2019人教A版数学必修五3.3.1《二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题》教案 《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》 课标要求 1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区城和线性规划的意义 2.了解线性约束条件、线性目标亟擻、可行解、可行域、最优解等基本概念. 3.了解线性规划闻题的图解法,并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际可题,以提 高解决实际问题的能力 本节重点和学习中可能遇到的困难 重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),二元一次不等式(组)表示的 平面区域及简单的二元线性规划问题 学习中可能遇到的困难:二元一次不等式表示的平面区域的探究过程及从实际情境 中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决 要点讲解 A.二元一次不等式(组)与平面区域 1.满足二元一次不等式(组)f(xy)≥0或f(x,y)≥0 的x和y的取值构 ≥0 成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式 (组)的解.因为有序实数对(x,y)可以看成直角坐标平面内点的坐标.所以,二元 次不等式(组)的解集是直角坐标系内的点构成的集合 2.在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0(AB≠0)在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.当点P(x1,y)在直 线Ax+By+C=0上时,Ax1+B+C=0:当点P(x1,y)不在这条直线上时,则 Ax1+B1+C>0或Ax1+B1+C0(0的平面区域 先作出边界x+y-2=0,因为这条直线上的点都不满足 x+y-2>0,故画成虚线;又因为C≠0,所以取原点(0,0)代入 x+y-2=0得-20表示的 平面区域内,其区域如图所示 B.简单的线性规划问题 1.一般地说,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最
2019 人教 A 版数学必修五 3.3.1《二元一次不等式（组）与简单 的线性规划问题》教案 高解决实际问题的能力． 一、 本节重点和学习中可能遇到的困难 重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），二元一次不等式（组）表示的 平面区域及简单的二元线性规划问题． 学习中可能遇到的困难：二元一次不等式表示的平面区域的探究过程及从实际情境 中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、 要点讲解 Ａ．二元一次不等式（组）与平面区域 1．满足二元一次不等式（组） f x y ( ) 0 ， ≥ 或 ( ) 0 ( ) 0 f x y g x y ， ≥ ， ≥ 的 x 和 y 的取值构 成有序实数对 ( ) x y ， ，所有这样的有序实数对 ( ) x y ， 构成的集合称为二元一次不等式 （组）的解．因为有序实数对 ( ) x y ， 可以看成直角坐标平面内点的坐标．所以，二元一 次不等式（组）的解集是直角坐标系内的点构成的集合． 2．在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax By C + + 0 ( 0) AB 在平面直角 坐标系中表示直线 Ax By C + + = 0 某一侧所有点组成的平面区域．当点 1 1 P x y ( ) ， 在直 线 Ax By C + + = 0 上时， 1 1 Ax By C + + = 0 ；当点 1 1 P x y ( ) ， 不在这条直线上时，则 1 1 Ax By C + + 0 或 1 1 Ax By C + + 0 ．于是直线 Ax By C + + = 0 把平面分成两部分， 此直线是这两部分平面区域的边界．若其中一部分平面的点用 1 1 P x y ( ) ， 表示，则 Ax By C 1 1 + + 保持相同的符号；若另一部分平面上的点用 2 2 Q x y ( ) ， 表示，则 Ax By C 2 2 + + 保持相同的符号且与前者符号相反．所以只需在此直线的某一侧取一个 特殊点 0 0 ( ) x y ， ，由 Ax By C 0 0 + + 的正负即可判断 Ax By C + + 0( 0) 表示的是直 线哪一侧的平面区域． 特别地，当 C 0 时，常有原点作为特殊点． 画不等式表示的平面区域是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线 定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线应画成虚线． 例如：画出不等式 x y + − 2 0 的平面区域． 先作出边界 x y + − = 2 0 ，因为这条直线上的点都不满足 x y + − 2 0 ，故画成虚线；又因为 C 0 ，所以取原点 (0 0) ， 代入 x y + − = 2 0 得 − 2 0 ，所以，原点 (0 0) ， 不在 x y + − 2 0 表示的 平面区域内，其区域如图所示． Ｂ．简单的线性规划问题 1．一般地说，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最
