2.1.2.1 KHOHZY课后强化作业 选择题 下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是() B 答案] 解析在A中,;2≠0,:2≠1,所以函数y=2的值域是p>0,且y≠1 在B中,2-1≥0,∴2-1≥0,所以函数y=√2x-1的值域是[0,+∞) 在C中,2+1>1,∴2+1>1,所以函数y=V2+1的值域是(1,+∞) 在D中,由于函数y=6)2的定义域是R,也就是自变量x可以取一切实数,所以2 x也就可以取一切实数,所以()2取一切正实数,即函数y=(÷)2x的值域为(0,+∞), 故选D 2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这 种细菌由1个可繁殖成() A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 「答案]B [解析]∵每20分钟分裂一次,故3个小时共分裂了9次,∴2=512,故选B 3.如果函数y=(a-1)2的定义域为(0,+∞)那么a的取值范围是() B.01,又∵x0,∴a>1,故选C 4.函数y=o(0<a<1)的图象是()
2.1.2.1 一、选择题 1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( ) A．y＝2 1 x B．y＝ 2 x－1 C．y＝ 2 x＋1 D．y＝( 1 2 ) 2－x [答案] D [解析] 在 A 中，∵ 1 x ≠0，∴2 1 x≠1，所以函数 y＝2 1 x的值域是{y|y>0，且 y≠1}． 在 B 中，∵2 x－1≥0，∴ 2 x－1≥0，所以函数 y＝ 2 x－1的值域是[0，＋∞)． 在 C 中，∵2 x＋1>1，∴ 2 x＋1>1，所以函数 y＝ 2 x＋1的值域是(1，＋∞)． 在 D 中，由于函数 y＝( 1 2 ) 2－x的定义域是 R，也就是自变量 x 可以取一切实数，所以 2 －x 也就可以取一切实数，所以( 1 2 ) 2－x取一切正实数，即函数 y＝( 1 2 ) 2－x的值域为(0，＋∞)， 故选 D. 2．某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过 3 个小时，这 种细菌由 1 个可繁殖成( ) A．511 个 B．512 个 C．1 023 个 D．1 024 个 [答案] B [解析] ∵每 20 分钟分裂一次，故 3 个小时共分裂了 9 次，∴2 9＝512，故选 B. 3．如果函数 y＝(a x－1)－ 1 2的定义域为(0，＋∞)那么 a 的取值范围是( ) A．a>0 B．01 D．a≥1 [答案] C [解析] y＝(a x－1)－ 1 2＝ 1 a x－1 ，因此 a x－1>0 ∴a x >1，又∵x>0，∴a>1，故选 C. 4．函数 y＝a |x| (0<a<1)的图象是( )
答案]C (x≥0) 解析]y=1 ∵0b>c D. c>b>a 答案]B [解析]y 为减函数 即b 5 >c,.b>a 点评]指数函数的图象第一象限内底大图高, 33(3)>(3) 6.函数y=a2在,1上的最大值与最小值的和为3,则a等于( B.2 「答案]B 解析]当a1时,ymn=d=1;a=a=a
[答案] C [解析] y＝ a x (x≥0) 1 a x (xb>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a [答案] B 即 a>c，∴b>a>c. [点评] 指数函数的图象第一象限内底大图高， 6．函数 y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3，则 a 等于( ) A.1 2 B．2 C．4 D.1 4 [答案] B [解析] 当 a>1 时，ymin＝a 0＝1；ymax＝a 1＝a
由 当00,故∫(x)=ax的图象经过一、三象限,∴AD不正确 若g(x)=a为增函数,则a>1 与y=ax的斜率小于1矛盾,故C不正确 B中00且a≠1),∴(x图象过点(-1,),…∴a=2,∴x)=2
由 1＋a＝3，所以 a＝2. 当 00，故 f(x)＝ax 的图象经过一、三象限，∴A、D 不正确． 若 g(x)＝a x为增函数，则 a>1， 与 y＝ax 的斜率小于 1 矛盾，故 C 不正确． B 中 00 且 a≠1)，∵f(x)图象过点(－1， 1 2 )，∴a＝2，∴f(x)＝2 x
