【知识梳理】 数列的前n项和 对于数列{an},一般地称an+a2+…+am为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=an+a+… 2.等差数列的前n项和公式 已知量 首项,末项与项数 首项,公差与项数 选用 n(aitan) S=natm(n-d 公式 【常考题型】 题型一、等差数列前n项和的有关计算 【例1】(1)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2 (2)在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和 (1)解析]设公差为d,则由S=a3得2a+d=a+2d,所以d,故a2=an+d=1,Sn n(n-1)n(n+1) =nai+ 答案]1m(n+ 4 an=a1+(n-1)d, (2解]由 Sn=nai+ a1+2(n-1)=1l (n-1) nai+ -×2=35 2 解方程组 a1=3 【类题通法】 an,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sm都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d n,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是 通过通项公式和前n项和公式联立方程(组来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体 求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用
1 【知识梳理】 1．数列的前 n 项和 对于数列{an}，一般地称 a1＋a2＋…＋an 为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn＝a1＋a2＋… ＋an. 2．等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 Sn＝ n(a1＋an) 2 Sn＝na1＋ n(n－1) 2 d 【常考题型】 题型一、等差数列前 n 项和的有关计算 【例 1】 (1)已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1＝ 1 2 ，S2＝a3，则 a2＝__________； Sn＝________. (2)在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n. (1)[解析] 设公差为 d，则由 S2＝a3 得 2a1＋d＝a1＋2d，所以 d＝a1＝ 1 2 ，故 a2＝a1＋d＝1，Sn ＝na1＋ n(n－1) 2 d＝ n(n＋1) 4 . [答案] 1 n(n＋1) 4 (2)[解] 由 an＝a1＋(n－1)d， Sn＝na1＋ n(n－1) 2 d， 得 a1＋2(n－1)＝11， na1＋ n(n－1) 2 ×2＝35， 解方程组，得 n＝5， a1＝3 或 n＝7， a1＝－1. 【类题通法】 a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an和 Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量 a1，d， n，an，Sn 中可知三求二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是 通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体 求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
【对点训练】 1.已知等差数列{an} 3 Sn=-5,求n和d; 2a1=4,S8=172,求ag和d n 2 解得n=15 4(舍) 8(a+ 4 (2)由已知,得Sg 2172 解得as=39 又 题型二、已知S求通项公式a 【例2】已知数列{an}的前n项和 2n2+n+2 (1)求{an}的通项公式; (2)判断{an}是否为等差数列? 解](1):Sn=-2m2+n+2, 当n≥2时,Sn1=-2(n-1)2+(n-1)+2 .an=Sn- Sn-I 2)-(-2n2+5n-1) 4n+3. 又a1=S1=1,不满足an=-4n+3 数列{an}的通项公式是 (2)由(1)知,当n≥2时, -4(n+1)+3]-( 但a2-a1=-5-1=-6≠-4
2 【对点训练】 1．已知等差数列{an}． (1)a1＝ 5 6 ，a15＝－ 3 2 ，Sn＝－5，求 n 和 d； (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d. 解：∵a15＝ 5 6 ＋(15－1)d＝－ 3 2 ，∴d＝－ 1 6 . 又 Sn＝na1＋ n(n－1) 2 ·d＝－5， 解得 n＝15，n＝－4(舍)． (2)由已知，得 S8＝ 8(a1＋a8) 2 ＝ 8(4＋a8) 2 ＝172， 解得 a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. 题型二、已知 n S 求通项公式 n a 【例 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n 2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n 2＋n＋2， ∴当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n 2＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n 2＋n＋2)－(－2n 2＋5n－1) ＝－4n＋3. 又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是 an＝ 1，n＝1， －4n＋3，n≥2. (2)由(1)知，当 n≥2 时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但 a2－a1＝－5－1＝－6≠－4
{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列 【类题通法】 已知数列{an}的前n项和公式S,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1 (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1 (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an)的通项公式为an=S 如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为 (如本例) Sn-Sn-1,n≥2 【对点训练】 2.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式 解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2m2+7n-5 =4n-5 此时若n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1, (2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n≥2时 3n-1-2 则an=Sn-Sn-1=(3-2) 此时若n=1,an=23-1=231-1=2≠a
