基本不等式题 选择题 若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a2+b2>2abB.a+b≥2 2.若a>1,则a+—,的最小值是() 3.若x>0,x)=+3x的最小值为() A.12B 4.函数y=对1 x0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( A.16B.25C.9D.36 1.若x,y是正数,则r+)2(+1)的最小值是() 12.给出下列语句:
基本不等式 题 一、选择题 1．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a 2＋b 2>2ab B．a＋b≥2 ab C.1 a ＋ 1 b > 2 ab D.b a ＋ a b ≥2 2．若 a＞1，则 a＋ 1 a－1 的最小值是( ) A．0 B．2 C. 2 a a－1 D．3 3．若 x＞0，f(x)＝ 12 x ＋3x 的最小值为( ) A．12 B．－12 C．6 D．－6 4．函数 y＝x 1－ x 2 (0＜x＜2)的最大值是( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产 x 件，则平 均仓储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费 用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件 6．点(x，y)在直线 x＋3y－2＝0 上移动时，z＝3 x＋27y＋3 的最小值为( ) A. 11 3 B．3＋2 3 C．6 D．9 7．某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均 增长率为 x，则( ) A．x＝ a＋b 2 B．x≤ a＋b 2 C．x＞ a＋b 2 D．x≥ a＋b 2 8．已知正数 a，b 满足 4a＋b＝30，使得1 a ＋ 1 b 取最小值的实数对(a，b)是( ) A．(5，10) B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2) 9．不等式（x＋y）（x＋ay） xy ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36 11．若 x，y 是正数，则 x＋ 1 2y 2 ＋ y＋ 1 2x 2 的最小值是( ) A．2 B.7 2 C．4 D.9 2 12．给出下列语句：
①若a,b为正实数,a≠b,则a3+b3>a2b+ab2 ②若a,b,m为正实数,a5,则a>b ④当x∈(0,)时,smx+2的最小值为2,其中结论正确的个数为() A.0B.1C.2D.3 、填空题 13.已知x>0,y0,1gx+gy=1,划N3 的最小值为 14.函数f(x)=gx+(00,431≤a恒成立,则a的取值范围是 16.已知a>b>0,则a2+,6,取最小值时b的值为 三、解答题(本大题共6小题,共0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分)(1)已知x>0,求y=2-x-的最大值; (2)已知x>2,求y=x+—的最小值; (3)已知0<x222(1-2x)的最大值 次A8,(本小题满分12分过点P(2,1的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点 OB的面积S的最小值
①若 a，b 为正实数，a≠b，则 a 3＋b 3＞a 2b＋ab2 ； ②若 a，b，m 为正实数，a＜b，则 a＋m b＋m ＜ a b ； ③若 a c 2＞ b c 2，则 a＞b； ④当 x∈ 0， π 2 时，sin x＋ 2 sin x 的最小值为 2 2，其中结论正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．已知 x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，则 z＝ 2 x ＋ 5 y 的最小值为________． 14．函数 f(x)＝lg x＋ 4 lg x (0＜x＜1)的最大值是________，当且仅当 x＝________时取等 号． 15．若对任意 x＞0， x x 2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是________． 16．已知 a＞b＞0，则 a 2＋ 64 b（a－b） 取最小值时 b 的值为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)(1)已知 x＞0，求 y＝2－x－ 4 x 的最大值； (2)已知 x＞2，求 y＝x＋ 1 x－2 的最小值； (3)已知 0＜x＜ 1 2 ，求 y＝ 1 2 x(1－2x)的最大值． 18．(本小题满分 12 分)过点 P(2，1)的直线 l 分别交 x 轴，y 轴的正半轴于 A，B 两点， 求△AOB 的面积 S 的最小值．
