3.2.1 KHOHZY课后强化作业 选择题 1.某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元,当售价为50元 时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个 月的销售量会减少10件,商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为() A.45元 B.55元 C.65元 D.70元 答案]D 解析]设每件商品定价为x元,则一个月的销量为500-(x-50)×10=1000-10x件 故月利润为y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-40(x-100), 400 ∴当x=70时,y取最大值,故选D 2.某债券市场发行三种债券,A种面值为100元,一年到期本息和为103元:B种面 值为50元,半年到期本息和为514元:C种面值为100元,但买入价为97元,一年到期 本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为() C. A, B, C D. C,A, B 答案]B 51.4-50 「解析]A种债券的收益是每100元收益3元;B种债券的利率为 所以100 514-50 元一年到期的本息和为1001+ )≈10568(元),收益为568元;C种债券的利率为 100-9 100-97 100元一年到期的本息和为100097)≈10309元),收益为309元 3.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量 为b,则() A. a=b B. a>b
3.2.1 一、选择题 1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件 40 元，当售价为 50 元 时，一个月能卖出 500 件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高 1 元，则商品一个 月的销售量会减少 10 件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( ) A．45 元 B．55 元 C．65 元 D．70 元 [答案] D [解析] 设每件商品定价为 x 元，则一个月的销量为 500－(x－50)×10＝1000－10x 件， 故月利润为 y＝(x－40)·(1000－10x) ＝－10(x－40)(x－100)， ∵ x>40 1000－10x>0 ，∴40b
D.a、b的大小无法确定 答案] 解析]一月份产量为a(1+10%),二月份产量b=a(1+10%(1-10%)=a(1-1%) b<a,故选B 4.甲、乙两人在一次赛跑中,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确 的是() A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 答案]D 解析]从图可以看出,甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的路程(S0),甲用时() 比乙用时(t2)较短,即甲比乙的速度快,甲先到达终点 5.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管OA=1m,水从喷头A喷出后呈抛物线状, 先向上至最高点落下,若最高点距水面2m,A离抛物线对称轴1m,则在水池半径的下列可 选值中,最合算的是() C.2.5 D. 2m 答案]C 解析]建立如图坐标系,据题设y轴右侧的抛物线方程为y=a(x-1)2+2. ∵抛物线过点A(0,1) 将(0,1)点代入方程得a=-1,∴y=-(x-1)2+2
C．a<b D．a、b 的大小无法确定 [答案] B [解析] 一月份产量为 a(1＋10%)，二月份产量 b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)， ∴b<a，故选 B. 4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确 的是( ) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 [答案] D [解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1) 比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点． 5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 OA＝1m，水从喷头 A 喷出后呈抛物线状， 先向上至最高点落下，若最高点距水面 2m，A 离抛物线对称轴 1m，则在水池半径的下列可 选值中，最合算的是( ) A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m [答案] C [解析] 建立如图坐标系，据题设 y 轴右侧的抛物线方程为 y＝a(x－1)2＋2. ∵抛物线过点 A(0,1) ∴将(0,1)点代入方程得 a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2
