新编人教版精品教学资料 2.5等比数列的前n项和(二) 自主学习 D知识梳理 1.等比数列{an}的前n项和为S,当公比q≠1时,Sn= 当q=1时,Sn 2.等比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、Sm-Sm),仍构成 数列.(注意:q≠-1或 m为奇数) (2)Sm+n=Sm+q"Sm(q为数列{an}的公比 (3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列,则。= 3.若{a是等比数列,且公比q≠1,则前n项和S21-q-q)=Aq-1).其中A 4.解决等比数列的前n项和的实际应用问题,关键是在实际问题中建立等比数列模型 D自主探究 利用等比数列前n项公式证明d+ab+a2b2+…+bd+1-b+1 a-b,其中n∈Na,b 是不为0的常数,且a≠b 对点讲练 知识点一等比数列前n项和的证明问题 【例1】设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,证明 go.5Sn-+logo 5 S,+? 总结本题关键是证明SSn+x<S+1证明时要分q=1和q≠1两种情况
新编人教版精品教学资料 2.5 等比数列的前 n 项和(二) 自主学习 知识梳理 1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，当公比 q≠1 时，Sn＝____________＝____________； 当 q＝1 时，Sn＝________. 2．等比数列前 n 项和的性质： (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成________数列．(注意：q≠－1 或 m 为奇数) (2)Sm＋n＝Sm＋q m Sn(q 为数列{an}的公比)． (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则 S偶 S奇 ＝________. 3．若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ a1 1－q (1－q n )＝A(q n－1)．其中 A ＝________. 4．解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型． 自主探究 利用等比数列前 n 项公式证明 a n＋a n－1b＋a n－2b 2＋…＋b n＝ a n＋1－b n＋1 a－b ，其中 n∈N*a，b 是不为 0 的常数，且 a≠b. 对点讲练 知识点一 等比数列前 n 项和的证明问题 例 1 设 {an} 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， Sn 是 其 前 n 项 和 ， 证 明 ： log0.5Sn＋log0.5Sn＋2 2 >log0.5Sn＋1. 总结 本题关键是证明 Sn·Sn＋2<S 2 n＋1.证明时要分 q＝1 和 q≠1 两种情况．
变式训练1已知等比数列前n项,前2项,前3n项的和分别为S,S2n,Sn,求证: Sn+ Sn=Sn(S2n+S3n) 知识点二等比数列前n项和的实际应用 例2]为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计 划从2010年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10% 1)以2010年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式 (2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2010年最多出口多 少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35 总结本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键运算中往往要运用指数或对数不等 式,常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算,对其结果要按照要求保留一定的 精确度 变式训练2 个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是 它在前一分钟里上升高度的80%这个热气球上升的高度能超过125m吗? 知识点三等差数列、等比数列的综合问题 【例3】设{an}是等差数列,bn ,已知:b1+b2+b3=,bb2b3=,求等差数列 的通项a
变式训练 1 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n，求证： S 2 n＋S 2 2n＝Sn(S2n＋S3n)． 知识点二 等比数列前 n 项和的实际应用 例 2 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计 划从 2010 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2010 年最多出口多 少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35. 总结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等 式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的 精确度． 变式训练 2 一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是 它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗？ 知识点三 等差数列、等比数列的综合问题 例 3 设{an}是等差数列，bn＝ 1 2 an，已知：b1＋b2＋b3＝ 21 8 ，b1b2b3＝ 1 8 ，求等差数列 的通项 an