19(本小题满分12分)设x,y满足约束条件8x-y-4≤0,若目标函数:=ax+b(a>0,b ≥0,y≥0 >0)的最大值为8 (1)求+的最小值 (2)求a2+16b2-4ab的最小值 20(本小题满分12分)是否存在常数c,使得不等式 2xty x+2y x+2y 2x+y 任意正实数x,y恒成立?证明你的结论
19.(本小题满分 12 分)设 x，y 满足约束条件 2x－y＋2≥0 8x－y－4≤0 x≥0，y≥0 ，若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b ＞0)的最大值为 8. (1)求 1 a ＋ 1 b 的最小值； (2)求 a 2＋16b 2－4ab 的最小值． 20.(本小题满分 12 分)是否存在常数 c，使得不等式 x 2x＋y ＋ y x＋2y ≤c≤ x x＋2y ＋ y 2x＋y 对 任意正实数 x，y 恒成立？证明你的结论．
参考答案与解析 1.【解析】选D特值法:取a=b=-1可排除A、B、C选项 2.【解析】选D.因为a>1,所以a-1>0,a+;=(a-1)+ 1≥2^1/(a-1) +1=3,当且仅当 a=2时,等号成立,故选D 3.【解析】选A因为x>0, 所以几x)=12+3x≥2 当且仅当=3x,即x=2时取等号 4.【解析】选B因为0<x<2,所以0<1-x<1, 所以y y=(-=2数-≤ +1 2,当且仅当=1-2,即x=1时,等号成立,故选B 5.【解析】选B因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800+x·x 800+ 所以平均每件费用y=-x 当且仅当800 即当x=80件时,ymn=20 6.【解析】选D因为x+3y=2, 所以z=32+3+3≥2×33+3 2√32+3=9 当且仅当x=3y即x=1,y=3时取等号 7【解析】选BA(+x=4(+a1+b),从而(1+x)2=(1+(1+b1+a+1+b 2 b b 8【解析】选A2+=(+4+=(41
参考答案与解析 1． 【解析】选 D.特值法：取 a＝b＝－1 可排除 A、B、C 选项． 2 ．【解析】 选 D. 因 为 a＞ 1 ， 所 以 a － 1 ＞ 0 ，a ＋ 1 a－1 ＝ (a － 1) ＋ 1 a－1 ＋ 1≥2 （a－1）· 1 a－1 ＋1＝3，当且仅当 a－1＝ 1 a－1 ，即 a＝2 时，等号成立，故选 D. 3．【解析】选 A.因为 x＞0， 所以 f(x)＝ 12 x ＋3x≥2 12 x ×3x＝12， 当且仅当12 x ＝3x，即 x＝2 时取等号． 4．【解析】选 B.因为 0＜x＜2，所以 0＜1－ x 2 ＜1， 所以 y＝x 1－ x 2 ＝2·x 2 1－ x 2 ≤ 2 x 2 ＋1－ x 2 2 2 ＝ 1 2 ，当且仅当x 2 ＝1－ x 2 ，即 x＝1 时，等号成立，故选 B. 5． 【解析】选 B.因为生产 x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 800＋ x 8 ·x， 所以平均每件费用 y＝ 800＋ 1 8 x 2 x ＝ x 8 ＋ 800 x ≥20， 当且仅当x 8 ＝ 800 x ，即当 x＝80 件时，ymin＝20. 6．【解析】选 D.因为 x＋3y＝2， 所以 z＝3 x＋3 3y＋3≥2× 3 x＋3y＋3 ＝2 3 2＋3＝9. 当且仅当 x＝3y 即 x＝1，y＝ 1 3 时取等号． 7．【解析】选 B.A(1＋x) 2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x) 2＝(1＋a)·(1＋b)≤ 1＋a＋1＋b 2 2 ＝ 1＋ a＋b 2 2 ，所以 x≤ a＋b 2 . 8．【解析】选 A.1 a ＋ 1 b ＝ 1 30 1 a ＋ 1 b (4a＋b)＝ 1 30 4＋1＋ b a ＋ 4a b ≥
