基本不等式 目的要求:复习与掌握基本不等式及其运用 重点难点:利用基本不等式的运用技巧 教学设计: 我们已经学习过重要不等式a2+b2≥2ab,下面将它以定理的形式给出 二、定理1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab当且仅当a=b时等号成立 让学生自己给出证明 探究:你能从几何的角度解释定理1吗? 分析:a2与b的几何意义是正方形面积,ab的几何意义是矩形面积,可考虑从图 形的面积角度解释定理。 几何意义:如图把实数a,b作为线段 长度,以a≥b为例,在正方形ABCD 中 AB=a:在正方形CEFG中,EF=b则S 正方形 ABCD+S正方形CEFG=a2+b S矩形GH+S矩形CG=2ab,其值等 于图中有阴影部分的面积,它不大于 正方形ABCD与正方形CEFG的面积 和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,两个矩形成为正方形,此时有a2+b2=2ab 三、定理2:将定理1做简单变形即可得到定理2,如下 如果ab>0,那么2≥√ab,当且仅当a=b时,等号成立 证明:因为a+b=(a)+(b)≥2ab=2√mb 所以a+b≥√ab 上式当且仅当 ,即a=b时,等号成立。 其 b 中为ab的算术平均,√abab的几何平均,于是基本不等式可以表述为 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 几何意义为:如图在直角三角形中,CO、CD分 B
基本不等式 目的要求： 复习与掌握基本不等式及其运用。 重点难点： 利用基本不等式的运用技巧。 教学设计： 一、引入： 我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab，下面将它以定理的形式给出. 二、定理 1 如果 a, b∈R, 那么 a²+b²≥2ab.当且仅当 a=b 时等号成立。 让学生自己给出证明. 探究： 你能从几何的角度解释定理 1 吗？ 分析：a²与 b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图 形的面积角度解释定理。 几何意义：如图把实数 a，b 作为线段 长度，以 a≥b 为例，在正方形 ABCD 中， AB=a；在正方形 CEFG 中，EF=b.则 S 正方形 ABCD+S 正方形 CEFG=a²+b². S矩形BCGH + S矩形CEFG = 2ab ，其值等 于图中有阴影部分的面积，它不大于 正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积 和。即 a²+b²≥2ab.当且仅当 a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a²+b²=2ab。 三、定理 2：将定理 1 做简单变形即可得到定理 2，如下： 如果 a,b>0，那么 ab a b + 2 ，当且仅当 a=b 时，等号成立. 证明：因为 a b ( a ) ( b ) 2 a b 2 ab 2 2 + = + = 所以 ab a b + 2 ， 上式当且仅当 a = b ，即 a=b 时，等号成立。 其中 2 a + b 为 a,b 的算术平均， ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为: 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 几何意义为: 如图在直角三角形中，CO、CD 分 a a b b b A H I D K G B J C F E C A B O D
别是斜边上的中线和高,设AD=a,DB=b,则由图形可得到基本不等式的几何解释。 四、教学例题 例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大:(2)在所有 面积相同的矩形中,正方形的周长最短。 结论:已知x,y都是正数。(1)如果积x是定值p,那么当x=y时,和x+y有 最小值2P;(2)如果和x+y是定值s,那么当xy时,积x有最大值S2 例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它 的主体造型平面图(右图)是由两个相同的矩形 ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型 地域,计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为 每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影 部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在 四个空角(图中四个直角三角形)上铺上草坪,造价 为每平方米80元。 (1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式 (2)当x为何值时S最小,并求出这个最小值。 五、小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求 最值时,一定要满足“一正二定三相等”的条件。 六、课后作业
别是斜边上的中线和高，设 AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。 四、.教学例题 例 3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有 面积相同的矩形中，正方形的周长最短。 结论：已知 x, y 都是正数。（1）如果积 xy 是定值 p，那么当 x=y 时，和 x+y 有 最小值 2 p ；（2）如果和 x+y 是定值 s，那么当 x=y 时，积 xy 有最大值 2 4 1 S 例 4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它 的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 平方米的十字型 地域，计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，造价为 每平方米 4200 元，在四个相同的矩形上（图中阴影 部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在 四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价 为每平方米 80 元。 （1）设总造价为 S 元，AD 长为 x 米，试建立 S 关于 x 的函数关系式。 （2）当 x 为何值时 S 最小，并求出这个最小值。 五、小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求 最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。 .六、课后作业
