新教材适用·高中必修数学 基本不等式 A组基础巩固 1.若0,y0,28=1,则x有() A.最大值64B.最小值 C.最小 D.最小值64 解析:F=1+8) 2y+8x≥2V2y·8x=8xy ≥8 x=4 即xy≥64,当且仅当 时等号成立 2y=8x, 答案:D 2.已知x>0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是() A.3B.4 C 9 11 解析:∵x+2y+2xy=8,…厂2x+20, ∴-10,b>0,且1n(a+b)=0,则+的最小值是() C.4D.8
新教材适用·高中必修数学 基本不等式 A 组 基础巩固 1．若 x>0，y>0，且2 x ＋ 8 y ＝1，则 xy 有( ) A．最大值 64 B．最小值 1 64 C．最小值1 2 D．最小值 64 解析：xy＝xy 2 x ＋ 8 y ＝2y＋8x≥2 2y·8x＝8 xy，∴ xy≥8， 即 xy≥64，当且仅当 2 x ＋ 8 y ＝1， 2y＝8x， x>0，y>0， 即 x＝4 y＝16 时等号成立． 答案：D 2．已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C. 9 2 D. 11 2 解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝ 8－x 2x＋2 >0， ∴－10，b>0，且 ln(a＋b)＝0，则1 a ＋ 1 b 的最小值是( ) A. 1 4 B．1 C．4 D．8
解析:由a>0,b0,1n(a+b)=0,得b0, a+b=1, a+b a+b b a=4,当且仅当a=b=时,取等号 答案:C 4.已知x+3y-2=0,则32+27+1的最小值是( 解析:∵32+27+1=32+3+1≥ +1=2×3+1=7,当且仅当3=3且x+3y-2 0,即x=1,y=时,等号成立,∴所求最小值为7 答案:D 5.设M是△ABC内一点,且△ABC的面积为1,定义f(M=(m,m,p),其中m、n、p分 别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(胁 =…小则+的最小值是( A.8B.9 C.16D.18 解析:△ABC的面积为△BR,△∥CM,△MB的面积之和,:1+x+y=1,即x+y=1,1 +9+09+238当里仅当-时等号成立 答案:D 6.设abC>0,则2a2+ 10ac+25c的最小值是() 解析:∵Db∞0,∴原式=2+1+-1, 10ac+25c +a=a-ab ab+1+(a-502≥2+2+0=4,当且仅当a(a-b=1,ab=1,a-5c=0时取等号.即当a √2, 时,所求式的最小值为4 答案:B 7.函数y=a‘(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+my-1=0(m>0)上
解析：由 a>0，b>0，ln(a＋b)＝0，得 a>0， b>0， a＋b＝1， ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b a ＋ a＋b b ＝2＋ b a ＋ a b ≥2＋2 b a · a b ＝4，当且仅当 a＝b＝ 1 2 时，取等号． 答案：C 4．已知 x＋3y－2＝0，则 3 x ＋27y ＋1 的最小值是( ) A．3 3 9 B．1＋2 2 C．6 D．7 解析：∵3 x ＋27y ＋1＝3 x ＋3 3y ＋1≥2 3 x＋3y ＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当 3 x ＝3 3y 且 x＋3y－2 ＝0，即 x＝1，y＝ 1 3 时，等号成立，∴所求最小值为 7. 答案：D 5．设 M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为 1，定义 f(M)＝(m，n，p)，其中 m、n、p 分 别是△MBC，△MCA，△MAB 的面积，若 f(M)＝ 1 2 ，x，y ，则1 x ＋ 4 y 的最小值是( ) A．8 B．9 C．16 D．18 解析：△ABC 的面积为△MBC，△MCA，△MAB 的面积之和，∴ 1 2 ＋x＋y＝1，即 x＋y＝ 1 2 ， 1 x ＋ 4 y ＝ 1 x ＋ 4 y (2x＋2y)＝10＋ 8x y ＋ 2y x ≥18.当且仅当 x＝ 1 6 ，y＝ 1 3 时等号成立． 答案：D 6．设 a>b>c>0，则 2a 2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b －10ac＋25c 2 的最小值是( ) A．