「b4a 当且仅当ab 时等号成立.故选A 4a+b=3 9.【解析】选B x+y)(x+a)=x+(a+1)x+a2=a +1++a +2G=(+1),当且仅当x=D时等号成立,所以x+)(x+)的最小值为√G+ 1),于是(a+1)2≥9恒成立,所以a≥4,故选B (1+x)+(1+y) 2+(x+y) +8)2 10.【解析】选B.(1+x)(1+y) 因此当且仅当1+x=1+y即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25,故选B 11.【解析】选C (+2)++2)=(2+)++)+(+=1+1+2=4 当且仅当x 时,式子取得最小值4 12.【解析】选C本题①中作差变形后可得:a3+b3-ab-ab2=(a-b)(a+b),由于a b为正实数,a≠b,所以(a-b)(a+b)>0,即①正确;对于②用赋值法很容易判断其错误, 如a=1,b=2,m=1,符合条件但结论不正确;对于③,利用不等式的性质,在不等式两 边同时乘c2,不等号的方向不改变,故正确;对于④,利用基本不等式成立的条件“一正, 二定,三相等”的第三点不成立,取不到“=”,故④错误.综合得正确的有①,③两个 从而选C 【解析】由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10 最小值 当且仅当2y=5x时取等号 又xy=10,即x=2,y=5时等号成立 【答案】 14.【解析】因为00 f(x)=lgx+ (-1gx)+ ≤-21(-1gx)
1 30 5＋2 b a · 4a b ＝ 3 10， 当且仅当 b a ＝ 4a b ， 4a＋b＝30， 即 a＝5， b＝10 时等号成立．故选 A. 9． 【解析】选 B. （x＋y）（x＋ay） xy ＝ x 2＋（a＋1）xy＋ay2 xy ＝a＋1＋ x 2＋ay2 xy ≥a＋1 ＋2 a＝( a＋1)2，当且仅当 x＝ ay 时等号成立，所以（x＋y）（x＋ay） xy 的最小值为( a＋ 1)2，于是( a＋1)2≥9 恒成立，所以 a≥4，故选 B. 10．【解析】选 B.(1＋x)(1＋y)≤ （1＋x）＋（1＋y） 2 2 ＝ 2＋（x＋y） 2 2 ＝ 2＋8 2 2 ＝25， 因此当且仅当 1＋x＝1＋y 即 x＝y＝4 时，(1＋x)(1＋y)取最大值 25，故选 B. 11．【解析】选 C. x＋ 1 2y 2 ＋ y＋ 1 2x 2 ＝ x 2＋ 1 4x 2 ＋ y 2＋ 1 4y 2 ＋ x y ＋ y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当 x＝y＝ 2 2 时，式子取得最小值 4. 12．【解析】选 C.本题①中作差变形后可得：a 3＋b 3－a 2b－ab2＝(a－b) 2 (a＋b)，由于 a， b 为正实数，a≠b，所以(a－b) 2 (a＋b)＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误， 如 a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两 边同时乘 c 2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正， 二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个， 从而选 C. 13． 【解析】由已知条件 lg x＋lg y＝1，可得 xy＝10. 则 2 x ＋ 5 y ≥2 10 xy ＝2， 故 2 x ＋ 5 y 最小值 ＝2， 当且仅当 2y＝5x 时取等号． 又 xy＝10，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 【答案】2 14．【解析】因为 0＜x＜1，所以 lg x＜0， 所以－lg x＞0， f(x)＝lg x＋ 4 lg x ＝－ （－ lg x）＋ 4 －lg x ≤－2 （－lg x）· 4 －lg x ＝－4
当且仅当-gx=-1gx 即lgx=±2时,取“=” 又因为1gx0,所以x+≥2(当且仅当x=1时,等号成立),所以 x2+3x+1 x+-+3 3x+1 的最大值为,故a 【答案】|2,+ 6【解析】因为0>6>0.所以05-b++2=b)]-当且仅当b=-6 即b=时等号成立,所以,64 bab2x+2,所以+(2+≥ a=32,当且仅当a2 即a=4时等号成立,此时b=9=2 【答案】2 17.【解】(1)因为x>0,所以x+-≥4 所以y=2-x+-≤2-4=-2, 所以当且仅当x=-(x>0) (2)因为x>2,所以x-2>0,所以y=x+ 2=4所以当且仅当x-2 x>2),即x=3时,ym=4 (3因为00,所以y=×2x(1-20)=4 1/2x+1-2x 所以 当且仅当2x=1-2x0<x< 即 18.【解】设直线l的方程为y-1=kx-2)显然k存在,且k≠0)
