且最 小值为0,当直线经过点Q0,2)时,m取得最大值,且最大值为2,所以yx的取值范围是 [02],故OA·OM的取值范國是[02] 谷案:[02] 12.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需 要甲材料.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料 0.3kg用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元该 企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产 品B的利润之和的最大值为 解析:设生产A产品x件,B产品y件 1.5x+0.5J≤150, 3x+长≤300 x+0.3≤90, 10x+3y≤900 由已知可得约束条件为 5x+3≤600, 5x+3≤600, x∈N,y∈N r∈N,y∈N. 目标函数为z=2100x+900y, 由约東条件作出不等式组表示的可行域如图中阴彩部分所示 5x+3y 2003x+y=300 7x+3y=0 O、90100120 0x+3y=900 作直线2100x+900y=0,即7x+3y=0,当直线经过点M时,z取得最大值 10x+3y=90 联 解得M60,100) 5x+3y=600, 则zmnx=2100×60+900×100=216000元) 谷案:216000 x-4+3≤0, 13.变量x,y满3x+5y-25≤0, (1)设=4x-3,求z的最大值; (2)设a=求a的最小值 (3)设a3=x2+y2,求a的取值范围 解:作出可行域如图中阴彩部分所示,易得
令 y－x＝m，平移直线 y－x＝m，由图可知，当直线经过点 D(1,1)时，m 取得最小值，且最 小值为 0，当直线经过点 C(0,2)时，m 取得最大值，且最大值为 2，所以 y－x 的取值范围是 [0,2]，故 OA ―→·OM―→的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2] 12．某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需 要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时．生产一件产品 A的利润为 2 100元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该 企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为________元． 解析：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件， 由已知可得约束条件为 1.5x＋0.5y≤150， x＋0.3y≤90， 5x＋3y≤600， x∈N，y∈N. 即 3x＋y≤300， 10x＋3y≤900， 5x＋3y≤600， x∈N，y∈N. 目标函数为 z＝2 100x＋900y， 由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． 作直线 2 100x＋900y＝0，即 7x＋3y＝0，当直线经过点 M 时，z 取得最大值， 联立 10x＋3y＝900， 5x＋3y＝600， 解得 M(60,100)． 则 zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 13．变量 x，y 满足 x－4y＋3≤0， 3x＋5y－25≤0， x≥1. (1)设 z1＝4x－3y，求 z1 的最大值； (2)设 z2＝ y x ，求 z2 的最小值； (3)设 z3＝x 2＋y 2，求 z3 的取值范围． 解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得 A 1， 22 5 ，B(1,1)
4y+3=0, 联立3x+5-25=0,解得C52 4y+3=0 (1)a=4x-3“了3·易知平移直假尸=至过点C时, z1最大,且最大值为4×5-3×2=14 (2)a2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小故a2的最 小值为 (3)2=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=0B2<O42<OC=29,故 的取值范國为[2,29
联立 x－4y＋3＝0， 3x＋5y－25＝0， 解得 C(5,2)， (1)z1＝4x－3y⇔y＝ 4 3 x－ z1 3 ，易知平移直线 y＝ 4 3 x 至过点 C 时， z1 最大，且最大值为 4×5－3×2＝14. (2)z2＝ y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线 OC 斜率最小，故 z2的最 小值为2 5 . (3)z3＝x 2＋y 2 表示可行域内的点到原点距离的平方，而 2＝OB2<OA2<OC2＝29，故 z3 的取值范围为[2,29]．