元二次函数、方程和不等式 22基本不等式
-1- 2.2 基本不等式 一元二次函数、方程和不等式
首页 课标阐释 思维脉络 1理解基本不等式√ab≤a,b≥0) 公式 2能用基本不等式解决简单的求最大值 证明不等式 或最小值的问题 基本不等式 求最值 3能运用基本不等式证明不等式和比较 代数式的大小 比较大小
首页 课标阐释 思维脉络 1.理解基本不等式 ab ≤ a+b 2 (a,b≥0). 2.能用基本不等式解决简单的求最大值 或最小值的问题. 3.能运用基本不等式证明不等式和比较 代数式的大小
课前篇 自主预习 、基本不等式 1(1)在上节课中我们学习了一个重要不等式若ab∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立如果a>0,b>0我们用 √a、b分别代替不等式中的a、b,可得到什么形式? 提示得到a+b≥2Vab (2)这个不等式我们经常写成√ab≤a>0,b>0),并称这个不 等式为“基本不等式”等号成立的条件是什么? 提示当且仅当a=b时,等号成立 (3)我们称√ab为ab的几何平均数称为ab的算术平均数 如何用这两个概念描述基本不等式? 提示基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数
课前篇 自主预习 一 二 一、基本不等式 1.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若 a,b∈R,则 a 2 +b2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立).如果 a>0,b>0,我们用 𝑎、 𝑏分别代替不等式中的 a、b,可得到什么形式? 提示:得到 a+b≥2 𝑎𝑏. (2)这个不等式我们经常写成 𝑎𝑏 ≤ 𝑎+𝑏 2 (a>0,b>0),并称这个不 等式为“基本不等式”.等号成立的条件是什么? 提示:当且仅当a=b时,等号成立. (3)我们称 𝑎𝑏为 a,b 的几何平均数,称 𝑎+𝑏 2 为 a,b 的算术平均数. 如何用这两个概念描述基本不等式? 提示:基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数
课前篇 自主预习 (4)如图所示AB是圆的直径,点C是AB上的一点AC=a,BC=b过点 C作垂直于AB的弦DD连接AD、BD B ①AB表示什么?②表示哪条线段?③∨ab对应哪个线段呢?④ OD与CD的大小关系如何?从中你能发现什么? 提示①AB表示圆的直径;②表示线段OD,③Vab对应线段CD ④圆的半径大于或等于CD即≥√ab基本不等式的几何意义是 半径不小于半弦
课前篇 自主预习 一 二 (4)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点 C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD. ①AB 表示什么?② 𝑎+𝑏 2 表示哪条线段?③ 𝑎𝑏对应哪个线段呢?④ OD 与 CD 的大小关系如何?从中你能发现什么? 提示:①AB 表示圆的直径;② 𝑎+𝑏 2 表示线段 OD;③ 𝑎𝑏对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即 𝑎+𝑏 2 ≥ 𝑎𝑏.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦
课前篇 自主预习 2填空 我们称不等式 为基本不等式其中a_b,当且仅当 a=b时等号成立
课前篇 自主预习 一 二 2.填空 我们称不等式 𝑎 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏2 为基本不等式,其中 a > 0,b > 0,当且仅当 a=b 时,等号成立
课前篇 自主预习 、利用基本不等式求最值 1填写下面的两个表格 Xtl I0000000010 (x>0) >0) (x>0) (y>0) +
课前篇 自主预习 一 二 二、利用基本不等式求最值 1.填写下面的两个表格: x+y 10 10 10 10 10 10 10 10 10 x(x>0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y(y>0) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 xy xy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x(x>0) 1 5 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 5 y(y>0) x+y
课前篇 自主预习 根据以上表格,并结合基本不等式分析 (1)当x+y是定值时xγ有最大值还是最小值?最值等于什么? (2)当xy是定值时x+y有最大值还是最小值?最值等于什么? 提示填表略,(1)当x+y是定值时xy有最大值,且最大值等于 )32)当是定值时x+y有最小值且最小值等于2y
课前篇 自主预习 一 二 根据以上表格,并结合基本不等式分析: (1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么? (2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么? 提示:填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于 𝑥+𝑦 2 2 ;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2 𝑥𝑦
课前篇 自主预习 2填空 基本不等式与最值 已知xy都是正数 (1)若x+y=(和为定值,则当x=y时,积x取得 (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时和x+y取得
课前篇 自主预习 一 二 2.填空 基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若 x+y=S(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值1 4 S 2 . (2)若 xy=P(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 𝑃
课前篇 自主预习 3做一做 已知x>0,y>0 (1)若xy=4则x+y的最小值是 (2)若x+y=4则xy的最大值是 解析(1):x>0y>0x=4,x+y≥2√xy=4 当且仅当x=y=2时等号成立, ∴x+y的最小值为4. (2)当x+y=4时√xy cty 2 :xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立, xy的最大值为4 答案(1)4(2)4
课前篇 自主预习 一 二 3.做一做 已知x>0,y>0. (1)若xy=4,则x+y的最小值是 ; (2)若x+y=4,则xy的最大值是 . 解析:(1)∵x>0,y>0,xy=4,∴x+y≥2 𝑥𝑦=4. 当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴x+y 的最小值为 4. (2)当 x+y=4 时, 𝑥𝑦 ≤ 𝑥+𝑦 2 =2, ∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4. 答案:(1)4 (2)4
课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三随堂演练 基本不等式的理解 例1下列命题正确的是() A.若x0,则x+≥4 x B若ab∈R,且ab>0,则+≥2 C√x2+2+的最小值为2 4、Vx2+2 Dy=23x≥243x>0)
课堂篇 探究学习 探究一 探究二 探究三 随堂演练 基本不等式的理解 例1下列命题正确的是( ) A.若 x≠0,则 x+4 𝑥 ≥4 B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ≥2 C. 𝑥 2 + 2 + 1 𝑥 2 +2 的最小值为 2 D.y=2-3x- 4 𝑥 ≥2-4 3(x>0)