2019-2020年高中数学第二章数列等比数列前n项和教学案新人教A版必 修5 问题生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减 法”为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而 达到化简的目的 等比数列前n项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据 等比数列的定义可得二=2m a3 a2 q a1 再由分式性质,得,整理得 教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间 教学重点1.等比数列前n项和公式的推导 2.等比数列前n项和公式的应用 教学难点等比数列前n项和公式的推导 教学目标 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题 2.探索并掌握等比数列前n项和公式: 3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一; 4体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想 教学过程 导入新课 问题国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过 问题“请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上 4颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要 问题假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不 能满足他的要求? 问题这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下 课件展示 1+2+22+…+2=? 问题我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列它的首 项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的 前64项的和 现在我们来思考一下这个式子的计算方法 记S=1+2+2+2+…+2“,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中 间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消
2019-2020 年高中数学第二章数列等比数列前 n 项和教学案新人教 A 版必 修 5 问题生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减 法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而 达到化简的目的. 等比数列前 n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据 等比数列的定义可得 q a a a a a a a a n n n n = = = = = − − − 1 2 2 3 2 1 1 ... , 再由分式性质，得,整理得. 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间. 教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导; 2.等比数列前 n 项和公式的应用. 教学难点 等比数列前 n 项和公式的推导. 教学目标 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题； 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式； 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，利用公式知三求一； 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 教学过程 导入新课 问题 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过 吗？ 问题 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒，第二个格子里放上 2 颗麦粒，第三个格子里放上 4 颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要 求. 问题 假定千粒麦子的质量为 40 g，按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不 能满足他的要求？ 问题 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示： 1+2+22 +…+2 63=? 问题 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首 项是 1，公比是 2，求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的 前 64 项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法： 记 S=1+2+22 +23 +…+2 63，式中有 64 项，后项与前项的比为公比 2，当每一项都乘以 2 后，中 间有 62 项是对应相等的，作差可以相互抵消
课件展示 S=1+2+2+2+…+2°,① 2S=2+2+23+…+263+26 ②①得 21-1这个数很大,超过了1.84×10,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超 过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨,因此,国王不能实现他的诺言 问题国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都 是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课 所要探究的知识. 推进新课 [合作探究] 问题在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q2+…+q"=? 问题这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察 问题若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢? 如果记Sa=1+q+q2+…+q, 那么qS=q+q2+…+q°+q 要想得到S,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sa=1-q 问题提问学生如何处理,适时提醒学生注意q的取值 如果q≠1,则有 问题当然,我们还要考虑一下如果q=1问题是什么样的结果. 如果q=1,那么S=n 问题上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思 考? 课件展示: [教问题精讲] 问题在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那 就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法” 问题在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法” 如果记S。=a1+a+a+…+an 那么qS=aq+aq+a2q+…+anq, 要想得到S,只要将两式相减,就立即有(1-q)S=a-a. 问题再次提醒学生注意q的取值 如果q≠1,则有 问题上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程 如果记S=a1+a1q+aq2+…+aq", 那么qS。=aq+aq2+…+aqm+a1q, 要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)S=a-aq 如果q≠1,则有
课件展示： S=1+2+22 +23 +…+2 63,① 2S=2+22 +23 +…+263+264,② ②-①得 2S-S=2 64 -1. 2 64 -1 这个数很大，超过了 1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为 40 g，那么麦粒的总质量超 过了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 问题 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都 是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课 所要探究的知识. 推进新课 ［合作探究］ 问题 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2 +…+qn =？ 问题 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 问题 若将上式左边的每一项乘以公比 q，就出现了什么样的结果呢？ 如果记 Sn=1+q+q2 +…+qn , 那么 qSn=q+q2 +…+qn +q n+1 . 要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-q n . 问题 提问学生如何处理，适时提醒学生注意 q 的取值. 如果 q≠1，则有. 问题 当然，我们还要考虑一下如果 q＝1 问题是什么样的结果. 如果 q＝1，那么 Sn=n. 问题 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思 考？ 课件展示： a1+a2+a3+…+an=？ ［教问题精讲］ 问题 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那 就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 问题 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq, 要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 问题 再次提醒学生注意 q 的取值. 如果 q≠1，则有. 问题 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程： 如果记 Sn=a1+a1q+a1q 2 +…+a1q n-1 , 那么 qSn=a1q+a1q 2 +…+a1q n-1 +a1q n , 要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1q n . 如果 q≠1，则有