当且仅当－lg x＝ 4 －lg x ， 即 lg x＝±2 时，取“＝”． 又因为 lg x＜0，所以 lg x＝－2，此时 x＝ 1 100. 【答案】－4 1 100 15．【解析】因为 x＞0，所以 x＋ 1 x ≥2(当且仅当 x＝1 时，等号成立)，所以 x x 2＋3x＋1 ＝ 1 x＋ 1 x ＋3 ≤ 1 2＋3 ＝ 1 5 ， 即 x x 2＋3x＋1 的最大值为1 5 ，故 a≥ 1 5 . 【答案】 1 5 ，＋∞ 16．【解析】因为 a＞b＞0，所以 0＜b(a－b)≤ b＋（a－b） 2 2 ＝ a 2 4 ，当且仅当 b＝a－b， 即 b＝ a 2 时等号成立，所以 64 b（a－b） ≥ 64×4 a 2 ＝ 256 a 2 ，所以 a 2＋ 64 b（a－b） ≥a 2＋ 256 a 2 ≥ 2 a 2· 256 a 2 ＝32，当且仅当 a 2＝ 256 a 2 ，即 a＝4 时等号成立，此时 b＝ a 2 ＝2. 【答案】2 17．【解】(1)因为 x＞0，所以 x＋ 4 x ≥4， 所以 y＝2－ x＋ 4 x ≤2－4＝－2， 所以当且仅当 x＝ 4 x (x＞0)， 即 x＝2 时，ymax＝－2. (2)因为 x＞2，所以 x－2＞0，所以 y＝x＋ 1 x－2 ＝x－2＋ 1 x－2 ＋2≥2 （x－2） 1 x－2 ＋ 2＝4.所以当且仅当 x－2＝ 1 x－2 (x＞2)，即 x＝3 时，ymin＝4. (3)因为 0＜x＜ 1 2 ，所以 1－2x＞0，所以 y＝ 1 4 ×2x·(1－2x)≤ 1 4 2x＋1－2x 2 2 ＝ 1 16，所以 当且仅当 2x＝1－2x 0＜x＜ 1 2 ， 即 x＝ 1 4 时，ymax＝ 1 16. 18．【解】设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(显然 k 存在，且 k≠0)．
令y=0,可得A( 令x=0,可得B(0,1-2k) 因为A,B都在正半轴上, 所以2->0且1-2k>0,可得k0 b+已-35+++x(m5+ 4)=g 当且仅当=g=2,即a=8,b=时取等号, 所以+的最小值为 (2因为a+4b=8,a>0,b>0, 所以a+4b≥2·4b=4Vb 所以ab≤4 (a+4b)2 又因为a2+16b2≥ 所以a2+16b2-4ab≥32-16=16,当且仅当a=4b=4,即a=4,b=1时取等号
令 y＝0，可得 A 2－ 1 k ，0 ； 令 x＝0，可得 B(0，1－2k)． 因为 A，B 都在正半轴上， 所以 2－ 1 k ＞0 且 1－2k＞0，可得 k＜0. 所以 S△AOB＝ 1 2 |OA|·|OB|＝ 1 2 2－ 1 k (1－2k) ＝ －4k 2＋4k－1 2k ＝－2k＋ 1 －2k ＋2 ≥2 （－2k）· 1 （－2k） ＋2＝4， 当且仅当 k 2＝ 1 4 ，即 k＝－ 1 2 时，S△AOB取得最小值 4. 19．【解】 作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线 l0：ax＋by＝0， 平移 l0，由图可知，当直线经过点 A(1，4)时，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8. (1)因为 a＞0，b＞0，则 1 a ＋ 1 b ＝ 1 8 (a＋4b)· 1 a ＋ 1 b ＝ 1 8 5＋ 4b a ＋ a b ≥ 1 8 5＋2 4b a · a b ＝ 1 8 (5＋ 4)＝ 9 8 ， 当且仅当4b a ＝ a b ＝2，即 a＝ 8 3 ，b＝ 4 3 时取等号， 所以1 a ＋ 1 b 的最小值为9 8 . (2)因为 a＋4b＝8，a＞0，b＞0， 所以 a＋4b≥2 a·4b＝4 ab， 所以 ab≤4. 又因为 a 2＋16b 2≥ （a＋4b）2 2 ＝32， 所以 a 2＋16b 2－4ab≥32－16＝16，当且仅当 a＝4b＝4，即 a＝4，b＝1 时取等号
所以a2+16b2-4ab的最小值为16 20【解】当x=y时,由已知不等式得c=3下面分两部分给出证明: (1)先证 ≤,此不等式兮 x+y x+2y 3 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y) 台2y≤x2+y2,此式显然成立 (2)再证 +2y 此不等式台3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y(2x+y) 台x2+y2≥2xy,此式显然成立 综上可知,存在常数c=2,使得不等式x ≤c≤+对任意正实数 y恒成立
所以 a 2＋16b 2－4ab 的最小值为 16. 20【解】当 x＝y 时，由已知不等式得 c＝ 2 3 .下面分两部分给出证明： (1)先证 x 2x＋y ＋ y x＋2y ≤ 2 3 ，此不等式⇔ 3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y) ⇔2xy≤x 2＋y 2，此式显然成立． (2)再证 x x＋2y ＋ y 2x＋y ≥ 2 3 ，此不等式⇔3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y) ⇔x 2＋y 2≥2xy，此式显然成立． 综上可知，存在常数 c＝ 2 3 ，使得不等式 x 2x＋y ＋ y x＋2y ≤c≤ x x＋2y ＋ y 2x＋y 对任意正实数 x， y 恒成立．