第二章数列 §2.1数列的概念与简单表示法(一) 课时目标 1.理解数列及其有关概念 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项: 3.对于比较简单的数列,会根据其前n项写出它的通项公式 1.按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列 中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项), 排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项 2.数列的一般形式可以写成a,a 简记为{a} 3.项数有限的数列称有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列 4.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子 叫做这个数列的通项公式 、选择题 1.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为() A. a=n B. a=n+l C. a,=n+2 谷案B 2.已知数列{a)的通项公式为a=1+二1“,则该数列的前4项依次为() A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 D.2,0,2,0 答案A 3.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是() 21+(-1)“ B.a=2-cos(n:180°) C.an=sin2(n·90°) D.an=(m-1)(m-2)+[1+(-1)] 答案D 解析令n=1,2,3,4代入验证即可 4.已知数列{an}的通项公式为a=n2-n-50,则一8是该数列的( A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项 谷案C 解析n-m-50=-8,得n=7或n=-6(舍去) 5.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是() A. n2-n+ nn+1 n2+1 答案C
第二章 数 列 §2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标 1．理解数列及其有关概念； 2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前 n 项写出它的通项公式． 1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列 中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项)， 排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，…，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项． 2．数列的一般形式可以写成 a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子 叫做这个数列的通项公式． 一、选择题 1．数列 2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 答案 B 2．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 1＋ －1 n＋1 2 ，则该数列的前 4 项依次为( ) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C. 1 2 ，0， 1 2 ，0 D．2,0,2,0 答案 A 3．若数列的前 4 项为 1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A．an＝ 1 2 [1＋(－1)n－1 ] B．an＝ 1 2 [1－cos(n·180°)] C．an＝sin2 (n·90°) D．an＝(n－1)(n－2)＋ 1 2 [1＋(－1)n－1 ] 答案 D 解析 令 n＝1,2,3,4 代入验证即可． 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝n 2－n－50，则－8 是该数列的( ) A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．非任何一项 答案 C 解析 n 2－n－50＝－8，得 n＝7 或 n＝－6(舍去)． 5．数列 1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A．an＝n 2－n＋1 B．an＝ n n－1 2 C．an＝ n n＋1 2 D．an＝n 2＋1 答案 C
解析令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而选C 6.设 n+1n+2n+3 +…+(n∈N),那么an+-a等于() 2n+1 B 2n+2 2n+12n+2 2n+12n+2 谷案D 解析 n+1n+2n+3+… a+1=n+2+n+3t…+2n+2n+1+2n+2 2n+12n+2n+12n+12n+ 二、填空题 7.已知数列{a}的通项公式为an j3n+1m为正奇数 则它的前4项依次为 4n-1m为正偶数 谷案4,7,10,15 8.已知数列{an}的通项公式为an (n∈N),那么,是这个数列的第 nn+2 答案10 解析∵ ∴n(n+2)=10×12,∴n=10 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 谷案 2n+1 解析a=3,a=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴a=2m+1. 10.传说古希腊毕达哥拉斯( Pythagoras,约公元前570年一公元前500年)学派的数学 家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子 摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是 谷案 解析三角形数依次为:1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为:1+2+3+4+…+10 三、解答题 1.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式 (1)-1,7,-13,19, (2)0.8,0.88,0.888, 513 (3) (4)=, (5)0,1,0,1
解析 令 n＝1,2,3,4，代入 A、B、C、D 检验即可．排除 A、B、D，从而选 C. 6．设 an＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n (n∈N * )，那么 an＋1－an等于( ) A. 1 2n＋1 B. 1 2n＋2 C. 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 D. 1 2n＋1 － 1 2n＋2 答案 D 解析 ∵an＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n ∴an＋1＝ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n ＋ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 ， ∴an＋1－an＝ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 － 1 n＋1 ＝ 1 2n＋1 － 1 2n＋2 . 二、填空题 7．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 3n＋1 n为正奇数 4n－1 n为正偶数 .则它的前 4 项依次为 ____________． 答案 4,7,10,15 8．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 1 n n＋2 (n∈N * )，那么 1 120是这个数列的第______ 项． 答案 10 解析 ∵ 1 n n＋2 ＝ 1 120， ∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10. 9．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 ______________． 答案 an＝2n＋1 解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1. 10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学 家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子 摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10 个三角形数是 ______． 答案 55 解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第 10 个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10 ＝55. 三、解答题 11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)1 2 ， 1 4 ，－ 5 8 ， 13 16，－ 29 32， 61 64，… (4)3 2 ，1， 7 10， 9 17，… (5)0,1,0,1，…