第三课时三个正数的算术一几何平均不等式 目的要求:了解三个正数的算术一几何平均不等式及其一般形式 重点难点:三个正数的算术一几何平均不等式及其应用 教学设计 引入 思考:类比基本不等式的形式,猜想对于3个正数a,b,c,可能有怎样的不等 式成立? 类比基本不等式的形式,猜想对于3个正数a,b,c,可能有:若 a.bc∈R.,那么2+bc≥、ah,当且仅当a-b=c时,等号成立 、给出定理 证明:若a,b,c∈R,则a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立 和的立方公式:(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y 立方和公式:x3+y23=(x+yx2-xy+y2) 定理如果abc∈R,那么a+b4z当且仅当a=b=c时,等号成立 (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均) 说明:(1)若三个正数的积是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它 们的和有最小值 (2)若三个正数的和是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它们的积 有最大值 定理推广:n个正数的算术一几何平均不等式: 若a1,a2,a3…,an∈R+,则 a1+a2+a3+…+an a1a:a3·Ln 当且仅当a=a2=a3=…=an时,等号成立 三、教学实例 (1)出示例5已知x,y,z∈R,求证(x+y+)≥27xyz 证明因为x+y+zx=>0 所以 +y+ 27xyz,即(x+y+)≥27xy2 (三个正数的算术一几何平均不等式的一个简单变形,主要是这种变形的意识很
第三课时 三个正数的算术—几何平均不等式 目的要求： 了解三个正数的算术—几何平均不等式及其一般形式. 重点难点：三个正数的算术—几何平均不等式及其应用。 教学设计： 一、 引入： 思考：类比基本不等式的形式，猜想对于 3 个正数 a，b，c，可能有怎样的不等 式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于 3 个正数 a，b， c，可能有：若 a,b,c R+ ，那么 3 3 abc a b c + + ，当且仅当 a=b=c 时，等号成立． 二、给出定理 和的立方公式： 立方和公式： 定理 如果 a,b,c R+ ，那么 3 3 abc a b c + + 当且仅当 a=b=c 时，等号成立． （三个正数的算术平均不小于它们的几何平均） 说明：（１）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它 们的和有最小值． （２）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积 有最大值． 定理推广：n 个正数的算术—几何平均不等式： 三、教学实例 （三个正数的算术—几何平均不等式的一个简单变形，主要是这种变形的意识很 0, 3 3 + + xyz x y z 证明 因为 ( ) , ( ) 27 . 27 3 3 xyz x y z xyz x y z + + + + 所以 即 1 5 , , , ( ) 27 . 3 （）出示例 已知x y z R+ 求证 x + y + z xyz : , , , 3 , , . 证明 若a b c R+ 则a 3 + b 3 + c 3 abc 当且仅当a = b = c时 等号成立 3 3 2 2 3 (x + y) = x + 3x y + 3xy + y ( )( ) 3 3 2 2 x + y = x + y x − xy + y , . , , , , , , 1 2 3 2 3 2 1 2 3 1 1 3 当且仅当 时 等号成立 若 则 n n n n a a a a a a a a n a a a a a a a an R = = = = + + + + +
重要) (2)出示例6如下图,把一块边长 是a的正方形铁片的各角切去大小相 同的小正方形,再把它的边沿着虚线 折转成一个无盖方底的盒子问切去的 正方形边长是多少时,才能使盒子的 容积最大? 解:设切去的正方形边长为x,无盖方底盒子的容积为V,则 r=(a-2x)2x=(a-2x)a-2x)×4x≤ 1「(a-2x)+(a-2x)+4x 3 当且仅当a-2x=a-2x=4x,即当x=2时,不等式取等号,此时V取最大 值.即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时,盒子的容积最大 6 四、小结 回顾基本不等式及三个正数的算术一几何平均不等式以及它们的限制条件,应用 它们时的注意点。 五、课后作业
重要）. （2）出示例 6 如下图，把一块边长 是 a 的正方形铁片的各角切去大小相 同的小正方形，再把它的边沿着虚线 折转成一个无盖方底的盒子,问切去的 正方形边长是多少时，才能使盒子的 容积最大？ 解：设切去的正方形边长为 x，无盖方底盒子的容积为 V，则 当且仅当 a − 2x = a − 2x = 4x ，即当 6 a x = 时，不等式取等号，此时Ｖ取最大 值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的 6 1 时，盒子的容积最大． 四、小结： 回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用 它们时的注意点。 五、课后作业 V a x x 2 = ( − 2 ) (a 2x)(a 2x) 4x 4 1 = − − 27 2 3 ( 2 ) ( 2 ) 4 4 1 3 3 a x a x x a = − + − + a