2 B．4 C．2 5 D．5 解析：∵a>b>c>0，∴原式＝a 2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b －10ac＋25c 2＋a 2＝a 2－ab＋ 1 a a－b ＋ ab＋ 1 ab ＋(a－5c) 2≥2＋2＋0＝4，当且仅当 a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0 时取等号．即当 a ＝ 2，b＝ 2 2 ，c＝ 2 5 时，所求式的最小值为 4. 答案：B 7．函数 y＝a 1－x (a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(mn>0)上
则一+一的最小值为 解析:函数y=a-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),因为点A在直线mx+my=1上, 所以m+n=1 又因为m>0 所以+( 2+-+-≥2+2=4 当且仅当m=n时,取等号 答案:4 8.若对任意的x0,x+3x+ ≤a恒成立,则a的取值范围是 解析:根据题意,令f(x)=R+3x+1x++3 ∵x0,∴x+-≥2,∴f(x= 当且仅当x=1时,取得最大值若使不等式恒成立,只需a≥即可 答案 9.已知B>0,b》0,a+b=1,求证:1+1+≥9 证明:方法一:因为a>0,b0,a+b=1, 所以1+1=1+2+b=2+么同理1+1=2+ b=5+4=9 所以1+1+1≥9 当且仅当a=b=时取等号 方法二:(+91+=1+2++21+tb+2=1+2,因为mb为正数,a+b 所以a≤/+分 ,于是一≥4, 因(1+9(+=1+8=9
则 1 m ＋ 1 n 的最小值为________． 解析：函数 y＝a (1－x) (a>0，a≠1)的图象恒过定点 A(1,1)，因为点 A 在直线 mx＋ny＝1 上， 所以 m＋n＝1. 又因为 mn>0， 所以1 m ＋ 1 n ＝ 1 m ＋ 1 n ·1＝ 1 m ＋ 1 n (m＋n) ＝2＋ n m ＋ m n ≥2＋2＝4. 当且仅当 m＝n 时，取等号． 答案：4 8．若对任意的 x>0， x x 2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是________． 解析：根据题意，令 f(x)＝ x x 2＋3x＋1 ＝ 1 x＋ 1 x ＋3 ，∵x>0，∴x＋ 1 x ≥2，∴f(x)＝ 1 x＋ 1 x ＋3 ≤ 1 2＋3 ＝ 1 5 ，当且仅当 x＝1 时，取得最大值1 5 .若使不等式恒成立，只需 a≥ 1 5 即可． 答案：a≥ 1 5 9．已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 1＋ 1 a 1＋ 1 b ≥9. 证明：方法一：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋ 1 a ＝1＋ a＋b a ＝2＋ b a .同理 1＋ 1 b ＝2＋ a b ， 故 1＋ 1 a 1＋ 1 b ＝ 2＋ b a 2＋ a b ＝5＋2 b a ＋ a b ≥5＋4＝9. 所以 1＋ 1 a 1＋ 1 b ≥9 当且仅当a＝b＝ 1 2 时取等号 . 方法二： 1＋ 1 a 1＋ 1 b ＝1＋ 1 a ＋ 1 b ＋ 1 ab ＝1＋ a＋b ab ＋ 1 ab ＝1＋ 2 ab ，因为 a，b 为正数，a＋b ＝1， 所以 ab≤ a＋b 2 2＝ 1 4 ，于是 1 ab ≥4， 2 ab ≥8， 因此 1＋ 1 a 1＋ 1 b ≥1＋8＝9
当且仅当x=y=时,等号成立 x+2 10.已知函数厂=2+x+1(=2) (1)求一的取值范围 (2)当x为何值时,y取何最大值? 解:(1)设x+2=t,x=t-2,t>0(x-2) 1x2+x+1t-22+t-2+1t2-3t+33 3,∴的取值范 2 围为. (2)欲使y最大,必有最小,此时t=2,t=3,x=3-2,y=3,∴当x= √3 2时,y最大,最大值为 B组能力提升 11.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a+b=2c2,则cosC的最 小值为() D 解析:由余弦定理得a2+b2-c2=2 accost.又c=(a+b),所以2 accost=(a+b2), 即CSg+b、2ab1 所以选C 答案 12.设a+b=2,b0,则当a= 时,2al 取得最小值 解析:a+b=2,则t=1+lal=a+b ①当a>0时,即a∈(0,2)时 t=+一+≥: ·=+1= la b 4 当且仅当=2,即b=2a时等号成立 又∵a十b=2,∴此时a=3
