§2.2等差数列(一) 课时目标 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式 知识梳理● 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 2.若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,并且A= 3.若等差数列的首项为a,公差为d,则其通项an=a+(n-1)d 4.等差数列{a}中,若公差d0,则数列{a}为递增数列;若公差d0,则数列{an}为 递减数列 作 业设计● 、选择题 1.已知等差数列{a}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为() B.3 答案C 2.△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于() B.60 谷案B 3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N),则a0的值为() D.52 答案D 4.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于() 谷案C 解析 J2x=a+ b, 2b=x+2x, 5.设{a}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( D.6 答案B 解析设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-a+a+d=12且a(a-d(a+d=48, 解得a=4且d=±2,又{a}递增,∴d0,即d=2,∴a=2. 6.等差数列{a}的公差d0,且a2·a1=12,a+a4=8,则数列{an}的通项公式是( B.an=2n+4(n∈N) C.a=-2n+12(n∈N)
§2.2 等差数列(一) 课时目标 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式． 1．如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示． 2．若三个数 a，A，b 构成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，并且 A＝ a＋b 2 . 3．若等差数列的首项为 a1，公差为 d，则其通项 an＝a1＋(n－1)d. 4．等差数列{an}中，若公差 d>0，则数列{an}为递增数列；若公差 d0，即 d＝2，∴a1＝2. 6．等差数列{an}的公差 d<0，且 a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( ) A．an＝2n－2 (n∈N * ) B．an＝2n＋4 (n∈N * ) C．an＝－2n＋12 (n∈N * )
D.an=-2n+10(n∈N) 答案 解析由a+a1=8 d=-2, 所以an=a1+(m-1)d,即an=8+(m-1)×(-2) 得an2=-2n+10 二、填空题 7.已知a= 3+√-VE则b的等差中项是 答案 3 8.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a则这个数列的通项公式为 答案a=n+1 解析∵a+(3-a)=2(2a-1),∴:a=5 这个等差数列的前三项依次为,2,4 d=元,an=元+(m-1)×元=7+ 9.若m≠n,两个等差数列ma、a、n与m、b、b、b、n的公差为d和 的 值为 答案 解析n-m=3d,d=(m-m 又m-m=4d,d=(m-m) 4 d n- 10.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是 答案 解析设a=-24+(n-1)d, a=-24+8≤0 解得:x<d≤3. -24+9△0 三、解答题 11.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数 解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得 a-3d+a-d+a+d+a+3d=26 -d a+d =40
D．an＝－2n＋10 (n∈N * ) 答案 D 解析 由 a2·a4＝12， a2＋a4＝8， d0 解得：8 3 <d≤3. 三、解答题 11．已知成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这四个数． 解 设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 a－3d ＋ a－d ＋ a＋d ＋ a＋3d ＝26， a－d a＋d ＝40
解得 -d2= 所以这四个数为2,5,8,11 或11,8,5,2 12.已知数列{an}满足a1=4,an=4-—(n≥2),令bn (1)求证:数列{bn}是等差数列 (2)求数列{a的通项公式 1证明∵a=4-4(n≥2 4 an+1-2 a b}是等差数列,首项为二,公差 (2解b=-1 b=b+(n-1)d=1+1(m-1)=2 2’…a=2+ 能力提升 13.一个等差数列的首项为a1=1,末项品=41(m≥3)且公差为整数,那么项数n的取 值个数是() B.7 D.不确定 答案B 解析由an=a1+(n-1)d,得41=1+(n-1)d, 为整数,且n≥3. 则n=3,5,6,9,11,21,41共7个 14.已知数列{a}满足a、1 且当n1,n∈N时 n∈N (1)求证:数列{b}为等差数列 (2)试问aa是否是数列{a}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由 (1证明当D1,D∈N时,2=2-1+1=2a=2=+1 =4台b-b-1=4,且b ∴{b}是等差数列,且公差为4,首项为5 (2)解由(1)知bn=b+(m-1)d=5+4(m-1)=4n+1 N
∴ 4a＝26， a 2－d 2＝40. 解得 a＝ 13 2 ， d＝ 3 2 或 a＝ 13 2 ， d＝－ 3 2 . 所以这四个数为2,5,8,11 或 11,8,5,2. 12．已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ 4 an－1 (n≥2)，令 bn＝ 1 an－2 . (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 ∵an＝4－ 4 an－1 (n≥2)， ∴an＋1＝4－ 4 an (n∈N * )． ∴bn＋1－bn＝ 1 an＋1－2 － 1 an－2 ＝ 1 2－ 4 an － 1 an－2 ＝ an 2 an－2 － 1 an－2 ＝ an－2 2 an－2 ＝ 1 2 . ∴bn＋1－bn＝ 1 2 ，n∈N * . ∴{bn}是等差数列，首项为1 2 ，公差为1 2 . (2)解 b1＝ 1 a1－2 ＝ 1 2 ，d＝ 1 2 . ∴bn＝b1＋(n－1)d＝ 1 2 ＋ 1 2 (n－1)＝ n 2 . ∴ 1 an－2 ＝ n 2 ，∴an＝2＋ 2 n . 能力提升 13．一个等差数列的首项为 a1＝1，末项 an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数 n 的取 值个数是( ) A．6 B．7 C．8 D．不确定 答案 B 解析 由 an＝a1＋(n－1)d，得 41＝1＋(n－1)d， d＝ 40 n－1 为整数，且 n≥3. 则 n＝3,5,6,9,11,21,41 共 7 个． 14．已知数列{an}满足 a1＝ 1 5 ，且当 n>1，n∈N *时，有an－1 an ＝ 2an－1＋1 1－2an ，设 bn＝ 1 an ， n∈N * . (1)求证：数列{bn}为等差数列． (2)试问 a1a2 是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由． (1)证明 当 n>1，n∈N *时，an－1 an ＝ 2an－1＋1 1－2an ⇔ 1－2an an ＝ 2an－1＋1 an－1 ⇔ 1 an －2＝2＋ 1 an－1 ⇔ 1 an － 1 an－1 ＝4⇔bn－bn－1＝4，且 b1＝ 1 a1 ＝5. ∴{bn}是等差数列，且公差为 4，首项为 5. (2)解 由(1)知 bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1. ∴an＝ 1 bn ＝ 1 4n＋1 ，n∈N *
令an= 4n+ n 即aa2=a1,∴函a是数列{an}中的项,是第11项 1.判断一个数列{a}是否是等差数列,关键是看an+1-a是否是一个与n无关的常数 2.由等差数列的通项公式an=a+(m-1)d可以看出,只要知道首项a和公差d,就可 以求出通项公式,反过来,在a1、d、n、an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可 以求出另一个量 数成等差数列可设为:a-d,a,a+d或a,a+d,a+2d;四个数成等差数列 可设为:a-3d,a-d,a+d,a+3d或a,a+d,a+2d,a+3d
∴a1＝ 1 5 ，a2＝ 1 9 ，∴a1a2＝ 1 45.令 an＝ 1 4n＋1 ＝ 1 45， ∴n＝11. 即 a1a2＝a11，∴a1a2 是数列{an}中的项，是第 11 项． 1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看 an＋1－an是否是一个与 n 无关的常数． 2．由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可以看出，只要知道首项 a1 和公差 d，就可 以求出通项公式，反过来，在 a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可 以求出另一个量． 3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d 或 a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列 可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d 或 a，a＋d，a＋2d，a＋3d