令y=0得x=1+V2x=1-√V2舍)故落在水面上的最远点B到O点距离为(1+V2m 考虑合算,须达到要求条件下用料最少,∴选C 6.某市原来民用电价为0.52元/kwh换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点) 的电价为0.55元kwh,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kwh对于一个 平均每月用电量为200kwh的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭 每月在峰时段的平均用电量() A.至少为82kwh B.至少为18kwh C.至多为198kwh D.至多为118kwh 答案]D 「解析]①原来电费y=0.52×200=104元) ②设峰时段用电为xkwh,电费为y, 则y=x×0.55+(200-x)×0.35=0.2x+70,由题意知0.2x+70≤(1-10%), 答:这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为ll8kwh 填空题 7.英语老师准备存款500元.银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%试计算 五年后本金和利息共有 [答案]551499 「解析]根据题意,五年后的本息共500041+1.98%)5=5514.99(元) 设物体在8:00到16:00之间的温度T是时间t的函数:7(0)=a2+b+c(a≠0) 其中温度的单位是°C,时间的单位是小时,【=0表示12:00,取正值表示12:00以后, 若测得该物体在8:00的温度为8C,12:00的温度为60°C,13:00的温度为58°C,则T() 「答案]-32+t+60 「解析]将=-4,T=8;【=0,7=60;t=1,T=58分别代入函数表达式中即可解出 a=-3,b=1,c=60 三、解答题 9.某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元,假设该物品的价格年增 长率是平均的,那么2010年该物品的价格是多少?(精确到元)
令 y＝0，得 x＝1＋ 2，x＝1－ 2(舍)，故落在水面上的最远点 B到 O 点距离为(1＋ 2)m， 考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选 C. 6．某市原来民用电价为 0.52 元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点) 的电价为 0.55 元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为 0.35 元/kw·h.对于一个 平均每月用电量为 200kw·h 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭 每月在峰时段的平均用电量( ) A．至少为 82kw·h B．至少为 118kw·h C．至多为 198kw·h D．至多为 118kw·h [答案] D [解析] ①原来电费 y1＝0.52×200＝104(元)． ②设峰时段用电为 xkw·h，电费为 y， 则 y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由题意知 0.2x＋70≤(1－10%)y1， ∴x≤118. 答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118kw·h. 二、填空题 7．英语老师准备存款 5000 元．银行的定期存款中存期为 1 年的年利率 1.98%.试计算 五年后本金和利息共有________元． [答案] 5514.99 [解析] 根据题意，五年后的本息共 5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)． 8．设物体在 8∶00 到 16∶00 之间的温度 T 是时间 t 的函数：T(t)＝at2＋bt＋c(a≠0)， 其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0 表示 12∶00，t 取正值表示 12∶00 以后， 若测得该物体在 8∶00 的温度为 8°C，12∶00 的温度为 60°C,13∶00 的温度为 58°C，则 T(t) ＝________. [答案] －3t 2＋t＋60 [解析] 将 t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58 分别代入函数表达式中即可解出 a＝－3，b＝1，c＝60. 三、解答题 9．某物品的价格从 1964 年的 100 元增加到 2004 年的 500 元，假设该物品的价格年增 长率是平均的，那么 2010 年该物品的价格是多少？(精确到元)
解析]从1964年开始设经过x年后物价为y物价增长率为dP%则y=1001+a% 将x=40,y=500代入得500=1001+a%)°,解得a=4.1,故物价增长模型为y=100(1+ 4.1%) 到2010年,x=46,代入上式得y=100(1+4.%)+6≈635(元) 10.有甲、乙两个水桶,开始时水桶甲中有a升水,水通过水桶甲的底部小孔流入水桶 乙中,1分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae",假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水 相等,求再过多长时间水桶甲的水只有 解析由题意得ae·m=a-ae3,即e3=,设再过t分钟桶甲中的水只祥,得ce 所以=(",=m==9,:3=3,:=10:再过10分钟桶 甲的水只有 1].某报纸上报道了两则广告,甲商厦实行有奖销售:特等奖10000元1名,一等奖 1000元2名,二等奖100元10名,三等奖5元200名,乙商厦则实行九五折优惠销售.请 你想一想:哪一种销售方式更吸引人?哪一家商厦提供给消费者的实惠大.面对问题我们并 不能一目了然.于是我们首先作了一个随机调查.把全组的16名学员作为调查对象,其中 8人愿意去甲家,6人喜欢去乙家,还有两人则认为去两家都可以.调查结果表明:甲商厦 的销售方式更吸引人,但事实是否如此呢?请给予说明 解析]在实际问题中,甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限 制.所以这个问题应该有几种情形 (1)若甲商厦确定每组设奖.当参加人数较少时,少于1+2+10+200=213人,人们会 认为获奖机率较大,则甲商厦的销售方式更吸引顾客 (2)若甲商厦的每组营业额较多时,他给顾客的优惠幅度就相应的小.因为甲商厦提供 的优惠金额是固定的,共10000+2000+1000+1000=14000元.假设两商厦提供的优惠都 是14000元,则可求乙商厦的营业额为1400095%=280000 所以由此可得 (1)当两商厦的营业额都为280000元时,两家商厦所提供的优惠同样多 (2)当两商厦的营业额都不足280000元时,乙商厦的优惠则小于14000元,所以这时甲 商厦提供的优惠仍是14000元,优惠较大
