数列中的递推关系 、内容分析 数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数,它是刻画离散过程的 重要数学模型.因为数列是函数,所以可借助函数中的研究方法,但数列的离散 性又为数列的学习和研究提供了有别于以往学习函数(连续)的独特方法.如果 说数列的通项公式是数列函数性的一个表现,体现了数列中项数(自变量)与项 (函数值)之间的关系,那么数列的递推关系就可以看成数列离散性的一个表现 它反映了数列相邻两项或几项之间的关系.离散性以及数列递推公式在数学归纳 法、算法、二项式展开式系数、离散型随机变量等中还会被反复学习. 二、学情分析 从知识层面看,本节课是学习完本章2.1~24后的一节拓展课,绝大多数学 生已具备相关知识储备,对数列学习中的基本数学思想和方法有所了解和掌握 从能力层面看,这是一个汉藏混合班,学生的数学素养参差不齐,具体到分析、 概括以及逻辑思维与口头语言相互转化的能力等方面都有一定的差异;从情感层 面看:本班教学,师生熟悉,相互的配合度较高 、教学目标 1.能通过观察数列中部分项的规律,给出数列的后一项 2.从实际问题情境中找到数列的递推关系,并由数列的递推公式推导出数列 的通项公式 3.在学习过程中体会归纳、概括、转化的数学思想,感悟数列是刻画离散过 程的重要数学模型. 四、教学重难点 教学重点:在问题情境中归纳概括出数列的递推关系. 教学难点:在找数列递推关系时体会归纳、概括、转化的数学思想. 五、教学方法分析 借助教具和多媒体,遵循“直观感知—一操作确认一一思辩论证”的认识过 程,用问题引领学生自主探究,形成感性认识与理性认知. 六、教具准备
数列中的递推关系 一、内容分析 数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数，它是刻画离散过程的 重要数学模型.因为数列是函数，所以可借助函数中的研究方法，但数列的离散 性又为数列的学习和研究提供了有别于以往学习函数（连续）的独特方法.如果 说数列的通项公式是数列函数性的一个表现，体现了数列中项数（自变量）与项 （函数值）之间的关系，那么数列的递推关系就可以看成数列离散性的一个表现， 它反映了数列相邻两项或几项之间的关系.离散性以及数列递推公式在数学归纳 法、算法、二项式展开式系数、离散型随机变量等中还会被反复学习. 二、学情分析 从知识层面看，本节课是学习完本章 2.1~2.4 后的一节拓展课，绝大多数学 生已具备相关知识储备，对数列学习中的基本数学思想和方法有所了解和掌握； 从能力层面看，这是一个汉藏混合班，学生的数学素养参差不齐，具体到分析、 概括以及逻辑思维与口头语言相互转化的能力等方面都有一定的差异；从情感层 面看：本班教学，师生熟悉，相互的配合度较高. 三、教学目标 1.能通过观察数列中部分项的规律,给出数列的后一项； 2.从实际问题情境中找到数列的递推关系，并由数列的递推公式推导出数列 的通项公式； 3.在学习过程中体会归纳、概括、转化的数学思想，感悟数列是刻画离散过 程的重要数学模型. 四、教学重难点 教学重点：在问题情境中归纳概括出数列的递推关系. 教学难点：在找数列递推关系时体会归纳、概括、转化的数学思想. 五、教学方法分析 借助教具和多媒体，遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过 程，用问题引领学生自主探究，形成感性认识与理性认知. 六、教具准备
汉诺塔模型、多媒体课件 七、教学过程 1新课导入 根据数列前6项的规律,说出数列的第7项是什么? (1)137,153163.(2) (2)1491835,68(?) 【课前预设及突破】(1)学生可能会有三种思路:一是通过前6项,用归纳的思想得 出数列的通项公式为a=2”-1;二是发现后一项是相邻前一项的2倍加1,也即 an=2n+;三是相邻两项相差2”,也即{4n-an=2°,这三种方法都能迅速得 到数列的第7项是127.(2)直接观察出这个数列的通项公式有一定难度,学生最有 可能是通过找相邻两项之间的规律,给出数列第7项.这里也有两种递推公式 an=an+2"+1,an1=2an+(3-m),引导学生感受在较为复杂的数字推理题中,往 往是通过找到数字之间的递推关系来解决问题的,给出课题 2.新知探究 问题情境:法国数学家爱德华·卢卡 斯曾编写过一个印度的古老传说:在世界 中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里, 块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的 主神梵天在创造世界的时候,在其中一根 验的主沸咒天的世界时,在打中一计上穿64片盒片 针上从下到上地穿好了由大到小的64片 金片,这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑 夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪 根针上,小片必须在大片上面.僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根 针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也 都将同归于尽. 问题:至少要移动多少次,才能将64片金片全部从一根宝石针移到另一根宝