几2)=(2)=f4)=24=16 10.当x∈[-1,1时,函数fx)=3x-2的值域为 答案]{-2≤y 解初当1≤x1时,33≤3,:∈[3,们,值域为-35y≤1 已知x>0时,函数y=(a2-8)的值恒大于1,则实数a的取值范围是 答案]a3或a0时(a2-8)y>1,∴a2-8>1, ∴a3或afn),则m,n 的大小关系为 答案]mn 「解析]」∵a 2∴0<a<1 ∴函数f(x)=a在R上单调递减 解答题 13.已知fx)=(4-a-), 求证:[x)2+g(x)2=g(2x) 解析」∫2(x)+g2(x) 4d2-a)+4d+a) =(2a2+2a2)=a2x+a2)=g(2x减成立 14.分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来
∴f[f(2)]＝f(22 )＝f(4)＝2 4＝16. 10．当 x∈[－1,1]时，函数 f(x)＝3 x－2 的值域为__________． [答案] {y|－ 5 3 ≤y≤1} [解析] 当－1≤x≤1 时，1 3 ≤3 x≤3，∴y∈[－ 5 3 ，1]，值域为{y|－ 5 3 ≤y≤1}． 11．已知 x>0 时，函数 y＝(a 2－8)x的值恒大于 1，则实数 a 的取值范围是________． [答案] a>3 或 a0 时(a 2－8)x >1，∴a 2－8>1， ∴a>3 或 af(n)，则 m，n 的大小关系为________． [答案] mf(n)，∴m<n. 三、解答题 13．已知 f(x)＝ 1 2 (a x－a －x )，g(x)＝ 1 2 (a x＋a －x )， 求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)． [解析] f 2(x)＋g 2 (x) ＝ 1 4 (a x－a－x ) 2＋ 1 4 (a x＋a－x ) 2 ＝ 1 4 (2a 2x＋2a－2x )＝ 1 2 (a 2x＋a－2x )＝g(2x)成立． 14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．
(2)22.5,2.50 [解析](1) g(x),当x∈(0,3)时,x)<g(x) 16.判断函数f(x) 的奇偶性 「解析]∵2-1≠0,∴x≠0,定义域{x∈Rx≠0} xx(2+1) f(x)= 22-122(2x-1) ∴ (2+1) f(x)
15．已知 f(x)＝ 7 3 x＋1，g(x)＝2 x，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个 区间上，f(x)的值小于 g(x)？哪个区间上，f(x)的值大于 g(x)? [解析] 在同一坐标系中，画出函数 f(x)＝2 x与 g(x)＝ 7x 3 ＋1 的图象如图所示，两函数图 象的交点为(0,1)和(3,8)， 显然当 x∈(－∞，0)或 x∈(3，＋∞)时，f(x)>g(x)，当 x∈(0,3)时，f(x)<g(x)． 16．判断函数 f(x)＝ x 2 x－1 ＋ x 2 的奇偶性． [解析] ∵2 x－1≠0，∴x≠0，定义域{x∈R|x≠0} ∵f(x)＝ x 2 x－1 ＋ x 2 ＝ x(2 x＋1) 2(2 x－1) ， ∴f(－x)＝ －x(2－x＋1) 2(2－x－1) ＝ －x(1＋2 x ) 2(1－2 x ) ＝ x(2 x＋1) 2(2 x－1) ＝f(x)
∵x)为偶函数 17.求下列函数的定义域和值域 (3)y= [解析](1)函数的定义域为R,值域为(0,+∞) (2)要使函数有意义,必须且只须3x-2≥0 即x≥,∴函数的定义域为[,+∞) 设=x-2,则≥0,y=5:y≥1 ∴函数的值域为[1,+∞) (3)要使函数有意义,必须且只须x+1≠0, 即x≠-1 函数的定义域为{x∈R|,x≠-1} 设=—,则t∈R且t≠1,y=()y, y>0且y≠1 数的值域为(0,5)UG,+∞)
∴f(x)为偶函数． 17．求下列函数的定义域和值域 [解析] (1)函数的定义域为 R，值域为(0，＋∞) (2)要使函数有意义，必须且只须 3x－2≥0， 即 x≥ 2 3 ，∴函数的定义域为[ 2 3 ，＋∞) 设 t＝ 3x－2，则 t≥0，y＝5 t ∴y≥1 ∴函数的值域为[1，＋∞)． (3)要使函数有意义，必须且只须 x＋1≠0， 即 x≠－1. ∴函数的定义域为{x∈R|，x≠－1} 设 t＝ x＋2 x＋1 ，则 t∈R 且 t≠1，y＝( 1 3 ) t， ∴y>0 且 y≠ 1 3 ∴函数的值域为(0， 1 3 )∪( 1 3 ，＋∞)