基本不等式(导学案) 预习案 、预习内容 如图所示,这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北 京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其 中含有哪些相等关系或不等关系吗? 设小直角三角形的两条直角边为a、b(a≠b), 则正方形的边长为 ,正方形的面积 四个直角三角形的面积和为 思考:当中间的小正方形面积为0的时候,此时直角三角形是 (4xS 教学案 、学习目标 (1)学会推导不等式√ab≤+,理解基本不等式的几何意义 (2)知道算术平均数、几何平均数的概念 (3)会用基本不等式求一些简单的最值问题 、学习难点 理解“当且仅当a=b时取等号”的意义。 三、学生学习活动过程 1.学生预习成果展示 概念:一般的对于任意的实数a,b,我们有 ,当且仅当 时等号成立 特别的如果>0b0我们用a、6分别代替ab,可得 我们通 常把上式写成√mbs(a>0b>0) 2 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接 利用不等式的性质来推导呢? 证明过程:要证 a+b 只需证 ②(同时平方) 要证②只需证 ③(右边的项移到左 要证③只需证 显然④成立当且仅当a=b时,等号成立
基本不等式（导学案） 预 习 案 一、预习内容 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北 京召开的 24 届国际数学家大会上作为会标。你知道这其 中含有哪些相等关系或不等关系吗？ 设小直角三角形的两条直角边为 a b 、 （ a b ）， 则正方形的边长为 ，正方形的面积 为 。四个直角三角形的面积和为 。 4 S三角形 S正方形 < 。 思考：当中间的小正方形面积为 0 的时候，此时直角三角形是 , ( 4 = S三角形 S正方形 ) 。 教学案 一、学习目标 （1）学会推导不等式 2 a b ab + ，理解基本不等式的几何意义。 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用基本不等式求一些简单的最值问题 二、学习难点 理解“当且仅当 a b = 时取等号” 的意义。 三、学生学习活动过程 1．学生预习成果展示 概念: 一般的,对于任意的实数 a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果 a ,b 0 0 ,我们用 a b 、 分别代替 a,b ,可得 。我们通 常把上式写成 2 a b ab + ( a ,b 0 0 ) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接 利用不等式的性质来推导呢? 证明过程: 要证 2 a b ab + ① 只需证 ② (同时平方) 要证②只需证 0 ③ (右边的项移到左 侧) 要证③只需证 2 (_____ _____) 0 − ④ 显然④成立.当且仅当 a b = 时,等号成立
2.小组合作学习-研讨 概念扩展:回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b,且a>0,b>0, a+b 是a,b的 叫做a,b的算术平均数, ab是叫做ab的 叫做a,b的几何平均数 由基本不等式可得:a,b的等差中项 ab的等比中项 特别的,当a=b时,ab的等差中项等于a,b的等比中项。 3.当堂训练 习题一:若a>0,则a+-≥ 若ab>0,则 习题二:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少所用 篱笆最短? 设菜园的长为x,宽为y,则xy= ,篱笆的总长度表示为 由22√ahb可得x+y≥ 当等号成立时,所用篱笆最短,此时x=,y= (2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少面积最 设菜园的长为x,宽为y,则x+y= 篱笆的面积表示为 由+≥项可得x≤ 当等号成立时,面积最大,此时x= 总结:两个实数a>0,b>0, 若它们的积为定值,则它们的和有最值,当且仅当a=b成立 若它们的和为定值,则它们的和有最值,当且仅当a=b成立 巩 案 、练习:1直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两直角边的和最小?最小 值为多少? 设两边分别为x,y。则xy= xt y 2用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折? 3把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? 4把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?
