第2课时等比数列前n项和的性 质及应用
第2课时 等比数列前n项和的性 质及应用
课标阐释 思维脉络 1.掌握等比数列前n项和的性质 及其应用 俘等比数列前n项和的性质 2能够运用学过的数列知识解决/性质及其应用 等差与等比数列的综合问题 综合问题 3能够运用等比数列的知识解决实际应用 有关实际问题
课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.掌握等比数列前 n 项和的性质 及其应用. 2.能够运用学过的数列知识解决 等差与等比数列的综合问题. 3.能够运用等比数列的知识解决 有关实际问题. 等比数列前 n 项和的性质 性质及其应用 综合问题 实际应用
等比数列前n项和的性质 【问题思考】 1对于不是常数列的等比数列{an},如果其前n项和可以写成 Sn=Aq"+B的形式那么系数A,B应满足什么条件? 提示由于S1101+所以上B1因此必有 A+B=0
等比数列前 n 项和的性质 【问题思考】 1.对于不是常数列的等比数列{an},如果其前 n 项和可以写成 Sn=A·q n +B 的形式,那么系数 A,B 应满足什么条件? 提示由于 Sn= 𝑎1 (1-𝑞 𝑛) 1-𝑞 =- 𝑎1 1-𝑞 ·q n + 𝑎1 1-𝑞 ,所以 A=- 𝑎1 1-𝑞 ,B=𝑎1 1-𝑞 ,因此必有 A+B=0
2如果等比数列{an}的前n项和为Sn那么Sn,S2SnS3m-S2n是否也构 成等比数列呢? 提示不一定当{an}的公比q=-1,且n为偶数时SnS2nSnS3nS2n的各项 均为零,不能构成等比数列其他情况下,SnS2 -Sn, SanS2可构成等比 数列
2.如果等比数列{an}的前n项和为Sn ,那么Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n是否也构 成等比数列呢? 提示不一定.当{an}的公比q=-1,且n为偶数时,Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n的各项 均为零,不能构成等比数列.其他情况下,Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n可构成等比 数列
3做一做 (1)在等比数列{an}中若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于() A.140B.120 C.210D.520 (2)在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和Sn=37+k则实数 k等于 解析(1):S2=20545S2=40,S6S4=80, S6=S4+80=S2+40+80=140 (2)依题意得k+1=0,所以k=1 答案(1)A(2)-1
3.做一做: (1)在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于( ) A.140 B.120 C.210 D.520 (2)在数列{an}中,an+1=can (c为非零常数),且前n项和Sn=3 n+k,则实数 k等于 . 解析(1)∵S2=20,S4 -S2=40,∴S6 -S4=80, ∴S6=S4+80=S2+40+80=140. (2)依题意得k+1=0,所以k=-1. 答案(1)A (2)-1
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√,错误的画 G、 (1)若某一数列的前n项和为Sn=431-41则其必为等比数列() n (2)若等比数列{a)的前n项和为S=2(5)+m则m=2.() (3)若{an}为等比数列,则S3S0,S1s仍然构成等比数列() (4)若an为等比数列则a1+a2+a,a4+a5+a67+ag+a仍然构成等比数 列() 答案(1)X(2)(3)X(4)y
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)若某一数列的前 n 项和为 Sn=4·3 n-1 -4,则其必为等比数列. ( ) (2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2· 1 3 𝑛 +m,则 m=-2. ( ) (3)若{an}为等比数列,则 S5,S10,S15 仍然构成等比数列. ( ) (4)若an为等比数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9仍然构成等比数 列. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)× (4)√
【例1】(1)在等比数列{an}中若S2=7,S6=91,则S4 (2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且 (a1+a3+…+a2n1)-(a2+a4+…+a)-80,则公比q (3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=31-2k,则实数k等 于 思路分析运用等比数列前n项和的性质求解
1 2 3 【例 1】 (1)在等比数列{an}中,若 S2=7,S6=91,则 S4= ; (2)已知等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且 (a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比 q= ; (3)若数列{an}是等比数列,且其前 n 项和为 Sn=3 n+1 -2k,则实数 k 等 于 . 思路分析运用等比数列前 n 项和的性质求解
解标(1):数列{an}是等比数列,且易知公比q+1 S2,S4-S2S6S4也构成等比数列 即7S4-7,91-S4构成等比数列, (S4-7)2=7(91S4解得S4=28或S4=-21 X S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1g+a2g (a1+a)(1+q2)=S2(1+q2)>0, ∴S4=28 (2)由题意知S+S偶=240,S寺-S偶=80, ∴S奇=-80,S偶=-160,:q 偶 2 (3):Sn=30+1-2k=332k,且{an}为等比数列 :3-2k=0,即k=
解析(1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比 q≠-1, ∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列, 即 7,S4-7,91-S4构成等比数列, ∴(S4-7)2 =7(91-S4),解得 S4=28 或 S4=-21. 又 S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q 2 +a2q 2 =(a1+a2)(1+q2 )=S2·(1+q2 )>0, ∴S4=28. (2)由题意知 S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80, ∴S 奇=-80,S 偶=-160,∴q= 𝑆 偶 𝑆 奇 =2. (3)∵Sn=3 n+1 -2k=3·3 n -2k,且{an}为等比数列, ∴3-2k=0,即 k=3 2
答案(128(212(3
答案(1)28 (2)2 (3)3 2
反思感悟等比数列前n项和的性质 1若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为 S=Aq+B(4+0.B#0,9≠0.9+1,则必有A+B=0;反之,若某一非常数列 的前n项和为Sn=Aq-(4共0,q0,9≠1),则该数列必为等比数列 2若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=S(SnS2n),特别地如 果公比q≠1或虽q=1但n为奇数时,SnS2n7 Sn S3n-S2n构成等比数列 3当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比 等于公比q即。=4
反思感悟等比数列前 n 项和的性质 1.若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前 n 项和为 Sn=A·q n +B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有 A+B=0;反之,若某一非常数列 的前 n 项和为 Sn=A·q n -A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列. 2.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则(S2n-Sn) 2 =Sn(S3n-S2n),特别地,如 果公比 q≠-1 或虽 q=-1 但 n 为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列. 3.当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比 等于公比 q,即 𝑆 偶 𝑆 奇 =q