1.3.1.1 KHOHZY课后强化作业 选择题 下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是() V-xTx 答案]D 解析]y=1-x2在(-∞,0)上为增函数,y=x2+x在(-∞,0)上不单调,y= 在(-∞,0)上为增函数,故选D 2.已知几x)是R上的减函数,则满足}f1)的x的取值范围是() A.(-∞,1) C.(-∞,0)U(0,1) D.(-∞,0)u(1,+∞) 答案]D 解析]∵x)在R上单调递减且八)>1) 1,∴x0,则() B.八(-x)<f(-x2) C.f(-x1)=f-x2) D.无法确定
1.3.1.1 一、选择题 1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A．y＝1－x 2 B．y＝x 2＋x C．y＝－ －x D．y＝ x x－1 [答案] D [解析] y＝1－x 2 在(－∞，0)上为增函数，y＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y＝－ －x 在(－∞，0)上为增函数，故选 D. 2．已知 f(x)是 R 上的减函数，则满足 f 1 x >f(1)的 x 的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) [答案] D [解析] ∵f(x)在 R 上单调递减且 f( 1 x )>f(1)， ∴ 1 x 1. 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A．y＝3－x B．y＝x 2＋1 C．y＝ 1 x D．y＝－|x| [答案] B [解析] y＝3－x，y＝ 1 x ，y＝－|x|在(0,2)上都是减函数，y＝x 2＋1 在(0,2)上是增函数． 4．若 y＝f(x)是 R 上的减函数，对于 x1＜0，x2＞0，则( ) A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＜f(－x2) C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
答案]B 解析]由于x0,所以x-x2,因为y=x是R上的减函数, 所以f-x1)<f-x),故选B 5.函数fx)=V-x2+6x+7的单调增区间为() 3]B.[3,+∞) D.[3,7 答案]C 「解析]方程-x2+6x+7=0的两根为x=-1,x=7,又y=-x2+6x+7对称轴为x =3,如图知选C 6.函数y=1 A.在(-1,+∞)内单调递增 B.在(-1,+∞)内单调递减 C.在(1,+∞)内单调递增 D.在(1,+∞)内单调递减 答案]C 解析因为函数y=1-1可视作函数y=-的图象向右平移个单位再向上平移 一个单位得到的,所以y=1-—在(-∞,1和(1,+∞)内都是增函数,故选C 7.已知函数y=(x)的定义域是数集A,若对于任意a,b∈A,当ab时都有fa)≤b), 则方程fx)=0的实数根() A.有且只有一个 B.一个都没有 C.至多有一个 D.可能会有两个或两个以上 答案]C 解析]由条件知∫x)在A上单调增,故∫x)的图象与x轴至多有一个交点,故选C 8.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t,都有2+0=2-1),则() A.f(2)<f(1)<(4)
[答案] B [解析] 由于 x1＜0，x2＞0，所以 x1＜x2，则－x1＞－x2，因为 y＝f(x)是 R 上的减函数， 所以 f(－x1)＜f(－x2)，故选 B. 5．函数 f(x)＝ －x 2＋6x＋7的单调增区间为( ) A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C．[－1,3] D．[3,7] [答案] C [解析] 方程－x 2＋6x＋7＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝7，又 y＝－x 2＋6x＋7 对称轴为 x ＝3，如图知选 C. 6．函数 y＝1－ 1 x－1 ( ) A．在(－1，＋∞)内单调递增 B．在(－1，＋∞)内单调递减 C．在(1，＋∞)内单调递增 D．在(1，＋∞)内单调递减 [答案] C [解析] 因为函数 y＝1－ 1 x－1 可视作函数 y＝－ 1 x 的图象向右平移一个单位，再向上平移 一个单位得到的，所以 y＝1－ 1 x－1 在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选 C. 7．已知函数 y＝f(x)的定义域是数集 A，若对于任意 a，b∈A，当 a<b 时都有 f(a)<f(b)， 则方程 f(x)＝0 的实数根( ) A．有且只有一个 B．一个都没有 C．至多有一个 D．可能会有两个或两个以上 [答案] C [解析] 由条件知 f(x)在 A 上单调增，故 f(x)的图象与 x 轴至多有一个交点，故选 C. 8．如果函数 f(x)＝x 2＋bx＋c 对任意实数 t，都有 f(2＋t)＝f(2－t)，则( ) A．f(2)<f(1)<f(4)
B.f1)f(1)>f(2) 点评]当二次函数的图象开口向上时,与对称轴距离越远,对应的函数值越大;开口 向下时恰好相反 4x+6,x≥0 9.(09天津文)设函数fx) x+6,xf(1)的解集是() A.(-3,1)U(3,+∞) B.(-3,1)U(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)U(1,3) 答案]A 解析]∵(1)=3,∴当x≥0时,由fx)>f(1) 得x2-4x+6>3, ∵x>3或xf1)得x+6>3∴x>-3, 综上可得x∈(-3,1)U(3,+∞),故选A 10.设(,d)、(a,b)都是函数y=fx)的单调减区间,且x∈(a,b),x∈(c,a,x1(x2) C.f(x)=fx)D.不能确定 答案]D 「解析]函数fx)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数),但在DUE上不一定单 调减(或增) 如图,fx)在-1,0)和[0,1上都是增函数,但在区间[-1上不单调
