第三章综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷选择题)和第Ⅱ卷(非选择题两部分。濑分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题共60分) 、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给岀的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.给出下列四个命题:①函数fx)=3x-6的零点是2;②函数fx)=x2+4x+4的零点 是-2;③函数fx)=log(x-1)的零点是1,④函数fx)=2x-1的零点是0,其中正确的个数 为() 答案]C 「解析]当logs(x-1)=0时,x-1=1,∴x=2,故③错,其余都对 2.若函数y=fx)在区间[04上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(04)内仅有 个实数根,则f0)f4)的值() A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 答案]D 解析]如图(1)和(2)都满足题设条件 3.函数f(x)=ax+b的零点是-1(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是() B.0 C.-1和0 D.1和0 答案]C 解析]由条件知f-1)=0,∴b=a,∴g(x)=ax2+bx=ax(x+1)的零点为0和-1 4.方程lgx+x-2=0一定有解的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案]B
第三章综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。) 1．给出下列四个命题：①函数 f(x)＝3x－6 的零点是 2；②函数 f(x)＝x 2＋4x＋4 的零点 是－2；③函数 f(x)＝log3(x－1)的零点是 1，④函数 f(x)＝2 x－1 的零点是 0，其中正确的个数 为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析]当 log3(x－1)＝0 时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对． 2．若函数 y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程 f(x)＝0 在(0,4)内仅有 一个实数根，则 f(0)·f(4)的值( ) A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．无法判断 [答案] D [解析] 如图(1)和(2)都满足题设条件． 3．函数 f(x)＝ax＋b 的零点是－1(a≠0)，则函数 g(x)＝ax2＋bx 的零点是( ) A．－1 B．0 C．－1 和 0 D．1 和 0 [答案] C [解析] 由条件知 f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为 0 和－1. 4．方程 lgx＋x－2＝0 一定有解的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [答案] B
解析]∵1)=-10 (x)在(1,2)内必有零点 5.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额, ①如果不超过200元,则不予优惠 ②如果超过200元,但不超过500元,则按标准价给予9折优惠 ③如果超过500元,则其500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠 某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则 应付款是() A.413.7元 B.513.6元 C.5466元 D.548.7元 答案]C 解析]两次购物标价款:168+=168+470=638(元), 实际应付款:500×0.9+138×0.7=5466(元) 6.设函数f(x)= 则方程f(x) log1x,t∈(1,+x) 的解为 B.3 C.3或 7 D.无解 [解析]当x≤1时2-x=x=(舍) 时l 4…=3,故选B. 7.(08山东文)已知函数x)=log(2+b-1Xa>0,a≠1)的图象如图所示,则a、b满 足的关系是() A.0<a-1<b< B.0<b<a1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a1<b-1<1 答案]A 解析]令8(x)=2+b-1,则函数g(x)为增函数,又由图象可知,函数∫x)为增函数
[解析] ∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0 ∴f(x)在(1,2)内必有零点． 5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额， ①如果不超过 200 元，则不予优惠． ②如果超过 200 元，但不超过 500 元，则按标准价给予 9 折优惠． ③如果超过 500 元，则其 500 元按第②条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优惠． 某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则 应付款是( ) A．413.7 元 B．513.6 元 C．546.6 元 D．548.7 元 [答案] C [解析] 两次购物标价款：168＋ 423 0.9＝168＋470＝638(元)， 实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)． 7．(08·山东文)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则 a、b 满 足的关系是( ) A．0<a －1<b<1 B．0<b<a －1<1 C．0<b －1<a<1 D．0<a －1<b －1<1 [答案] A [解析] 令 g(x)＝2 x＋b－1，则函数 g(x)为增函数，又由图象可知，函数 f(x)为增函数
a>1,又当x=0时,-1P(2005) D.P(2007)>P(2008) 答案]D 「解析]机器人程序为前进3步、后退2步,则P(3)=3,P(5)=1均正确,即5步等于 前进了一个单位长度 p(2003)=P(2000+P(3)=403, P(2005)=P(2000+P(5)=401, P(2003)>P(2005)正确 又P(2007)=P(2005)+P(2)=403, P(2008)=P(2005)+P(3)=404 P(2007)>P(2008)错误 9.已知函数fx)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( B.y=4 答案]B 「解析]由于过(1,2)点,排除C、D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即y 0成立的x的取值范围是() U(1+∞) B.(-∞,-1)∪(3+∞) C.(-1,3) 答案]C