总结(1)般地,如果{an}是等差数列,公差为d,且cn=can(c>0且c≠1),那么数列 cn}是等比数列,公比q=d (2)般地,如果{an是各项为正数的等比数列,公比为q,且cn= logaan(a>0且a≠1), 那么数列{cm}为等差数列,公差d= logan 变式训练3在等比数列{an}中,a>0(n∈N),公比q∈(0,1),且aas+2a3as+aa= 25,又a3与as的等比中项为2 (1)求数列{an}的通项公式 (21设bm=lgan,数列{b的前n项和为S,当+2+…+最大时,求n的值 ◎课堂小结 1.深刻理解等差(比数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性 质既有类似的部分,又有区别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题 的运算量,从而减少错误 2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体 会两种情形中解方程组的方法的不同之处 3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定ω与项数n的实际 含义,同时要搞清是求ω还是求S的问题 果时作业 选择题 1.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内 该厂的总产值为() A.1.14a B.1.15a C.10×(1.15-1)a D.11×(1.15-1)a 2.已知数列{an}的前n项和Sn=2-1,则a+a2+…+a等于( A.(2"-1)2 B.(2”-1)2 D.(42-1) 3.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则 第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)() A.300米 B.299米 C.199米 166米 4.若等比数列{an}的公比q>0,且q≠1,又a1a+a B. a2+a6<a3+as a6=a3+a5 D.a2+a6与a3+as的大小不确定 5.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=6,a+a+a=-3,则a3+a4+as+ab+a7 +as等于()
总结 (1)一般地，如果{an}是等差数列，公差为 d，且 cn＝can (c>0 且 c≠1)，那么数列 {cn}是等比数列，公比 q＝c d . (2)一般地，如果{an}是各项为正数的等比数列，公比为 q，且 cn＝logaan(a>0 且 a≠1)， 那么数列{cn}为等差数列，公差 d＝logaq. 变式训练 3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N* )，公比 q∈(0,1)，且 a1a5＋2a3a5＋a2a8＝ 25，又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log2 an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，当 S1 1 ＋ S2 2 ＋…＋ Sn n 最大时，求 n 的值． 1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性 质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题 的运算量，从而减少错误． 2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体 会两种情形中解方程组的方法的不同之处． 3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定 a1 与项数 n 的实际 含义，同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题. 课时作业 一、选择题 1．某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内， 该厂的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．10×(1.15－1)a D．11×(1.15－1)a 2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2 n－1，则 a 2 1＋a 2 2＋…＋a 2 n等于( ) A．(2 n－1) 2 B.1 2 (2 n－1) 2 C．4 n－1 D.1 3 (4 n－1) 3．一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则 第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A．300 米 B．299 米 C．199 米 D．166 米 4．若等比数列{an}的公比 q>0，且 q≠1，又 a1a3＋a5 B．a2＋a6<a3＋a5 C．a2＋a6＝a3＋a5 D．a2＋a6 与 a3＋a5 的大小不确定 5．在等比数列{an}中，已知 a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则 a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＋a8 等于( )
6.若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3″1+t,则t= 7.如果b是a,c的等差中项,y是x与z的等比中项,且x,y,z都是正数,则(b-c)og +(e-alogmy+(a-b)logm== 8.等比数列{an}的首项a1=511,公比q=,记Cn=a1a2a3…am,则当Cn达到最大 时,n的值是 三、解答题 9.设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cm}不是等比数 0.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业 根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入比上年减少,本年度当地旅游业收入估计 为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出am,bn 的表达式 (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入? §2.5等比数列的前n项和(二) 知识梳理 a(1-q)aang 2.(1)等比(2)yq 自主探究