[解析] 从 1964 年开始，设经过 x 年后物价为 y，物价增长率为 a%，则 y＝100(1＋a%)x， 将 x＝40，y＝500 代入得 500＝100(1＋a%)40，解得 a＝4.1，故物价增长模型为 y＝100(1＋ 4.1%) x . 到 2010 年，x＝46，代入上式得 y＝100(1＋4.1%)46≈635(元)． 10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有 a 升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶 乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y＝ae －nt，假设过 5 分钟时水桶甲和水桶乙的水 相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a 8 . [解析] 由题意得 ae－5n＝a－ae－5n，即 e－5n＝ 1 2 ，设再过 t 分钟桶甲中的水只有a 8 ，得 ae －n(t＋5)＝ a 8 ，所以( 1 2 ) t＋5 5 ＝(e－5n ) t＋5 5 ＝e－n(t＋5)＝ 1 8 ＝( 1 2 ) 3，∴ t＋5 5 ＝3，∴t＝10.∴再过 10 分钟桶 甲的水只有a 8 . 11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖 10000 元 1 名，一等奖 1000 元 2 名，二等奖 100 元 10 名，三等奖 5 元 200 名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请 你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并 不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的 16 名学员作为调查对象，其中 8 人愿意去甲家，6 人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦 的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明． [解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限 制．所以这个问题应该有几种情形： (1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于 1＋2＋10＋200＝213 人，人们会 认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客． (2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供 的优惠金额是固定的，共 10000＋2000＋1000＋1000＝14000 元．假设两商厦提供的优惠都 是 14000 元，则可求乙商厦的营业额为 14000÷5%＝280000. 所以由此可得： (1)当两商厦的营业额都为 280000 元时，两家商厦所提供的优惠同样多． (2)当两商厦的营业额都不足 280000 元时，乙商厦的优惠则小于 1 4000 元，所以这时甲 商厦提供的优惠仍是 1 4000 元，优惠较大．
(3)当两家的营业额都超过280000元时,乙商厦的优惠则大于14000元,而甲商厦的优 惠仍保持14000元时,乙商厦所提供的优惠大 12.某种新栽树木5年成材,在此期间年生长率为20‰,以后每年生长率为x%x<20).树 木成材后,既可以砍伐重新再栽,也可以继续让其生长,哪种方案更好? 解析]只需考虑1⑩0年的情形.设新树苗的木材量为Q,则连续生长10年后木材量为 Q(1+20%)(1+x%)55年后再重栽的木材量为20(1+20%),画出函数y=(1+x%)与y=2 的图象,用二分法可求得方程(1+x%)=2的近似根x=1487故当x<1487%时就考虑重栽, 否则让它继续生长 *13(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数n是羊 毛衫标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少.已知标价为每件300元时,购买人数为 零.标价为每件225元时,购买人数为75人,若这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以 高于成本价的相同价格(标价)出售,问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元? 解析](1)设购买人数为n人洋毛衫的标价为每件x元利润为y元则n=kx+b(k<0), 0=300k+b k=-1 75=225k+b b=300 ∴n=-x+300. y=-(x-300)(x-100)=-(x-2002+10000,x∈(100,3001 x=200时,Ja=1000 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件200元 (2)由题意得,-(x-300)(x-100)=10000×75% ∴x2-400x+30000=-7500, ∴x2-400x+37500=0 ∴(x-250x-150)=0 ∴x=250,x2=150 所以当商场以毎件150元或250元出售时,可获得最大利润的75%