3 ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列． 【类题通法】 已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步骤： (1)当 n＝1 时，a1＝S1. (2)当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数列{an}的通项公式为 an＝Sn－ Sn－1； 如果 a1 不满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为 an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2 (如本例)． 【对点训练】 2．已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n 2－3n； (2)Sn＝3 n－2. 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×1 2－3×1＝－1； 当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n 2－7n＋5， 则 an＝Sn－Sn－1＝(2n 2－3n)－(2n 2－7n＋5) ＝2n 2－3n－2n 2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故 an＝4n－5. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3 1－2＝1； 当 n≥2 时，Sn－1＝3 n－1－2， 则 an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3 n－3 n－1 ＝3·3n－1－3 n－1＝2·3n－1 . 此时若 n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故 an＝ 1， n＝1， 2·3n－1，n≥2
题型三、等差数列前n项和的性质 【例3】(1)在等差数列{an}中,已知a4+as=16,则该数列前11项和S1=() B.88 C.143 D.176 (2)等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求S10 (1)解析]利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{am}是等差数列,所以a+a=a4+ l1(a1+a1) =2a6=16→a6=8,则该数列的前11项和为S1= 11a6=88 答案]B (2)解]∵数列{an}为等差数列 S0,S20-S10,S30-S20,…,Sl10-S100也成等差数列 设其公差为D,则S10+(S20-S10)+(S30-Sx)+…+(S100S90)=S00 10×9 即10S10+ D=S100=10 又∵So=100,代入上式,得D=-22 S10-S100=S10+(ll-1)×D=100+10×(-22)=-120, S110=-120+S100=-110. 【类题通法】 等差数列的前n项和常用的性质 (1)等差数列的依次k项之和,S,S-Sk,S3k-S2…组成公差为k2d的等差数列 (2)数列{an}是等差数列∽Sn=am2+ba,b为常数数列为等差数列 (3)若S奇表示奇数项的和,S儒表示偶数项的和,公差为d ①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd an+I ②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=am,== 【对点训练】 3.(1)等差数列{an}中,a+a7+a12=24,则SB3 解析:因为a1+an3=a+a12=2an 又a+a+a12=24 所以a=8
4 题型三、等差数列前 n 项和的性质 【例 3】 (1)在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数列前 11 项和 S11＝( ) A．58 B．88 C．143 D．176 (2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110. (1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以 a1＋a11＝a4＋a8 ＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前 11 项和为 S11＝ 11(a1＋a11) 2 ＝11a6＝88. [答案] B (2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100， 即 10S10＋ 10×9 2 ×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110. 【类题通法】 等差数列的前 n 项和常用的性质 (1)等差数列的依次 k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为 k 2d 的等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列{ Sn n }为等差数列． (3)若 S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为 d， ①当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd， S奇 S偶 ＝ an an＋1 ； ②当项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝an， S奇 S偶 ＝ n n－1 . 【对点训练】 3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则 S13＝________. 解析：因为 a1＋a13＝a2＋a12＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24， 所以 a7＝8
所以S13 3(a1+a13 =13×8=104 答案:104 (2)在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a1g+ap9+a20的值为() A.9 B.12 C.16 D.17 解析:选A由等差数列的性质知S4,S-S,S12-S,…也构成等差数列,不妨设为{bn} 且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b=5,b4=7,b=9,即a17+a18+a9+a20=b59 题型四、等差数列前n项和的最值 【例4】在等差数列{an}中,a1=25,S17=S,求前n项和S的最大值 [解]法一:由S17=S,得 17×(17-1) 25×17+ d=25×9+ 2 解得d=-2, n(n-1) .Sn= 25n+ 2×(-2)=-(m-13)2+169 由二次函数性质得,当n=13时,S有最大值169 法二:先求出d=-2(同法一) 2(n-1)≥0 a=25>0,由 ≤13 即12<n≤1 当n=13时,Sn有最大值169 【类题通法】 求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路 n(n-1) (.5=m2=分n2+(04m配方转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调 性来解决 (2)邻项变号法