A.21 16 B.19 16 C.9 8 D.3 4 题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 6．若{an}是等比数列，且前 n 项和为 Sn＝3 n－1＋t，则 t＝________. 7．如果 b 是 a，c 的等差中项，y 是 x 与 z 的等比中项，且 x，y，z 都是正数，则(b－c)logmx ＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______. 8．等比数列{an}的首项 a1＝511，公比 q＝ 1 2 ，记 Cn＝a1·a2·a3·…·an，则当 Cn 达到最大 时，n 的值是________． 三、解答题 9．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数 列． 10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业， 根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入比上年减少1 5 ，本年度当地旅游业收入估计 为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 4 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an，bn 的表达式； (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？ §2.5 等比数列的前 n 项和(二) 知识梳理 1. a1(1－q n ) 1－q a1－anq 1－q na1 2．(1)等比 (2)q 3. a1 q－1 自主探究
证明∵a≠0,b≠0,a≠b,∴≠1 十… 右端 对点讲练 例1证明设{an}的公比为q, 由题设知a1>0,q>0, 当q=1时,Sn=ma,从而SnSn+2-S+ =na1(n+2)a1-(n+1)2a= 1(1-q) 当q≠1时,Sn= 从而SnSn+2-S+1 ai(1-q)(1-q+2)ai(1-q+)2 综上知,SnSn+2logo. Sn+ logo sSn+ logo. S+2 即 logo.sSn 变式训练1证明方法一设此等比数列的公比为q,首项为a1, 当q=1时,Sn=na1,S2n=2n1,S3n=3ma SA+Sn=ma+4a= 5at Sn(Sin S3n)=naI(2nan 3na1)=5n-af ∴S+Sn=Sn(Sn+S3n) 当q≠1时,则Sn=-(1-q), 、(1-42"),S3 (1-q) ∴S+S (1-q)2+(1-q2")] (1-q)2-(2+2q+q2) 又S(S2n+S3n) (1-q) ∵S+S2n=Sn(S2n+S3
证明 ∵a≠0，b≠0，a≠b，∴ b a ≠1. ∴左端＝a n＋a n－1b＋a n－2b 2＋…＋b n ＝a n 1＋ b a ＋ b a 2＋…＋ b a n ＝ a n 1－ b a n＋1 1－ b a ＝ a n＋1 1－ b a n＋1 a－b ＝ a n＋1－b n＋1 a－b ＝右端． ∴a n＋a n－1b＋a n－2b 2＋…＋b n＝ a n＋1－b n＋1 a－b . 对点讲练 例 1 证明 设{an}的公比为 q， 由题设知 a1>0，q>0， 当 q＝1 时，Sn＝na1，从而 Sn·Sn＋2－S 2 n＋1 ＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a 2 1＝－a 2 1log0.5S 2 n＋1. 即 log0.5Sn＋log0.5Sn＋2 2 >log0.5Sn＋1. 变式训练 1 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q，首项为 a1， 当 q＝1 时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S 2 n＋S 2 2n＝n 2a 2 1＋4n 2a 2 1＝5n 2a 2 1， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n 2a 2 1， ∴S 2 n＋S 2 2n＝Sn(S2n＋S3n)． 当 q≠1 时，则 Sn＝ a1 1－q (1－q n )， S2n＝ a1 1－q (1－q 2n )，S3n＝ a1 1－q (1－q 3n )， ∴S 2 n＋S 2 2n＝ a1 1－q 2·[(1－q n ) 2＋(1－q 2n ) 2 ] ＝ a1 1－q 2·(1－q n ) 2·(2＋2q n＋q 2n )． 又 Sn(S2n＋S3n)＝ a1 1－q 2·(1－q n ) 2·(2＋2q n＋q 2n )， ∴S 2 n＋S 2 2n＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二根据等比数列性质, A Sin=Sn+dSn=Sm(1+g) Sin=Sn+qSn+q Sm S+Sn=S+[Sn(1+q)=S(2+2q+q20) Sn(Sin S3n)=S2+2q+o) SH+ Sin= Sn(S2n S3n) 例2】解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a=a,公比q=1-10% 0.9-1(n≥1) (2)10年的出口总量S10= 10a(1-0.910) 8 ∴S0≤80,∴10a(1-0.910)≤80,即a≤ a≤123故2010年最多出口123吨 变式训练2解用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得an+1=am, 因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列 热气球在前n分钟内上升的总高度为 25×1- 125 故这个热气球上升的高度不可能超过125m 【例3】解设等差数列an}的公差为d, 数列M是等比数列,公比q=进 ∴b,b1=b2=1 十 解得 b1·b 时,q2=16,∴q=4(q=-4<0舍去)
方法二 根据等比数列性质， 有 S2n＝Sn＋q n Sn＝Sn(1＋q n )， S3n＝Sn＋q n Sn＋q 2n Sn， ∴S 2 n＋S 2 2n＝S 2 n＋[Sn(1＋q n )]2＝S 2 n(2＋2q n＋q 2n )， Sn(S2n＋S3n)＝S 2 n(2＋2q n＋q 2n )． ∴S 2 n＋S 2 2n＝Sn(S2n＋S3n)． 例 2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1＝a，公比 q＝1－10% ＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)． (2)10 年的出口总量 S10＝ a(1－0.910) 1－0.9 ＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即 a≤ 8 1－0.910 ， ∴a≤12.3.故 2010 年最多出口 12.3 吨． 变式训练 2 解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意，得 an＋1＝ 4 5 an， 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝ 4 5 的等比数列． 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为： Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ a1(1－q n ) 1－q ＝ 25× 1－ 4 5 n 1－ 4 5 ＝125× 1－ 4 5 n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 例 3 解 设等差数列{an}的公差为 d， 则 bn＋1 bn ＝ 1 2 an＋1 1 2 an ＝ 1 2 an＋1－an＝ 1 2 d . ∴数列{bn}是等比数列，公比 q＝ 1 2 d . ∴b1b2b3＝b 3 2＝ 1 8 ，∴b2＝ 1 2 . ∴ b1＋b3＝ 17 8 b1·b3＝ 1 4 ，解得 b1＝ 1 8 b3＝2 或 b1＝2 b3＝ 1 8 . 当 b1＝ 1 8 b3＝2 时，q 2＝16，∴q＝4(q＝－4<0 舍去)