2．小组合作学习-研讨 概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数 a,b , 且 a ,b 0 0 , 2 a b + 是 a,b 的 ，叫做 a,b 的算术平均数， ab 是叫做 a,b 的 ，叫做 a,b 的几何平均数， 由基本不等式可得： a,b 的等差中项 a,b 的等比中项 ， 特别的，当 a b = 时， a,b 的等差中项等于 a,b 的等比中项。 3. 当堂训练 习题一：若 a 0 ，则 1 a a + 若 ab 0 ，则 a b b a + 习题二：（1）用篱笆围一个面积为 100 2 m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用 篱笆最短？ 设菜园的长为 x ，宽为 y ，则 xy = ，篱笆的总长度表示为 ， 由 2 a b ab + 可得 x y + ， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时 x y = = ___, ___. （2）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最 大？ 设菜园的长为 x ，宽为 y ，则 x y + = ，篱笆的面积表示为 ， 由 2 a b ab + 可得 xy ， 当等号成立时，面积最大，此时 x y = = _____, _____. 总结：两个实数 a b 0, 0, 若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当 a b = 成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当 a b = 成立。 巩 固 案 一、练习：1 直角三角形的面积为 50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小 值为多少？ 设两边分别为 x y, 。则 xy = _______ x y + 2 用 20cm 长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 3 把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 4 把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？荆轲，一个四处为家的刺客，他的心 犹如浮云，心如飘蓬，是没有根的，然而高渐离的筑声，却成了他愿意停留在燕国这片土地上的原由
虽是初见，却如故人。也许所有的遇见，早已经是前世的注定，没有早晚，刚好在合适的时间遇见你，就是最美的相识。 他曾经游历过多少地方，自己已经数不清，但是没有一处可以挽留他行走的脚步，唯有今日高渐离的筑声，让他怎么也舍不得离开。 从此二人心性相投，在燕国集市上，载歌击筑，把盏言欢，欢喜处。嬉笑开颜，忧伤处，潸然泪下，即便这些神经质的状态，被集市上的人哗然，可是对知己而言，又如何呢？ 人生难得一知己，悲欢喜悦与何人相干呢？我们各自欢喜就好。生为乱世，能够遇到如此懂得自己的人，是一件多么难得的幸福事情啊！ 然而，这快意的知己日子，总归逃不过那个时代的残酷，千不该，万不该，荆轲不该是一位刺客，若不如此，又如何会被愚蠢的太子丹派去刺杀秦王，一去不复返。 倘若荆轲不是刺客，也就更不可能身如飘蓬，居无定所，也许不可能遇见高渐离，所有一切都是冥冥之中的注定吧！ “风萧萧兮，易水寒，壮士一去兮，不复还。”知己的离去，让高渐离心如刀割，整日独自击筑高歌，在痛苦中浑噩度日，这样疏懒的生活，无人懂他，对他来说已经倦怠了，他厌倦了 这种孤独和苟且的日子。 他本可以大隐于野，疏远于喧嚣处，可是他同样选择了一条不归路。去咸阳宫为上宾演奏，最终被人认出，他并不害怕，倒是坦然自若。因为他心里清楚这里就是染过他知己——荆轲的 鲜血的宫殿，若能在这里死去，也算是一种缘分。 然而事与愿违，秦王并没杀了他，给他一个痛快，而是熏瞎了他的双目，让他生不如死。在一次次的心伤中，他在筑中灌满了铅，仿效荆轲，想与秦王同归于尽，只是他心里非常清楚， 他根本伤及不了秦王毫发。 他之所以如此，以卵击石，无非就是想痛快死去，是一种求死的方式罢了。千百年以后，后人深记那易水的水有多寒冷，那易水的风有多刺骨。那句“风萧萧兮，易水寒，壮士一去兮， 不复还”里融入了多少痛苦和无奈？ 几千年之后，易水的水，易水的风，易水的雪，一年复一年，而那个凄美的故事，也这样经久不衰的传颂着。 不由让我又想起伯牙绝弦的故事来，因为知己子期的离世，伯牙绝弦谢知音。 人世间有一种高山流水的知己，叫伯牙和子期，也有一种侠义知己，叫荆轲与高渐离。古语曰：“士为知己者死。”这可能是世间最高的知己情意了吧！ 人生漫漫，朋友易得，知己难求。 知己情，是我们需要用生命去珍惜和呵护的情意。然而这个时代，情意似乎越来越廉价，从深交到陌生。若你遇到知己情，别忘了好好珍惜
