【课题】等比数列 教学目标】 知识目标 (1)理解等比数列的定义 (2)理解等比数列通项公式 能力目标: (1)应用等比数列的通项公式,解决数列的相关计算,培养学生的计算技能 (2)应用等比数列知识,解决生活中实际问题,培养学生处理数据技能和分析解决问 题的能力 情感目标: (1)经历等比数列的通项公式的探索,增强学生的创新思维 (2)关注数学知识的应用,形成对数学的兴趣 【教学重点】 等比数列的通项公式 【教学难点】 等比数列通项公式的推导 【教学设计】 本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等 比数列的通项公式:难点是通项公式的推导 等比数列与等差数列在内容上相类似,要让学生利用对比的方法去理解和记忆,并弄清 楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础,教学中要给以足够的重 视.同时要强调“等比”的特点 (常数) 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义与等差数列一样,教材中等比 数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法,公式的正确性也应该用数学归纳法加 以证明,这一点不需要给学生讲等比数列的通项公式中含有四个量:a1,q,n,an,只 有知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量.教材中例2、例3都是这类问题注意 例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法 从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是一,a,aq比较好,因为这
【课题】 等比数列 【教学目标】 知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标： （1）应用等比数列的通项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等比数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问 题的能力． 情感目标： （1）经历等比数列的通项公式的探索，增强学生的创新思维； （2）关注数学知识的应用，形成对数学的兴趣。 【教学重点】 等比数列的通项公式． 【教学难点】 等比数列通项公式的推导． 【教学设计】 本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等 比数列的通项公式；难点是通项公式的推导． 等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清 楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重 视.同时要强调“等比”的特点: q a a n n = +1 (常数). 例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比 数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加 以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量： 1 a ，q , n , n a , 只 有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例 2、例３都是这类问题.注意: 例 3 中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例 4 可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是 a aq q a , , 比较好,因为这
样设了以后,这三个数的积正好等于a3,很容易将a求出 【教学备品】 教学课件 【课时安排】 2课时.(90分钟) 【教学过程】 教学 教师「学生教学时 过程 行为行为意图间 揭示课题 6.3等比数列 介绍了解从实0 例出 *创设情境兴趣导入 发使 【做一做】 播放观看学生 将一张纸连续对折5次,列出每次对折纸的层数课件课件自然 的走 质疑思考 引导/自我识点 分析分析 5 动脑思考探索新知 【新知识】 总结思考带领 第1次对折后纸的层次为1×2=2(层) 归纳 学生 第2次对折后纸的层次为2×2=4(层); 第3次对折后纸的层次为4×2=8(层) 分析 仔细理解 第4次对折后纸的层次为8×2=16(层) 第5次对折后纸的层次为16×2=32(层) 分析 这个数列的特点是,从第2项起,每一项与它前面/)记/9 各次对折后纸的层次组成数列 讲解 导 关键 式启 学 生得 项的比都等于2.如果一个数列的首项不为零,且从第2项开 出结10 始,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列 叫做等比数列.这个常数叫做这个等比数列的公比,一般用字 母q来表示 由定义知,若{n}为等比数列,q为公比,则a1与q均不
样设了以后,这三个数的积正好等于 , 3 a 很容易将 a 求出. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 *揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【做一做】 将一张纸连续对折 5 次，列出每次对折纸的层数 介绍 播放 课件 质疑 引导 分析 了解 观看 课件 思考 自我 分析 从 实 例 出 发 使 学 生 自 然 的 走 向 知 识点 0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 第 1 次对折后纸的层次为 1 2 2 = （层）； 第 2 次对折后纸的层次为 2 2 4 = （层）； 第 3 次对折后纸的层次为 4 2 8 = （层）； 第 4 次对折后纸的层次为 8 2 16 = （层）； 第 5 次对折后纸的层次为 16 2 32 = （层）． 各次对折后纸的层次组成数列 2，4，8，16，32． 这个数列的特点是，从第 2 项起，每一项与它前面一 项的比都等于 2．如果一个数列的首项不为零，且从第 2 项开 始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列 叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字 母 q 来表示． 由定义知，若 an 为等比数列，q 为公比，则 1 a 与 q 均不 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆 带领 学生 分析 引导 式启 发学 生得 出结 果 10