此时,bhn=bly-1(D14=2-5 由bn 当 时,q2= 0,∴a+a5=5.又a3与as的等比中项为2 而q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,as=1 16 {bn}是以b=4为首项,-1为公差的等差数列, 9-n 当n≤8时,S0;当n=9时,S=0 当m>9时,0且q≠1 aq(q-1)(q+q+1)<0
此时，bn＝b1q n－1＝ 1 8 ·4n－1＝2 2n－5 . 由 bn＝ 1 2 5－2n＝ 1 2 an， ∴an＝5－2n. 当 b1＝2 b3＝ 1 8 时，q 2＝ 1 16，∴q＝ 1 4 q＝－ 1 4 0，∴a3＋a5＝5.又 a3 与 a5 的等比中项为 2， ∴a3a5＝4， 而 q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1. ∴q＝ 1 2 ，a1＝16，∴an＝16× 1 2 n－1＝2 5－n . (2)bn＝log2 an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以 b1＝4 为首项，－1 为公差的等差数列， ∴Sn＝ n(9－n) 2 ，∴ Sn n ＝ 9－n 2 ， ∴当 n≤8 时，Sn n >0；当 n＝9 时，Sn n ＝0； 当 n>9 时，Sn n 0 且 q≠1，q 2＋q＋1>0， ∴a1q(q－1) 2 (q 2＋q＋1)<0， ∴a2＋a6<a3＋a5.] 5．A
解析显然q≠1,此时应有Sn=A(q-1), 又 解析∵a,b,c成等差数列,设公差为d, Ay(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz dlogmx+ 2dlogm -= dlog =0 解析由an=511×-1>1,解得n≤9 即a1>a2>…>a>1>a10>a 当n=9时,Cn最大 9.证明设{an}、{bn}的公比分别为p、q,P≠0,q≠0,p≠q,cn=an+bn 要证{cn}不是等比数列,只需证c22≠cc成立即可 事实上,c22=(a1p+bq)2=a2lp2+b2lq2+2a1bp, C1c3=(a1+b1)a1p2+bq2) =a2lp+b21q +albi(p-+q) 由于cc3-c22=ab(p-q)2≠0,因此c22≠ce3,故{cn}不是等比数列 10.解(1)第一年投入为800万元 第二年投入为800×1-万元, 第n年投入为800×(1--1万元 所以n年内总投入为 an=800+800×(1-)+…+800× 800×1++…+ 4001-(4) 第一年旅游业收入为40元,第二年旅游业收入为40×(1+元,…,第n年旅 游业收入为400X(1万元,所以n年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1++…+400×(1+72-1 =400小1+2…+12 =1600× (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,则bn-an>0 即1600× 1-40(9y0
6．－ 1 3 解析 显然 q≠1，此时应有 Sn＝A(q n－1)， 又 Sn＝ 1 3 ·3n＋t，∴t＝－ 1 3 . 7．0 解析 ∵a，b，c 成等差数列，设公差为 d， 则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz ＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz ＝dlogm y 2 xz ＝dlogm1＝0. 8．9 解析 由 an＝511× 1 2 n－1>1，解得 n≤9. 即 a1>a2>…>a9>1>a10>a11>…. ∴当 n＝9 时，Cn 最大． 9．证明 设{an}、{bn}的公比分别为 p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn. 要证{cn}不是等比数列，只需证 c22≠c1·c3 成立即可． 事实上，c22＝(a1p＋b1q) 2＝a21p 2＋b21q 2＋2a1b1pq， c1c3＝(a1＋b1)(a1p 2＋b1q 2 ) ＝a21p 2＋b21q 2＋a1b1(p 2＋q 2 )． 由于 c1c3－c22＝a1b1(p－q) 2≠0，因此 c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列． 10．解 (1)第一年投入为 800 万元， 第二年投入为 800× 1－ 1 5 万元，…， 第 n 年投入为 800× 1－ 1 5 n－1 万元． 所以 n 年内总投入为： an＝800＋800× 1－ 1 5 ＋…＋800× 1－ 1 5 n－1 ＝800× 1＋ 4 5 ＋…＋ 4 5 n－1 ＝4 000× 1－ 4 5 n . 第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400× 1＋ 1 4 万元，…，第 n 年旅 游业收入为 400× 1＋ 1 4 n－1 万元，所以 n 年内的旅游业总收入为： bn＝400＋400× 1＋ 1 4 ＋…＋400× 1＋ 1 4 n－1 ＝400× 1＋ 5 4 ＋…＋ 5 4 n－1 ＝1 600× 5 4 n－1 . (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则 bn－an>0， 即 1 600× 5 4 n－1 －4 000× 1－ 4 5 n >0
化简得 7>0 设 则5x2-7x+2>0 解得x三或x1 1(舍去), 由此得 ∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入
化简得：2 5 4 n＋5 4 5 n－7>0， 设 x＝ 4 5 n，则 5x 2－7x＋2>0， 解得 x1， ∵n≥1，∴x＝ 4 5 n 1(舍去)， 即 4 5 n < 2 5 ，由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入．