汉诺塔模型、多媒体课件 七、教学过程 1.新课导入 根据数列前 6 项的规律，说出数列的第 7 项是什么？ （1） 1,3,7,15,31,63, ? ,... ( ) （2） 1,4,9,18,35,68, ? ,... ( ) 2.新知探究 问题情境：法国数学家爱德华·卢卡 斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界 中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里， 一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的 主神梵天在创造世界的时候，在其中一根 针上从下到上地穿好了由大到小的 64 片 金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑 夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪 根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根 针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也 都将同归于尽. 问题:至少要移动多少次，才能将 64 片金片全部从一根宝石针移到另一根宝 【课前预设及突破】（1）学生可能会有三种思路：一是通过前 6 项，用归纳的思想得 出数列的通项公式为 2 1 n n a = − ；二是发现后一项是相邻前一项的 2 倍加 1 ，也即 1 1 2 1, 1. n n a a a + = + = ；三是相邻两项相差 2 n ，也即 1 1 2 , 1. n n n a a a + − = = ，这三种方法都能迅速得 到数列的第 7 项是 127.（2）直接观察出这个数列的通项公式有一定难度，学生最有 可能是通过找相邻两项之间的规律，给出数列第 7 项.这里也有两种递推公式 1 1 2 1, 1. n n n a a a + = + + = 或 1 1 2 (3 ), 1. n n a a n a + = + − = .引导学生感受在较为复杂的数字推理题中，往 往是通过找到数字之间的递推关系来解决问题的，给出课题
石针上? 操作实验:四人一组在汉诺塔模型上操作 获得结论: 将移动n+1个金片问题拆分为三个步骤(生活语言): (1)先将上面的n个金片从1号针移到2号针 (2)将第n+1个金片移动到从1号针移到3号针; (3)将上面的n个金片从2号针移到3号针 用an表示按规定移动n个金片时最少的次数,则a=L an1=2an+1(n∈N) (符号 语言)因而得到该数列的通项公式为an=2"-1 此时,a4=2-1=184467440737095516116 【课前预设及突破】创设一个对学生有趣数学的问题情境,用分小组操作实验解决学 生之间的个体差异,帮助学生抽象出问题情境中的数学模型,探究问题中的递推关系. 该问题解决的关键在于发现递推关系,相应地操作实验的重点是发现移动3片与移动 4片之间的关系(特殊)并能抽象概括出移动n片与移动n+1之间的关系(一般),如 果学生过多地将精力集中在“数出”具体移动的次数时,会遇到计数困难,这就需要 教师适时干预 3.应用所学 如图,在圆内画1条线段,将圆分割成两部分;画2条线段,彼此分割成4 条线段,将圆分割成4部分;画3条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多 分割成7部分;画4条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11 部分.那么在圆内画5条线段,他们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割 成多少部分?如果在圆内画n条线段,他们彼此最多分割成an条线段,将圆最多 分割成b部分,如何用n表示an与b呢? (4) 5)
石针上？ 操作实验：四人一组在汉诺塔模型上操作. 获得结论： 将移动 n+1 个金片问题拆分为三个步骤（生活语言）： （1）先将上面的 n 个金片从 1 号针移到 2 号针； （2）将第 n+1 个金片移动到从 1 号针移到 3 号针； （3）将上面的 n 个金片从 2 号针移到 3 号针. 用 n a 表示按规定移动 n 个金片时最少的次数，则 1 1 1, 2 1( N). n n a a a n + = = + (符号 语言)因而得到该数列的通项公式为 2 1 n n a = − . 此时， 64 64 a = − = 2 1 184467440737095516116 . 3.应用所学 如图，在圆内画 1 条线段，将圆分割成两部分；画 2 条线段，彼此分割成 4 条线段，将圆分割成 4 部分；画 3 条线段，彼此最多分割成 9 条线段，将圆最多 分割成 7 部分；画 4 条线段，彼此最多分割成 16 条线段，将圆最多分割成 11 部分. 那么在圆内画 5 条线段，他们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割 成多少部分？如果在圆内画 n 条线段，他们彼此最多分割成 n a 条线段，将圆最多 分割成 n b 部分，如何用 n 表示 n a 与 n b 呢？ 【课前预设及突破】创设一个对学生有趣数学的问题情境，用分小组操作实验解决学 生之间的个体差异，帮助学生抽象出问题情境中的数学模型，探究问题中的递推关系. 该问题解决的关键在于发现递推关系，相应地操作实验的重点是发现移动 3 片与移动 4 片之间的关系（特殊）并能抽象概括出移动 n 片与移动 n+1 之间的关系（一般），如 果学生过多地将精力集中在“数出”具体移动的次数时，会遇到计数困难，这就需要 教师适时干预. (3) (4) (5) (2) (1)