教学 教师学生教学时 过程 行为行为意图间 为零,且有n+ q 巩固知识典型例题 说明|观察|通过 例1在等比数列{n}中,a=5,q=3,求a2、a3、a4、强调 引领 老 进步会 5×3=15 a,q 讲解|主动 15 说明|求解 a4=a1·q=135×3=405 【试一试】 你能很快地写出这个数列的第9项吗? 运用知识强化练习 及时 练习63.1 1.在等比数列{n}中,a3=-6,q=2,试写出a4、提问动手|学生 巡视求解知识 指导 掌握 得情 2.写出等比数列3-612.-24…的第5项与第6项 25 创设情境兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢? 质疑思考 学自的向识 生然走 知 占 引导|参与 分析分析
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 为零，且有 n 1 n a q a + = ，即 a a q n n +1 = (6.5) *巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列 { }n a 中， 1 a = 5 ，q = 3 ，求 2 a 、 3 a 、 4 a 、 5 a ． 解 2 1 3 2 4 3 5 4 5 3 15, 15 3 45, 45 3 135, 135 3 405. a a q a a q a a q a a q = = = = = = = = = = = = 【试一试】 你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通 过 例 题 进 一 步 领 会 15 *运用知识 强化练习 练习 6.3.1 1．在等比数列 an 中， a3 = −6， q = 2 ，试写出 4 a 、 6 a ． 2．写出等比数列 3,−6,12,−24, ……的第５项与第 6 项． 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 25 *创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 学生 自然 的走 向知 识点 30
教学 教师学生教学时 过程 行为行为意图间 动脑思考探索新知 总结思考带领 与等差数列相类似,我们通过观察等比数列各项之间的关归纳归纳学生 系,分析、探求规律. 总结 问题 设等比数列{an}的公比为q,则 仔细理解得到 分析记忆|等差 讲解 a3=a2q=(a1·q)q=a1·q2 关键 a4=a3q=(a1:q2)q=a1q, 词语 公式|35 【说明】a1=a11=a1·q 依此类推,得到等比数列的通项公式: 知道了等比数列{an}中的a和q,利用公式(6.6),可以 直接计算出数列的任意一项 启发 学生 【想一想】 思考 等比数列的通项公式中,共有四个量:an、a1、n和q 求解 只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量.针 对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法? 「*巩固知识典型例题 说明|观察|通过 例2求等比数列 强调 例题 48 步领 的第10项 引领|思考会 解由于 讲解 故,数列的通项公式为 说明求解
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 *动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关 系，分析、探求规律． 设等比数列 an 的公比为 q，则 ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 1 1 , , , a a q a a q a q q a q a a q a q q a q = = = = = = = …… 【说明】 0 1 1 1 a a a q = = 1 依此类推，得到等比数列的通项公式： . 1 1 − = n an a q （6.6） 知道了等比数列 an 中的 1 a 和 q ，利用公式（6.6），可以 直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量： n a 、 1 a 、n 和 q ， 只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 问题 得到 等 差 数 列 通 项 公式 引 导 启 发 学 生 思 考 求解 35 *巩固知识 典型例题 例 2 求等比数列 , 8 1 , 4 1 , 2 1 −1, − 的第 10 项． 解 由于 1a = −1， 1 2 q = − ， 故，数列的通项公式为 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通 过 例 题 进 一 步 领 会
教学 教师学生教学时 过程 行为行为意图间 (-1) 所以 10 512 例3在等比数列女n}中,a=1,4=,求a 引领观察 有 分析 注意 观察 (1) 学生 强调思考是否 (2) 含义求解理解 知识 (2)式的两边分别除以(1)式的两边得 8 由此得 领会 q 反复 将q=÷代人(1),得 强调 所以,数列的通项公式为 故 【注意】 本例题求解过程中,通过两式相除求出公比的方法是研究 等比数列问题的常用方法 【想一想】 在等比数列中,的 1b.6 求a3时,你有没有
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 − − − − − = = − − = − − = − n n n n n n n a a q ， 所以 10 10 10 1 1 1 ( 1) 2 512 a − = − = ． 例 3 在等比数列 an 中， 5 a =−1， 1 8 a８ = − ，求 13 a ． 解 由 8 1 1, a5 = − a8 = − 有 4 1 − = 1 a q ， （1） 7 1 1 8 − = a q ， （2） （2）式的两边分别除以(1)式的两边,得 3 8 1 = q , 由此得 2 1 q = ． 将 2 1 q = 代人（1），得 4 a1 = −2 , 所以，数列的通项公式为 4 1 1 2 ( ) 2 n n a − = − ． 故 12 12 4 8 13 1 1 1 2 2 2 256 a a q − = = − = − = − ． 【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究 等比数列问题的常用方法． 【想一想】 在等比数列 an 中， 7 1 9 a = ， 1 3 q = ．求 3 a 时，你有没有 引领 分析 强调 含义 说明 观察 思考 求解 领会 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 45
教学 教师学生教学时 过程 行为行为意图间 比较简单的方法? 【知识巩固】 例4小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的数 量恰好组成一个等比数列.已知他们三人一共钓了14条鱼,引领 而每个人钓鱼数量的积为6.并且知道,小强钓的鱼最多,分析|观察 小明钓的鱼最少,问他们三人各钓了多少条鱼? 分析知道三个数构成等比数列,并且知道这三个数的调 含义思考 求解|注意 积,可以将这三个数设为 9,这样可以方便地求出a,从 观察 学生 而解决问题. 是否 理解 解设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为一,a,aq.则 知识 解得 或 当q=2时 4 =2,aq=4×2=8 此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8 ==8,aq=4×=2, 此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2. 由于小明钓的鱼最少,小强钓的鱼最多,故小明钓了2条