解(1)符号问题可通过(-1)2或(-1)表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面 的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)(6n-5)(n∈N) (2)数列变形为(1-0.1),(1-0.01) 8 (1-0.001),…,∴a=。1 (n∈N) (3)各项的分母分别为2222,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第 21-322-323-324-3 1项变为一2,因此原数列可化为一222,24 (-1) (n∈N") (将数列统-25了“对于分子3579,…,是序号的2倍加1,可得分 子的通项公式为b2=2n+1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2 可得分母的通项公式为cn=n2+1, 可得它的一个通项公式为an 2n+1 矿+1(n∈N) 为奇数 1+-1 1n为偶数 1+cos n 或an (n∈N) 2 12.已知数列9n-9n+21 (1)求这个数列的第10项 (2)x是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内: (4)在区 内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由 (1)解设f(m)= 9n2-1 3n-1 3n-2 3n-2 3n-13n+13n+1 令n=10,得第10项a=(10)=2 2)解令 3n+1101 得9n=300 此方程无正整数解,所以,不是该数列中的项. (3)证明∵ 3n-23n+1-3 3 3n+13n+1 3n+1 又n∈N,∴0 3n+1(1,∴0<a1 ∴数列中的各项都在区间(0,1)内 3n+1<9n-6 (4)解令 9m-6<6n+2
解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面 的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n (6n－5)(n∈N * )． (2)数列变形为8 9 (1－0.1)， 8 9 (1－0.01)， 8 9 (1－0.001)，…，∴an＝ 8 9 1－ 1 10n (n∈N * )． (3)各项的分母分别为 2 1,2 2,2 3,2 4，…易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－3 2 ，因此原数列可化为－2 1－3 2 1 ， 2 2－3 2 2 ，－ 2 3－3 2 3 ， 2 4－3 2 4 ，…， ∴an＝(－1)n · 2 n －3 2 n (n∈N * )． (4)将数列统一为3 2 ， 5 5 ， 7 10， 9 17，…对于分子 3,5,7,9，…，是序号的 2 倍加 1，可得分 子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，…联想到数列 1,4,9,16…即数列{n 2 }， 可得分母的通项公式为 cn＝n 2＋1， ∴可得它的一个通项公式为 an＝ 2n＋1 n 2＋1 (n∈N * )． (5)an＝ 0 n为奇数 1 n为偶数 或 an＝ 1＋ －1 n 2 (n∈N * ) 或 an＝ 1＋cos nπ 2 (n∈N * )． 12．已知数列 9n 2－9n＋2 9n 2－1 ； (1)求这个数列的第 10 项； (2) 98 101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内； (4)在区间 1 3 ， 2 3 内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． (1)解 设 f(n)＝ 9n 2－9n＋2 9n 2－1 ＝ 3n－1 3n－2 3n－1 3n＋1 ＝ 3n－2 3n＋1 . 令 n＝10，得第 10 项 a10＝f(10)＝ 28 31. (2)解 令 3n－2 3n＋1 ＝ 98 101，得 9n＝300. 此方程无正整数解，所以 98 101不是该数列中的项． (3)证明 ∵an＝ 3n－2 3n＋1 ＝ 3n＋1－3 3n＋1 ＝1－ 3 3n＋1 ， 又 n∈N *，∴0< 3 3n＋1 <1，∴0<an<1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)解 令 1 3 <an＝ 3n－2 3n＋1 < 2 3 ，则 3n＋1<9n－6 9n－6<6n＋2
又:n∈N,∴当且仅当n=2时,上式成立,故区间,引上有数列中的项,且只有 项为 能力提升 13.数列a,b,a,b,…的一个通项公式是 谷案 解析a= a a+b a-b a+b 故an==+(-1) 14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有多少个点 解图(1)只有1个点,无分支:图(2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1 个点;图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;图(4)除中间1个点外,有 四个分支,每个分支有3个点;…;猜测第n个图中除中间一个点外,有n个分支,每个分 支有(n-1)个点,故第n个图中点的个数为1+n(m-1)=n2-n+1. 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质 (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的 (2)可重复性:数列中的数可以重复 (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度 可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列-1,1 1,1,-11…的通面八式可写成an=(-1)2,也可以写成a=(-1)*2,还可以写成 其中k∈N n=2k
即 n> 7 6 n< 8 3 .∴ 7 6 <n< 8 3 . 又∵n∈N *，∴当且仅当 n＝2 时，上式成立，故区间 1 3 ， 2 3 上有数列中的项，且只有一 项为 a2＝ 4 7 . 能力提升 13．数列 a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________． 答案 an＝ a＋b 2 ＋(－1)n＋1 a－b 2 解析 a＝ a＋b 2 ＋ a－b 2 ，b＝ a＋b 2 － a－b 2 ， 故 an＝ a＋b 2 ＋(－1)n＋1 a－b 2 . 14．根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有多少个点． 解 图(1)只有 1 个点，无分支；图(2)除中间 1 个点外，有两个分支，每个分支有 1 个点；图(3)除中间 1 个点外，有三个分支，每个分支有 2 个点；图(4)除中间 1 个点外，有 四个分支，每个分支有 3 个点；…；猜测第 n 个图中除中间一个点外，有 n 个分支，每个分 支有(n－1)个点，故第 n 个图中点的个数为 1＋n(n－1)＝n 2－n＋1. 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π 的不同近似值，依据精确的程度 可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式． 3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－ 1,1，－1,1，…的通项公式可写成 an＝(－1)n ，也可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝ －1 n＝2k－1 ， 1 n＝2k ， 其中 k∈N *