5 所以 S13＝ 13(a1＋a13) 2 ＝13×8＝104. 答案：104 (2)在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为( ) A．9 B.12 C．16 D．17 解析：选 A 由等差数列的性质知 S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}， 且 b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得 b3＝5，b4＝7，b5＝9，即 a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9. 题型四、等差数列前 n 项和的最值 【例 4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前 n 项和 Sn 的最大值． [解] 法一：由 S17＝S9，得 25×17＋ 17×(17－1) 2 d＝25×9＋ 9×(9－1) 2 d， 解得 d＝－2， ∴Sn＝25n＋ n(n－1) 2 ×(－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质得，当 n＝13 时，Sn 有最大值 169. 法二：先求出 d＝－2(同法一)， ∵a1＝25＞0，由 an＝25－2(n－1)≥0 an＋1＝25－2n＜0 ， 得 n≤13 1 2 ， n＞12 1 2 ， 即 121 2 ＜n≤131 2 . ∴当 n＝13 时，Sn 有最大值 169. 【类题通法】 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值通常有两种思路 (1)将 Sn＝na1＋ n(n－1) 2 d＝ d 2 n 2＋(a1－ d 2 )n 配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调 性来解决． (2)邻项变号法：
当a>0,d<0时,满足 的项数n使S取最大值 当a1<0,d0时,满足 的项数n使S取最小值 ≥0 【对点训练】 4.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,as=-5 (1)求{an}的通项 (2)求{an}前n项和Sm的最大值 解:(1)设{an}的公差为d, 由已知条件,得 解得a1=3 所以an=a1+(n-1)d=-2n+5 (2)Sn=n1+ d=-m2+4n=4-(n-2)2 所以n=2时,Sn最大,且最大值为4 【练习反馈】 1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a等于() A.12 B.13 C.14 解析:选B由S=5a d=a3-a2=5-3=2. 5d=3+10=13 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S等于() B.35 D.63 解析:选C法一:设数列{an}公差为d a1+d=3 解得 于是S=7X1+3×6×2=49
6 当 a1>0，d0 时，满足 an≤0， an＋1≥0 的项数 n 使 Sn 取最小值． 【对点训练】 4．已知{an}是一个等差数列，且 a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项 an； (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值． 解：(1)设{an}的公差为 d， 由已知条件，得 a1＋d＝1， a1＋4d＝－5， 解得 a1＝3，d＝－2. 所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋ n(n－1) 2 d＝－n 2＋4n＝4－(n－2)2 . 所以 n＝2 时，Sn 最大，且最大值为 4. 【练习反馈】 1．若等差数列{an}的前 5 项和 S5＝25，且 a2＝3，则 a7 等于( ) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选 B 由 S5＝5a3＝25，∴a3＝5. ∴d＝a3－a2＝5－3＝2. ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13. 2．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a6＝11，则 S7 等于( ) A．13 B.35 C．49 D．63 解析：选 C 法一：设数列{an}公差为 d， a1＋d＝3， a1＋5d＝11， 解得 a1＝1， d＝2， 于是 S7＝7×1＋ 7×6 2 ×2＝49
法二:由等差数列前n项和公式及性质知 )7(a2+a6)7×(3+11) 3.已知数列的通项公式an=-5n+2,则其前n项和S 解析 数列{an}是等差数列,且a1=-3,公差d=-5, n(-3-5n+2)n(5n+1) 答案:-m(5m+1 4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n= 时,前n项和Sn取最大值,最大 值是 解析:∵:d 令an=·4n+36≥0,得n≤9, n=8或9时,S最大,且S=S9=144 答案:8或9144 5.在等差数列{an}中, (1)已知:a6=10,S5=5,求as; (2)已知:a2+a=48,求S =10 解:(1)由已知 Ss=5 5(5-1) 5 解得 所以a8=a1+7d=-5+7×3=16(或a=a6+2d=10+2×3=16 (2)由 及等差数列的性质,知 a+a5=a+a4= 所以s=5(a+
7 法二：由等差数列前 n 项和公式及性质知 S7＝ 7(a1＋a7) 2 ＝ 7(a2＋a6) 2 ＝ 7×(3＋11) 2 ＝49. 3．已知数列的通项公式 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝ ________. 解析：∵an＝－5n＋2， ∴数列{an}是等差数列，且 a1＝－3，公差 d＝－5， ∴Sn＝ n(－3－5n＋2) 2 ＝－ n(5n＋1) 2 . 答案：－ n(5n＋1) 2 4．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当 n＝________时，前 n 项和 Sn 取最大值，最大 值是________． 解析：∵d＝an＋1－an＝－4， ∴an＝－4n＋36. 令 an＝－4n＋36≥0，得 n≤9， ∴n＝8 或 9 时，Sn 最大，且 S8＝S9＝144. 答案：8 或 9 144 5．在等差数列{an}中， (1)已知：a6＝10，S5＝5，求 a8； (2)已知：a2＋a4＝ 48 5 ，求 S5. 解：(1)由已知 a6＝10， S5＝5 得 a1＋5d＝10， 5a1＋ 5(5－1) 2 d＝5， 解得 a1＝－5， d＝3， 所以 a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16(或 a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16)． (2)由 a2＋a4＝ 48 5 及等差数列的性质，知 a1＋a5＝a2＋a4＝ 48 5 ， 所以 S5＝ 5(a1＋a5) 2 ＝ 5 2 × 48 5 ＝24
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