小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解,由所有可 行解组成的集合叫做可行域.在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可 行解叫做这个问题的最优解 2.线性目标函数二=ax+by(b≠0)的几何意义:元是直线ax+by-z=0在y轴 上的截距 3.生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题.在线性规划的实际问题中, 主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,能使 完成的任务量最大,收到的效益最大:二是给定一项任务,问怎样安排,能使完成这项 任务耗费的人力、物力资源最小 4.求线性规划问题的步骤 图解法是解决线性规划问题的有效方法,其步骤是:①设未知数;②确定目标函数 ③列出约東条件:④画出不等式(组)表示的平面区域,即可行域:⑤作平行直线系 使之与可行域有交点:⑥求最优解并作答;⑦写出目标函数的最值 二 应注意的问题 1.易错点:对可行域、最优解的判断出现问题或对目标函数的几何意义理解不清 都容 易出现错误. 2.课本习题中出现的线性规划都有唯一的最优解,其实线性规划的解有许多不同 的情 况,除了有唯一的最优解的情况外,还有: (1)无可行解:这是约束条件组成的不等式组无解的情况 (2)有无穷多个最优解:这是目标函数z=ax+by和可行域的边界线平行的情 (3)有可行解,无最优解:这种情况只会出现在可行域是开区域的时候.如果 线性 规划中的可行域是闭区域,那么一定有最优解 3.课本习题中出现的都是“截距型”目标函数二=ax+b(a,b不同时为零) 即线 性目标函数,高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外,还有非线性目标函数: (1)“斜率型”目标函数z=(a,b为常数).最优解为点(a,b)与可行 上的点的斜率的最值; (2)“两点间距离型”目标函数z=(x-a)2+(y-b)2(a,b为常数).最优解为 点(a,b)与可行域上的点之间的距离的平方的最值 (3)“点到直线距离型”目标函数z=ax+by+d(abc为常数,且ab不 同时为零).最优解为可行域上的点到直线ax+by+c=0的距离的最值
小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解 ( ) x y ， 叫可行解，由所有可 行解组成的集合叫做可行域．在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可 行解叫做这个问题的最优解． 2．线性目标函数 z ax by b = + ( 0) 的几何意义： z b 是直线 ax by z + − = 0 在 y 轴 上的截距． 3．生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中， 主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使 完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项 任务耗费的人力、物力资源最小． 4．求线性规划问题的步骤 图解法是解决线性规划问题的有效方法，其步骤是：①设未知数；②确定目标函数； ③ 列出约束条件；④画出不等式（组）表示的平面区域，即可行域；⑤作平行直线系 使之与可行域有交点；⑥求最优解并作答；⑦写出目标函数的最值． 三、 应注意的问题 1． 易错点：对可行域、最优解的判断出现问题或对目标函数的几何意义理解不清 都容 易出现错误． 2． 课本习题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同 的情 况，除了有唯一的最优解的情况外，还有： （1） 无可行解：这是约束条件组成的不等式组无解的情况； （2） 有无穷多个最优解：这是目标函数 z ax by = + 和可行域的边界线平行的情 况； （3） 有可行解，无最优解：这种情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果 线性 规划中的可行域是闭区域，那么一定有最优解． 3． 课本习题中出现的都是“截距型”目标函数 z ax by = + （ a b ， 不同时为零）， 即线 性目标函数，高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数： （1）“斜率型”目标函数 y b z x a − = − （ a b ， 为常数）．最优解为点（ a b ， ）与可行 域 上的点的斜率的最值； （2）“两点间距离型”目标函数 2 2 z x a y b = − + − ( ) ( ) （ a b ， 为常数）．最优解为 点（ a b ， ）与可行域上的点之间的距离的平方的最值； （3）“点到直线距离型”目标函数 z ax by c = + + （ a b c ， ， 为常数，且 a b ， 不 同时为零）．最优解为可行域上的点到直线 ax by c + + = 0 的距离的最值．