2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式 高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 1.在数列{a)中,对任意n∈N,都有a1-2a=0,则2十的值为( 解析:a=2a,函=2a=4a,a=8a, 所以 2a,ta 4a 答案:A 2.公差不为0的等差数列的第2,3,6项构成等比数列,则公比是() B.2C.3D.4 解析:设等差数列的第2项是a,公差是d,则a=a+d,a=a+4d 由等差数列的第2,3,6项构成等比数列, 得(a+d2=a(a+4d, as a,+d a2+2a2 则d=2a2,公比q 答案:C 3.若正数a,b,c组成等比数列,则1og2a,log2b,1og2c一定是( A.等差数列 B.既是等差数列又是等比数列 C.等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 解析:由题意得b=ac(a,b,c>0) 所以1og2b=1og2ac 即21 所以1og2a,10gb,log2C成等差数列 答案:A 4.已知a是1,2的等差中项,b是一1,-16的等比中项,则ab等于() A.6B.-6C.±6D.±12 解析:a=1+23 b=(-1)(-16)=16,b=±4
2.4 第 1 课时 等比数列的概念与通 n 项公式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在数列{an}中，对任意 n∈N*，都有 an＋1－2an＝0，则 2a1＋a2 2a3＋a4 的值为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D．1 解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1， 所以2a1＋a2 2a3＋a4 ＝ 4a1 16a1 ＝ 1 4 . 答案：A 2．公差不为 0 的等差数列的第 2，3，6 项构成等比数列，则公比是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设等差数列的第 2 项是 a2，公差是 d，则 a3＝a2＋d，a6＝a2＋4d. 由等差数列的第 2，3，6 项构成等比数列， 得(a2＋d) 2＝a2(a2＋4d)， 则 d＝2a2，公比 q＝ a3 a2 ＝ a2＋d a2 ＝ a2＋2a2 a2 ＝3. 答案：C 3．若正数 a，b，c 组成等比数列，则 log2a，log2b，log2c 一定是( ) A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 解析：由题意得 b 2＝ac(a，b，c>0)， 所以 log2b 2＝log2ac 即 2log2b＝log2a＋log2c， 所以 log2a，log2b，log2c 成等差数列． 答案：A 4．已知 a 是 1，2 的等差中项，b 是－1，－16 的等比中项，则 ab 等于( ) A．6 B．－6 C．±6 D．±12 解析：a＝ 1＋2 2 ＝ 3 2 ， b 2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4
所以ab=±6. 答案:C 5.(2016·四川卷)某公司为激励创新,计划逐步加大研发资金投入.若该公司20 年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该 公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是() (参考数据:1g1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 解析:设第n年的研发投资资金为an,a=130,则an=130×1.12,由题意,需an =130×1.12-≥200,解得n≥5,故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万 选B. 答案:B 填空题 6.等比数列{an}中,a1 则a与的等比中项为 解析:a 所以a与a的等比中项为土√16=±4 答案:±4 7.设等比数列{a}满足a1+a3=10,a+a=5,则aa…an的最大值为 解析:设等比数列的公比为q, +a=10,「a1(1+q)=10 +a1=5 aq(1+d)=54, a1=8, 解得=1 n(n-1) 所以aa…an=q +2++(a-1) +n,于是当n=3或4时, aa2…a取得最大值2=64 答案:64 8.已知等比数列{a}中,各项都是正数,且a,a,2a成等差数列,则华十等于 解析:设等比数列{an}的公比为q