当且仅当 x＝y＝ 1 2 时，等号成立. 10．已知函数 y＝ x＋2 x 2＋x＋1 (x>－2)． (1)求 1 y 的取值范围． (2)当 x 为何值时，y 取何最大值？ 解：(1)设 x＋2＝t，x＝t－2，t>0(x>－2)， 则 1 y ＝ x 2＋x＋1 x＋2 ＝ t－2 2＋ t－2 ＋1 t ＝ t 2－3t＋3 t ＝t＋ 3 t －3≥2 3－3，∴ 1 y 的取值范 围为． (2)欲使 y 最大，必有1 y 最小，此时 t＝ 3 t ，t＝ 3，x＝ 3－2，y＝ 2 3＋3 3 ，∴当 x＝ 3－ 2 时，y 最大，最大值为2 3＋3 3 . B 组 能力提升 11．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 a 2＋b 2＝2c 2，则 cosC 的最 小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D．－ 1 2 解析：由余弦定理得 a 2＋b 2－c 2＝2abcosC.又 c 2＝ 1 2 (a 2＋b 2 )，所以 2abcosC＝ 1 2 (a 2＋b 2 )， 即 cosC＝ a 2＋b 2 4ab ≥ 2ab 4ab ＝ 1 2 ，所以选 C. 答案：C 12．设 a＋b＝2，b>0，则当 a＝________时， 1 2|a| ＋ |a| b 取得最小值． 解析：a＋b＝2，则 t＝ 1 2|a| ＋ |a| b ＝ a＋b 4|a| ＋ |a| b . ①当 a>0 时，即 a∈(0,2)时， t＝ 1 4 ＋ b 4a ＋ a b ≥ 1 4 ＋2 b 4a · a b ＝ 1 4 ＋1＝ 5 4 ， 当且仅当 b 4a ＝ a b ，即 b＝2a 时等号成立． 又∵a＋b＝2，∴此时 a＝ 2 3
②当a0时 ()+(分=+2((分+1=2 当且仅当4ab,即b=-2a时等号成立 又∵a+b=2,∴此时a=-2. 综上所述,当a=-2时 1a取得最小值为3 2 alb 答案:-2 13.如图,已知小矩形花坛ABCD,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花 坛AWM,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线M过点C (1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内? (2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMP的面积最小?若存在,求出这个最小面积及 相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由 解:(1)设AM=x,AN=y(x3,y2),矩形AMP的面积为S,则S=xy ∵△MDC∽△MM,∴2 X 由。>32,得2<y。,或y8 AN的长度应在2,减(,+∞)内 )当2时,=3= +4≥3×(4+4)=24, 当且仅当y-2 即y=4时,等号成立,解得x=6 ∴存在M,N点,当AM=6,AN=4时,Snn=24. 记F(x,y)=x+y-a(x+2V2xy),x、y∈(0,+∞).若对任意的x,y∈(0,+∞), 恒有F(x,y)≥0,请求出a的取值范围 解:由F(x,y≥0,得x+y≥a(x+22xy)
②当 a3，y>2)，矩形 AMPN 的面积为 S，则 S＝xy. ∵△NDC∽△NAM，∴ y－2 y ＝ 3 x ， ∴x＝ 3y y－2 ， ∴S＝ 3y 2 y－2 (y>2)． 由 3y 2 y－2 >32，得 28. ∴AN 的长度应在 2， 8 3 或(8，＋∞)内． (2)当 y>2 时，S＝ 3y 2 y－2 ＝3 y－2＋ 4 y－2 ＋4 ≥3×(4＋4)＝24， 当且仅当 y－2＝ 4 y－2 ， 即 y＝4 时，等号成立，解得 x＝6. ∴存在 M，N 点，当 AM＝6，AN＝4 时，Smin＝24. 14．记 F(x，y)＝x＋y－a(x＋2 2xy)，x、y∈(0，＋∞)．若对任意的 x，y∈(0，＋∞)， 恒有 F(x，y)≥0，请求出 a 的取值范围． 解：由 F(x，y)≥0，得 x＋y≥a(x＋2 2xy)．
∵x>0,y0,∴a≤ 2 ∴2N2x≤x+2y xty x+ x+2y 2 当且仅当x=2y>0时,等号成立
∵x>0，y>0，∴a≤ x＋y x＋2 2xy . ∴a≤ x＋y x＋2 2xy min. ∵2 2xy≤x＋2y. ∴ x＋y x＋2 2xy ≥ x＋y x＋ x＋2y ＝ 1 2 ， 当且仅当 x＝2y>0 时，等号成立． ∴a∈ －∞， 1 2