B．f(1)f(1)>f(2)． [点评] 当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口 向下时恰好相反． 9．(09·天津文)设函数 f(x)＝ x 2－4x＋6，x≥0， x＋6，x＜0， 则不等式 f(x)＞f(1)的解集是( ) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A [解析] ∵f(1)＝3，∴当 x≥0 时，由 f(x)＞f(1) 得 x 2－4x＋6>3， ∴x＞3 或 x＜1.又 x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)． 当 x＜0 时，由 f(x)＞f(1)得 x＋6＞3∴x＞－3， ∴x∈(－3,0)． 综上可得 x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选 A. 10．设(c，d)、(a，b)都是函数 y＝f(x)的单调减区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 [答案] D [解析] 函数 f(x)在区间 D 和 E 上都是减函数(或都是增函数)，但在 D∪E 上不一定单 调减(或增)． 如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
二、填空题 1.考察单调性,填增或减 函数y=-x在其定义域上为 函数: 函数y=在其定义域上为 函数 [答案]减减 12.若f(x) j(x-1)2x≥0 则fx)的单调增区间是 单调减区间是 0 「答案]增区间为( ),减区间[0,1 (x-1)2(x 「解析]画出八x)= 的图象如图,可知fx)在(-∞,0和1,+∞) 上都是增函数,在[0,1上是减函数 13.已知函数fx)=4x2-mx+1,在(-∞,-2)上递减,在[一2,+∞)上递增,则1) 答案] 解析]由已知得-2×4=-2,解得m=-16 +1,则f1)=21 解答题 14.设(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内判断下列函数的单调性 (1)y=f(x) (2)y=a-f(x)
二、填空题 11．考察单调性，填增或减 函数 y＝ 1－x在其定义域上为________函数； 函数 y＝ 1 x 在其定义域上为________函数． [答案] 减 减 12．若 f(x)＝ (x－1) 2 x≥0 x＋1 x＜0 ，则 f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________． [答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1] [解析] 画出 f(x)＝ (x－1) 2 (x≥0) x＋1 (x<0) 的图象如图，可知 f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞) 上都是增函数，在[0,1]上是减函数. 13．已知函数 f(x)＝4x 2－mx＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则 f(1) ＝________. [答案] 21 [解析] 由已知得－ －m 2×4 ＝－2，解得 m＝－16 ∴f(x)＝4x 2＋16x＋1，则 f(1)＝21. 三、解答题 14．设 f(x)在定义域内是减函数，且 f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性 (1)y＝f(x)＋a (2)y＝a－f(x)
(3y=[(x)]2 解析](1)y=fx)+a是减函数,(2)y=a-fx)是增函数.证明从略 (3)设x>x1,f(x2)-f2(x1)=[(x2)+fx1)(x2)-fx1)3) 画出该函数图象如图,由图知函数的增区间为[-2,和[3,+∞);减区间为(-∞, 2和[,3] 16.讨论函数y=√h-x在(-1,1的单调性 「解析设x、x2[-1xx1≥0,1≥x2>0,x1(x2), fx)在[0,1上为减函数, 当-1≤x10,在区间(0,a上是减函数 解析]设0<x<B≤a,几(1)-x)=(x+2)-(x1+x a2(x1-x2)(x2-x1)(xx2-a2) =(x2-x1)+ x1x2 x1x2 ∵0<x<x≤a,∴0<x1x2<a2, (x2-x1)(x1x2-a) <0,∴八(x2)<f(x1), X1x2
(3)y＝[f(x)]2 . [解析] (1)y＝f(x)＋a 是减函数，(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略． (3)设 x2＞x1，f 2 (x2)－f 2 (x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0，∴y＝f 2 (x)是减函数． 15．画出函数 y＝|x 2－x－6|的图象，指出其单调区间． [解析] 函数解析式变形为 y＝ －x 2＋x＋6(－2≤x≤3) x 2－x－6(x＜－2或x＞3) 画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2， 1 2 ]和[3，＋∞)；减区间为(－∞， －2)和[ 1 2 ，3]． 16．讨论函数 y＝ 1－x 2在[－1,1]上的单调性． [解析] 设 x1、x2∈[－1,1]且 x1x1≥0,1≥x2>0，x1f(x2)， ∴f(x)在[0,1]上为减函数， 当－1≤x1<0，－1<x2≤0，x1<x2 时，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,0]上为增函数． 17．求证：函数 f(x)＝x＋ a 2 x (a＞0)，在区间(0，a]上是减函数． [解析] 设 0＜x1＜x2≤a，f(x2)－f(x1)＝(x2＋ a 2 x2 )－(x1＋ a 2 x1 ) ＝(x2－x1)＋ a 2 (x1－x2) x1x2 ＝ (x2－x1)(x1x2－a 2 ) x1x2 . ∵0＜x1＜x2≤a，∴0＜x1x2＜a 2， ∴ (x2－x1)(x1x2－a 2 ) x1x2 ＜0，∴f(x2)＜f(x1)
fx)=x+(a>0)在(0,a上是减函数 18.已知f(x)在R上是增函数,且f2)=0,求使f(x-2)>0成立的x的取值范围. 解析]不等式八x-2)>0化为 和x-2D)>f(2),∴fx)在R上是增函数 x-2}>2,∴x4或x0
∴f(x)＝x＋ a 2 x (a>0)在(0，a]上是减函数． 18．已知 f(x)在 R 上是增函数，且 f(2)＝0，求使 f(|x－2|)>0 成立的 x 的取值范围． [解析] 不等式 f(|x－2|)>0 化为 f(|x－2|)>f(2)，∵f(x)在 R 上是增函数， ∴|x－2|>2，∴x>4 或 x<0