问题上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法” 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a,q,an,Sn,n中,q,an,S四个:后者出 现的是a,q,Sa,n四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余 地 值得重视的是:上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比 数列的公比q≠1时,我们才能用上述公式 问题现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果q=1问题是什么样的结果呢? 问题完全正确 如果q=1,那么S=man正确吗?怎么解释? 问题等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下: [合作探究] 思路一:根据等比数列的定义,我们有: a3 a4 =一=…,一 再由合比定理,则得2+a+a+…+an 即, 从而就有(1-q)S。=a-aq (以下从略 思路二:由S=a+a2+a3+…+a得 S=a+aq+a2q+……+a1q=a+q(a+a+…+a 从而得(1-q)S。=a-aq (以下从略 问题探究中我们们应该发现,S。-Sm1=a是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重 视.在这个关系式中,n的取值应该满足什么条件? 问题对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sa-Sm1=an,m>1 问题综合上面的探究过程,我们得出: na1, q na1,q=1, S=1a(-q°)n1或者141-aq1 例题剖析] 【例题1】求下列等比数列的前8项的和 (2)a1=27,=,q<0. 合作探究] 问题生共同分析: 由(1)所给条件,可得,,求n=8时的和,直接用公式即可 由(2)所给条件,需要从中获取求和的条件,才能进一步求n=8时的和.而a=aq°,所以 由条件可得q==,再由q<0,可得,将所得的值代入公式就可以了 【例题2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增
问题 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn四个；后者出 现的是 a1,q,Sn,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余 地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比 数列的公比 q≠1 时，我们才能用上述公式. 问题 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果 q＝1 问题是什么样的结果呢？ 问题 完全正确. 如果 q＝1，那么 Sn=nan.正确吗？怎么解释？ 问题 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］ 思路一：根据等比数列的定义，我们有： q a a a a a a a a n n = = = = = 3 −1 4 2 3 1 2 ... , 再由合比定理，则得 q a a a a a a a a n n = + + + + + + + + 1 2 3 −1 2 3 4 ... ... , 即, 从而就有(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 思路二：由 Sn=a1+a2+a3+…+an得 Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an), 从而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 问题 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1 =an 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重 视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？ 问题 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1. 问题 综合上面的探究过程，我们得出： − − = = , 1 1 (1 ) , 1, 1 1 q q a q na q S n n 或者 1 , 1 , 1, 1 1 − − = q q a a q na q n ［例题剖析］ 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和： (1),,,…； (2)a1=27,a9=,q＜0. ［合作探究］ 问题生共同分析： 由(1)所给条件，可得，,求 n＝8 时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求 n＝8 时的和.而 a9=a1q 8，所以 由条件可得 q 8 = =，再由 q＜0，可得，将所得的值代入公式就可以了. 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增
加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 问题根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知S=30000 求n的问题. 解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组 成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sa=30000 于是得到, 整理得1.1°=1.6, 两边取对数,得nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得≈≈5(年) 谷:大约5年可以使总销售量达到30000台. 练习 教材第66页,练习第1、2、3题. 课堂小结 本节学习了如下内容: 1.等比数列前n项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”. 2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量,一般需要 知道其中的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用 中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式 在使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考
加 10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)？ 问题 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知 Sn=30 000 求 n 的问题. 解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组 成一个等比数列{an}，其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000. 于是得到, 整理得 1.1n =1.6, 两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得≈≈5(年). 答：大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台. 练习： 教材第 66 页，练习第 1、2、3 题. 课堂小结 本节学习了如下内容： 1.等比数列前 n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”. 2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量，一般需要 知道其中的 3 个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用 中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式. 在使用等比数列求和公式时，注意 q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考