(3)当两家的营业额都超过 280000 元时，乙商厦的优惠则大于 14000 元，而甲商厦的优 惠仍保持 14000 元时，乙商厦所提供的优惠大． 12．某种新栽树木 5 年成材，在此期间年生长率为 20%，以后每年生长率为 x%(x<20)．树 木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？ [解析] 只需考虑 10 年的情形．设新树苗的木材量为 Q，则连续生长 10 年后木材量为： Q(1＋20%)5 (1＋x%)5,5 年后再重栽的木材量为 2Q(1＋20%)5，画出函数 y＝(1＋x%)5 与 y＝2 的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2 的近似根 x＝14.87，故当 x<14.87%时就考虑重栽， 否则让它继续生长． *13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数 n 是羊 毛衫标价 x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件 300 元时，购买人数为 零．标价为每件 225 元时，购买人数为 75 人，若这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以 高于成本价的相同价格(标价)出售，问： (1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？ (2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？ [解析] (1)设购买人数为 n 人，羊毛衫的标价为每件 x 元，利润为 y 元，则 n＝kx＋b(k<0)， ∴ 0＝300k＋b 75＝225k＋b ，∴ k＝－1 b＝300 ， ∴n＝－x＋300. y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(100,300] ∴x＝200 时，ymax＝10000 即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件 200 元． (2)由题意得，－(x－300)·(x－100)＝10000×75% ∴x 2－400x＋30000＝－7500， ∴x 2－400x＋37500＝0， ∴(x－250)(x－150)＝0 ∴x1＝250，x2＝150 所以当商场以每件 150 元或 250 元出售时，可获得最大利润的 75%
14.学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作 把椅子的工时数之比为10:7,问30名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子), 能使完成全部任务最快? 「分析]制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间,只要它最小,即完成 任务最快 解析]设x名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制7 张课桌或10把椅子 100 ∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)=7x 制作200:椅子所需时间为函数Xx)=-200 10(30-x) 完成全部任务所需的时间fx)为P(x)与Qx)中的较大值 欲使完成任务最快,须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等) 令P(x)=Qx),即7x-10(30-x) 解得x=12.5,∵人数x∈N,考察x=12和13的情形有P(12)≈1.19,Q(12)≈1 P(13)≈1.099,(13)≈1.176,∴f12)=1.19,13)=1.176, ∵∫(12)>(13),∴x=13时,x)取最小值,∴用13名工人制作课桌,17名工人制作椅 子完成任务最快 [点评]本题有几点需特别注意,人数x必须是自然数,故P(x)与Q(x)不相等,f(x) 是P(x)与Q(x中的较大者,完成任务最快的时间是f(x)的最小值
14．学校请了 30 名木工，要制作 200 把椅子和 100 张课桌．已知制作一张课桌与制作 一把椅子的工时数之比为 10∶7，问 30 名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)， 能使完成全部任务最快？ [分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成 任务最快． [解析] 设 x 名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制 7 张课桌或 10 把椅子， ∴制作 100 张课桌所需时间为函数 P(x)＝ 100 7x ， 制作 200 把椅子所需时间为函数 Q(x)＝ 200 10(30－x) ， 完成全部任务所需的时间 f(x)为 P(x)与 Q(x)中的较大值． 欲使完成任务最快，须使 P(x)与 Q(x)尽可能接近(或相等)． 令 P(x)＝Q(x)，即100 7x ＝ 200 10(30－x) ， 解得 x＝12.5，∵人数 x∈N，考察 x＝12 和 13 的情形有 P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111， P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176， ∵f(12)>f(13)，∴x＝13 时，f(x)取最小值，∴用 13 名工人制作课桌，17 名工人制作椅 子完成任务最快． [点评] 本题有几点需特别注意，人数 x 必须是自然数，故 P(x)与 Q(x)不相等，f(x) 是 P(x)与 Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是 f(x)的最小值．