线段数 最多分割成a条线段 最多分割成bn部分 2 4 5 16 n2+n+2 2 an+1-an=n+(n+1)=2n+1 又∵bn-bn=n+1 (n-1)+n=2n-1 b-b,=n an1-an2=(n-2)+(n-1)=2n-3 2+1=3 b,-b +)b= n +n+ 2 【课前预设及突破】该分割问题是选修2-2数学归纳法的课后复习题,原题是通过猜想 证明的方法得到通项公式.在这里是先找递推公式,再由递推公式推导通项公式, 使得思维严密性进一步提升.不论是在原题中还是在该例题中,找到递推公式是解决问 题的核心.另外,求分线段问题学生有可能直接从问题情景中归纳概括出通项公式 an=n2,可以引导学生多角度多思考问题 4.提炼总结 请总结你在这节课上学到了什么? 【课前预设及突破】在知识,思想方法层面给出统一标准.如果学生总结不够全面,可 以暗示学生借助板书,梳理课堂学习过程
线段数 最多分割成 n a 条线段 最多分割成 n b 部分 1 1 2 2 4 4 3 9 7 4 16 11 5 25 16 … … … n 2 n 2 2 2 n n + + 1 ( 1) 2 1 n n a a n n n + − = + + = + 又 1 1 n n b b n + − = + 1 ( 1) 2 1 n n a a n n n − = − + = − − n n 1 b b n − = − 1 2 ( 2) ( 1) 2 3 n n a a n n n − − − = − + − = − 1 2 1 n n b b n − − − = − 2 1 a a − = + = 2 1 3 2 1 b b − = 2 ) 1 + = a 1 ) 1 + = b 2 2 n a n = 2 2 2 n n n b + + = 4.提炼总结 请总结你在这节课上学到了什么？ 【课前预设及突破】该分割问题是选修 2-2 数学归纳法的课后复习题，原题是通过猜想 ——证明的方法得到通项公式.在这里是先找递推公式，再由递推公式推导通项公式， 使得思维严密性进一步提升.不论是在原题中还是在该例题中，找到递推公式是解决问 题的核心.另外，求分线段问题学生有可能直接从问题情景中归纳概括出通项公式 2 n a n = ，可以引导学生多角度多思考问题. 【课前预设及突破】在知识,思想方法层面给出统一标准.如果学生总结不够全面，可 以暗示学生借助板书，梳理课堂学习过程
5.课后作业 基础作业: (1)《同步作业》P56~58看例1~例4,做相应的变式训练 (2)如图,互不相同的点A,A2…,A42和 B,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AB相互平 行,且所有梯形AB,B1A1的面积均相等,设OLn=an若 a1=1a2=2,则数列{an}的通项公式是 拓展作业:1,1,2,3.5,8,13…是著名的斐波拉契数列,从第三项开始,它的后 项是相邻前两项的和.上网查找关于这个数列的资料,了解它的递推公式和通 项公式是什么? 七、总体设计意图 章头引言中“数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数,它是刻 画离散过程的重要数学模型”的这句话明确了《数列》这章的研究对象一一离散 过程.因为数列是函数,所以可借助函数中的研究方法.但数列是“离散”的也 为数列的学习和研究提供了有别于以往学习函数(连续)的独特方法.相比较于 数列的递推公式,学生也明显偏爱数列的通项公式,因为通项公式已经展示了数 列的“全貌”.而递推公式从看似仅仅反映出数列中相邻两项或几项之间的关系, 但这种关系具有任意性,是另一种展示数列“全貌”的方法.观察发现并概括离 散数字之间关系的能力是学生应具备的基本数学素养,在从小学奥数到国家的公 务员考试及各种面试问题中就经常会有明显的体现.基于个人对“数列是刻画离 散过程的重要数学模型”的理解,以及本班学情以及教学进度,重新整合了人教 A版课本中的教学资源,设计了本节课,意在引导学生在学习过程中体会数学思 想方法,从递推关系角度进一步理解数列“是刻画离散过程的重要数学模型
5.课后作业 基础作业： （1）《同步作业》P56~58 看例 1~例 4，做相应的变式训练. （2）如图，互不相同的点 1 2 , , , , A A A n 和 1 2 , , , , B B B n 分别在角 O 的两条边上，所有 AB n n 相互平 行，且所有梯形 A B B A n n n n + + 1 1 的面积均相等,设 . OA a n n = 若 1 2 a a = = 1, 2, 则数列 an 的通项公式是____________. 拓展作业: 1,1,2,3,5,8,13, 是著名的斐波拉契数列，从第三项开始，它的后 一项是相邻前两项的和. 上网查找关于这个数列的资料，了解它的递推公式和通 项公式是什么？ 七、总体设计意图 章头引言中“数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数，它是刻 画离散过程的重要数学模型”的这句话明确了《数列》这章的研究对象——离散 过程. 因为数列是函数，所以可借助函数中的研究方法.但数列是“离散”的也 为数列的学习和研究提供了有别于以往学习函数（连续）的独特方法.相比较于 数列的递推公式，学生也明显偏爱数列的通项公式，因为通项公式已经展示了数 列的“全貌”.而递推公式从看似仅仅反映出数列中相邻两项或几项之间的关系, 但这种关系具有任意性，是另一种展示数列“全貌”的方法.观察发现并概括离 散数字之间关系的能力是学生应具备的基本数学素养，在从小学奥数到国家的公 务员考试及各种面试问题中就经常会有明显的体现.基于个人对“数列是刻画离 散过程的重要数学模型”的理解，以及本班学情以及教学进度，重新整合了人教 A 版课本中的教学资源，设计了本节课，意在引导学生在学习过程中体会数学思 想方法，从递推关系角度进一步理解数列“是刻画离散过程的重要数学模型