∴a>1，又当 x＝0 时，－1P(2005) D．P(2007)>P(2008) [答案] D [解析] 机器人程序为前进 3 步、后退 2 步，则 P(3)＝3，P(5)＝1 均正确，即 5 步等于 前进了一个单位长度， ∴p(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403， P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401， ∴P(2003)>P(2005)正确． 又 P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403， P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404， ∴P(2007)>P(2008)错误． 9．已知函数 f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为( ) A．y＝2 x B．y＝4－ 4 x＋1 C．y＝log3(x＋1) D．y＝x 1 3 (x≥0) [答案] B [解析] 由于过(1,2)点，排除 C、D；由图象与直线 y＝4 无限接近，但到达不了，即 y ＜4 知排除 A，∴选 B. 10．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表. x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y －24 －10 0 6 8 6 0 －10 －24 … 则使 ax2＋bx＋c＞0 成立的 x 的取值范围是( ) A．(－10，－1)∪(1＋∞) B．(－∞，－1)∪(3＋∞) C．(－1,3) D．(0，＋∞) [答案] C
解析]由表可知fx)的两个零点为-1和3,当-10成立的x的取值范围是(-1,3) 11.方程42-3×2+2=0的根的个数是( 答案] 「解析]由42-3×2X+2=0,得(2)2-3×2x+2=0,解得22=2,或2=1,∴x=0, 或x=1 12.若方程m-x-m=0(m>0,且m≠1)有两个不同实数根,则m的取值范围是() B.00 「答案]A 解析]方程m-x-m=0有两个不同实数根等价于函数y=m与y=x+m的图象有 两个不同的交点.显然当m>1时,如图1)有两个不同交点当O<m<1时,如图2)有且仅 有一个交点.故选A
[解析] 由表可知 f(x)的两个零点为－1 和 3，当－1＜x＜3 时 f(x)取正值∴使 ax2＋bx＋ c＞0 成立的 x 的取值范围是(－1,3)． 11．方程 4 x－3×2 x＋2＝0 的根的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] C [解析] 由 4 x－3×2 x＋2＝0，得(2x ) 2－3×2 x＋2＝0，解得 2 x＝2，或 2 x＝1，∴x＝0， 或 x＝1. 12．若方程 m x－x－m＝0(m＞0，且 m≠1)有两个不同实数根，则 m 的取值范围是( ) A．m＞1 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞2 [答案] A [解析] 方程 m x－x－m＝0 有两个不同实数根，等价于函数 y＝m x与 y＝x＋m 的图象有 两个不同的交点．显然当 m＞1 时，如图(1)有两个不同交点当 O＜m＜1 时，如图(2)有且仅 有一个交点．故选 A
第Ⅱ卷(非选择题共90分) 、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知y=xx-1)(x+1)的图象如图所示.令fx)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于 fx)=0的解叙述正确的是 ①有三个实根 ②x>1时恰有一实根 ③当03时,x)=2+x+4=6+x, f(x)= 6+xx>3
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知 y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令 f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于 f(x)＝0 的解叙述正确的是________． ①有三个实根； ②x＞1 时恰有一实根； ③当 0＜x＜1 时恰有一实根； ④当－1＜x＜0 时恰有一实根； ⑤当 x＜－1 时恰有一实根(有且仅有一实根)． [答案] ①⑤ [解析] f(x)的图象是将函数 y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移 0.01 个单位得到．故 f(x) 的图象与 x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0， 1 2 )和( 1 2 ，1)内，故只有①⑤正 确． 14．某工程由 A、B、C、D 四道工序完成，完成它们需用的时间依次 2、5、x、4 天， 四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B、C 完 成后，D 可以开工，若完成该工程总时间数为 9 天，则完成工序 C 需要的天数 x 最大为 ________． [答案] 3 [解析] 如图， 设工程所用总天数为 f(x)，则由题意得： 当 x≤3 时，f(x)＝5＋4＝9， 当 x>3 时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x， ∴f(x)＝ 9 x≤3 6＋x x>3
∴工程所用总天数fx)=9, x≤3,∴x最大值为3 15.已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点 的坐标为 答案]( a×12=4 解析]由条件知 k+1=4 k=3 =4x 由 得 =3x+1 3(x≤0 16.已知函数f(x) 则方程八x)=3的解为 logixx >0) 答案]-1或√ lo 解析]由条件知 ≤0 0 x=-1或x= 三、解答题(本大题共6个小题,共7分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)方程x2-=0在(-∞,0)内是否存在实数解?并说明理由 解析]不存在,因为当x0 ∴2-10恒成立,故不存在x∈(-∞,0,使x-1=0 18.(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京日报》的价格是每份 0.20元,卖出的价格是每份030元,卖不掉的报纸可以以每份005元的价格退回报社.在 一个月(30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天 从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最 大?并计算他一个月最多可赚得多少元? 「解析]设每天从报社买进x份报纸,每月获得的总利润为y元,则依题意有 y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250)
∵工程所用总天数 f(x)＝9， ∴x≤3，∴x 最大值为 3. 15．已知抛物线 y＝ax2 与直线 y＝kx＋1 交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点 的坐标为______． [答案] (－ 1 4 ， 1 4 ) [解析] 由条件知 a×1 2＝4 k＋1＝4 ∴ a＝4 k＝3 由 y＝4x 2 y＝3x＋1 得， y＝－ 1 4 y＝ 1 4 或 x＝1 y＝4 . 16．已知函数 f(x)＝ 3 x (x≤0) log9x(x＞0) ，则方程 f(x)＝ 1 3 的解为________． [答案] －1 或 3 9. [解析] 由条件知 3 x＝ 1 3 x≤0 或 log9x＝ 1 3 x＞0 ∴x＝－1 或 x＝ 3 9 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分 12 分)方程 x 2－ 1 x ＝0 在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由． [解析] 不存在，因为当 x＜0 时，－1 x ＞0 ∴x 2－ 1 x ＞0 恒成立，故不存在 x∈(－∞，0)，使 x 2－ 1 x ＝0. 18．(本题满分 12 分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份 0.20 元，卖出的价格是每份 0.30 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社．在 一个月(30 天计算)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天 从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最 大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ [解析] 设每天从报社买进 x 份报纸，每月获得的总利润为 y 元，则依题意有 y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)