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 比较简单的方法？ 【知识巩固】 例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数 量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了 14 条鱼， 而每个人钓鱼数量的积为 64． 并且知道，小强钓的鱼最多， 小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？ 分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的 积,可以将这三个数设为 , , a a aq q ,这样可以方便地求出 a ,从 而解决问题. 解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为 , , a a aq q ．则 14, 64. a a aq q a a aq q + + = = 解得 = = 2, 4, q a 或 = = . 2 1 4, q a 当 q = 2 时 2, 4 2 8, 2 4 = = aq = = q a 此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当 2 1 q = 时 2, 2 1 8, 4 2 1 4 = = aq = = q a 此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了 2 条 引领 分析 强调 含义 观察 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点
教学 教师学生教学时 过程 行为行为意图间 ,小刚钓了4条鱼,小强钓了8条鱼 【注意】 将构成等比数列的三个数设为 9,是经常使用的方 说明领会 思考反复|50 运用知识强化练习 启发思考可以 1.求等比数列二,2,6,…的通项公式与第7项 引导了解交给 学生 2在等比数列向,)中,a2=-25=5,判断-125是否提问动手自我 为数列中的项,如果是,请指出是第几项. 巡视求解|发现 指导 归纳 3.已知三个数的积为27,且这三个数组成公比为3的等 比数列.求这三个数 理论升华整体建构 思考并回答下面的问题: 质疑 及时 回答了解 等比数列的通项公式是什么 学生 结论: 知识 强调理解 情况 强化 归纳小结强化思想 引导|回忆 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 已知等比数列a,中,a4=-1an=-,求a1 提问反思检验 学生 解答1由已知条件得 学习 效果 巡视|动手培养
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 鱼，小刚钓了 4 条鱼，小强钓了 8 条鱼． 【注意】 将构成等比数列的三个数设为 a aq q a , , ，是经常使用的方 法． 说明 领会 思考 反复 强调 50 *运用知识 强化练习 1.求等比数列 ,2,6, 3 2 .的通项公式与第 7 项． 2.在等比数列 an 中， 2 1 25 a = − , 5 a = −5 , 判断−125 是否 为数列中的项，如果是，请指出是第几项. 3. 已知三个数的积为 27，且这三个数组成公比为 3 的等 比数列．求这三个数． 启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么 结论： . 1 1 − = n an a q 质疑 归 纳 强调 回答 理解 强化 及 时 了 解 学 生 知 识 掌 握 情况 70 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 已知等比数列 { }n a 中, 8 1 1, a4 = − a7 = − ,求 11 a ． 解答 1 由已知条件得 提问 巡视 反思 动手 检验 学生 学习 效果 培 养
教学 教师学生教学时 过程 行为行为意图间 指导求解学生 总结 解方程组得a1 的能 因此 解答2由-=-1q3得q=.所以 128 继续探索活动探究 (1)读书部分:教材 说明记录分层 (2)书面作业:教材习题6.3A组(必做);教材习题6.3B 组(选做) (3)实践调查:用等比数列的通项公式解决生活中的一个 问题 【教师教学后记】 项目 占 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动 学生的情感态度 在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考 学生思维情况 思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法
教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 3 1 6 1 1 1 8 a q a q = − = − 解方程组得 1a =−8 1 2 q = ， 因此 10 11 1 1 8 ( ) 2 128 a = − = − ． 解答 2 由 1 3 1 8 − = − q 得 1 2 q = ．所以 4 11 1 1 1 ( ) ( ) 8 2 128 a = − = − ． 指导 求解 学 生 总 结 反 思 学 习 过 程 的 能 力 80 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 6．3A 组（必做）；教材习题 6．3B 组（选做） (3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个 问题 说明 记录 分 层 次 要 求 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生的情感态度 学生是否参与有关活动； 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生思维情况 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思 学生是否善于与人合作 学生合作交流的情况在交流中,是否积极表达 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践 能否根据问题合理地进行实践 学生实践的情况 在实践中能否积极思考 能否有意识的反思实践过程的方面
是否自觉地进行反思； 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作； 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生实践的情况 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；