所以 ab＝±6. 答案：C 5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该 公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 解析：设第 n 年的研发投资资金为 an，a1＝130，则 an＝130×1.12n－1，由题意，需 an ＝130×1.12n－1≥200，解得 n≥5，故从 2019 年该公司全年的投入的研发资金超过 200 万， 选 B. 答案：B 二、填空题 6．等比数列{an}中，a1＝ 1 8 ，q＝2，则 a4 与 a8 的等比中项为________． 解析：a4＝a1q 3＝ 1 8 ×2 3＝1， a8＝a1q 7＝ 1 8 ×2 7＝16， 所以 a4 与 a8 的等比中项为± 16＝±4. 答案：±4 7．设等比数列{an}满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an的最大值为________． 解析：设等比数列的公比为 q， 由 a1＋a3＝10， a2＋a4＝5 得 a1（1＋q 2）＝10， a1q（1＋q 2）＝54， 解得 a1＝8， q＝ 1 2 ， 所以 a1a2…an＝a n 1q 1＋2＋…＋(n－1)＝8 n × 1 2 n（n－1） 2 ＝2－ 1 2 n 2＋ 7 2 n，于是当 n＝3 或 4 时， a1a2…an取得最大值 2 6＝64. 答案：64 8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1， 1 2 a3，2a2 成等差数列，则 a6＋a7 a8＋a9 等于 ________． 解析：设等比数列{an}的公比为 q
由于a,a,2a成等差数列, 则 2a2,即a=a1+2a2 所以aq=a1+2a9.由于a≠0, 所以d=1+20,解得=1±VE 又等比数列{an}中各项都是正数, 所以>0,所以q=1+V2 所以+可+a_ as+ ag a q+ad 9(1+2 答案:3 v 2 、解答题 9.已知{a}为等比数列,a=2,a+a1=3,求{a}的通项公式 解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0 所以-+2 解得 当 所以a=18×(1)21 2×33-2 当q=3时,a== 所以a=5×3=2×3m 综上,当q=时, 当q=3时,an=2×3 10.在各项均为负数的数列{a)中,已知2a=3a,,且a,=8 (1)求证:{a}是等比数列,并求出其通项 (2)试问一σ是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项:如果不是,请说明理
由于 a1， 1 2 a3，2a2 成等差数列， 则 2 1 2 a3 ＝a1＋2a2，即 a3＝a1＋2a2， 所以 a1q 2＝a1＋2a1q.由于 a1≠0， 所以 q 2＝1＋2q，解得 q＝1± 2. 又等比数列{an}中各项都是正数， 所以 q＞0，所以 q＝1＋ 2. 所以a6＋a7 a8＋a9 ＝ a1q 5＋a1q 6 a1q 7＋a1q 8＝ 1 q 2＝ 1 （1＋ 2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2 三、解答题 9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝ 20 3 ，求{an}的通项公式． 解：设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0. a2＝ a3 q ＝ 2 q ，a4＝a3.q＝2q， 所以2 q ＋2q＝ 20 3 . 解得 q＝ 1 3 或 q＝3. 当 q＝ 1 3 时，a1＝18， 所以 an＝18× 1 3 n－1 ＝2×33－n . 当 q＝3 时，a1＝ 2 9 ， 所以 an＝ 2 9 ×3 n－1＝2×3n－3 . 综上，当 q＝ 1 3 时，an＝2×33－n ； 当 q＝3 时，an＝2×3n－3 . 10．在各项均为负数的数列{an}中，已知 2an＝3an＋1，且 a2·a5＝ 8 27. (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项． (2)试问－16 81是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理
由 解:(1)因为2an=3an+1, 所以+=2 又因为数列{an}的各项均为负数, 所以a≠0, 所以数列{an}是以为公比的等比数列 所以a=a1·q=a 所以a=a·区3 a, 8 又因为a·a=3·81427 所以a1 又因为a<0,所以a= 所以a -((- (n∈N) 2)令a=-3 则n-2=4,n=6∈N 所以一是这个等比数列中的项,且是第6项 B级能力提升 1.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10, 则a=() 答案:A 2.已知等比数列{a},若aaa=8,则a1a2… 答案:512 3.设关于x的二次方程anx-a+x+1=0(n=1,2,3,…)有两根a和B,且满足6a 2aB+6B=3
由． 解：(1)因为 2an＝3an＋1， 所以an＋1 an ＝ 2 3 . 又因为数列{an}的各项均为负数， 所以 a1≠0， 所以数列{an}是以2 3 为公比的等比数列． 所以 an＝a1·q n－1＝a1· 2 3 n－1 . 所以 a2＝a1· 2 3 2－1 ＝ 2 3 a1， a5＝a1· 2 3 5－1 ＝ 16 81a1， 又因为 a2·a5＝ 2 3 a1· 16 81a1＝ 8 27， 所以 a 2 1＝ 9 4 . 又因为 a1<0，所以 a1＝－ 3 2 . 所以 an＝ － 3 2 × 2 3 n－1 ＝－ 2 3 n－2 (n∈N* )． (2)令 an＝－ 2 3 n－2 ＝－ 16 81， 则 n－2＝4，n＝6∈N*， 所以－16 81是这个等比数列中的项，且是第 6 项． B 级 能力提升 1．若互不相等的实数 a，b，c 成等差数列，c，a，b 成等比数列，且 a＋3b＋c＝10， 则 a＝( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 答案：A 2．已知等比数列{an}，若 a3a4a8＝8，则 a1a2…a9＝________． 答案：512 3．设关于 x 的二次方程 anx 2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根 α 和 β，且满足 6α －2αβ＋6β＝3
(1)试用a表示a+1:(2)求证 是等比数列:(3)当a=时,求数列{an}的通项 公式及项的最值 (1)解:根据根与系数的关系, a+B 得 1 代入题设条件6(a+B)-2aB=3 得-2=3 所以a+=a+3 (2)证明:因为an+1= 所以a2 若a=3,则方程ax-a+1x+1=0可化为x-3x+1=0 即2x2-2x+3=0 此时A=(-2)2-4×2×3<0, 所以a+3 即an-=≠0 所以数列4-3是以之为公比的等比数列 7 解:当a=一时 21 所以数列a-引是首项为,公比为的等比数列 所以 所以a 即数列{an}的通项公式为 2,1 由函数y=5在(0,+∞)上单调递减知,当n=1时,a的值最大,即最大值为a=6
(1)试用 an表示 an＋1；(2)求证： an－ 2 3 是等比数列；(3)当 a1＝ 7 6 时，求数列{an}的通项 公式及项的最值． (1)解：根据根与系数的关系， 得 α＋β＝ an＋1 an ， αβ＝ 1 an . 代入题设条件 6(α＋β)－2αβ＝3， 得 6an＋1 an － 2 an ＝3. 所以 an＋1＝ 1 2 an＋ 1 3 . (2)证明：因为 an＋1＝ 1 2 an＋ 1 3 ， 所以 an＋1－ 2 3 ＝ 1 2 an－ 2 3 . 若 an＝ 2 3 ，则方程 anx 2－an＋1x＋1＝0 可化为2 3 x 2－ 2 3 x＋1＝0， 即 2x 2－2x＋3＝0. 此时 Δ＝(－2)2－4×2×3<0， 所以 an≠ 2 3 ，即 an－ 2 3 ≠0. 所以数列 an－ 2 3 是以1 2 为公比的等比数列． (3)解：当 a1＝ 7 6 时，a1－ 2 3 ＝ 1 2 ， 所以数列 an－ 2 3 是首项为1 2 ，公比为1 2 的等比数列． 所以 an－ 2 3 ＝ 1 2 × 1 2 n－1 ＝ 1 2 n ， 所以 an＝ 2 3 ＋ 1 2 n ，n＝1，2，3，…， 即数列{an}的通项公式为 an＝ 2 3 ＋ 1 2 n ，n＝1，2，3，…. 由函数 y＝ 1 2 x 在(0，＋∞)上单调递减知，当 n＝1 时，an的值最大，即最大值为 a1＝ 7 6