=0.5x+625,x∈[250,400 该函数在[250,400]上单调递增,所以x=400时,ymx=825(元) 答:摊主每天从报社买进400份时,每月所获得的利润最大,最大利润为825元 19.(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种 方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系,如下图所示(实线部分),.(注:图中 MN∥CD.)试 (1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元? (2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠 应付话费(元) 方案B 通话时间(分钟 解析」由图知M60,98),M(500,230),C500,168),MN∥CD 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f(x)fa(x),则 0≤x≤60, f(x)= +80x>60 0≤x≤500 f6(x-3x+18x500 (1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元 (2)因为Mm(n+1)-fOn>500、1+1)+18、3 =10=03元) ∴方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元 (3)由图知,当0≤x≤60时,f(x)500时,fx)>fa(x) 当60≤500时,由(x)M(),得x80 即当通话时间在8,+∞)时,方案B较A优惠
＝0.5x＋625，x∈[250,400]． 该函数在[250,400]上单调递增，所以 x＝400 时，ymax＝825(元)． 答：摊主每天从报社买进 400 份时，每月所获得的利润最大，最大利润为 825 元． 19．(本题满分 12 分)电信局为了配合客户不同需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种 方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中 MN∥CD.)试问： (1)若通话时间为 2 小时，按方案 A、B 各付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠． [解析] 由图知 M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 fA(x)、fB(x)，则 fA(x)＝ 98 0≤x≤60， 3 10x＋80 x>60. fB(x)＝ 168 0≤x≤500， 3 10x＋18 x>500. (1)通话 2 小时两种方案的话费分别为 116 元、168 元． (2)因为 fB(n＋1)－fB(n)(n>500)＝ 3 10(n＋1)＋18－ 3 10n－18＝ 3 10＝0.3(元)． ∴方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元． (3)由图知，当 0≤x≤60 时，fA(x)500 时，fA(x)>fB(x)， ∴当 60fB(x)，得 x> 880 3 ， 即当通话时间在( 880 3 ，＋∞)内时，方案 B 较 A 优惠．
20.(本题满分12分)若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根,求分别 满足下列条件的a的取值范围 (1)方程两根都大于1 (2)方程一根大于1,另一根小于1 解析]设fx)=x2-2ax+2+a (1)∵两根都大于1, △=4a2-4(2+a)>0 ,解得20 (2)∵方程一根大于1,一根小于1, f(1)3 21.(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1% 若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市 场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 「解析]设过滤n次,则 1000 1+lg2 又∵n∈N n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求 22.(本题满分14分)若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3)、B(30)的线 段AB有两个不同的交点,求m的取值范围 「分析]先求出线段AB的方程,之后将图象交点问题转化为方程组解的问题,再将方 程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题,最后通过不等式组求得m的取值范 解析]线段AB的方程为x+y=3 +y=3(0≤x≤3)① 由题意得方程组 在[0,3上有两组实数解 将①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),此方程有两个不同的实数根
20．(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x 2－2ax＋2＋a＝0 有两个不相等的实根，求分别 满足下列条件的 a 的取值范围． (1)方程两根都大于 1； (2)方程一根大于 1，另一根小于 1. [解析] 设 f(x)＝x 2－2ax＋2＋a (1)∵两根都大于 1， ∴ Δ＝4a 2－4(2＋a)>0 a>1 f(1)＝3－a>0 ，解得 23. 21．(本题满分 12 分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%. 若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市 场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) [解析] 设过滤 n 次，则 2 100· 2 3 n≤ 1 1 000 即 2 3 n≤ 1 20，∴n≥ lg 1 20 lg 2 3 ＝ 1＋lg2 lg3－lg2 ≈7.4 又∵n∈N， ∴n≥8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求． 22．(本题满分 14 分)若二次函数 y＝－x 2＋mx－1 的图象与两端点为 A(0,3)、B(3,0)的线 段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取值范围． [分析] 先求出线段 AB 的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方 程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得 m 的取值范 围． [解析] 线段 AB 的方程为 x＋y＝3， 由题意得方程组 x＋y＝3(0≤x≤3) ① y＝－x 2＋mx－1 ② 在[0,3]上有两组实数解． 将①代入②得 x 2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根．
令八(x)=x2-(m+1)x+4则二次函数fx)在x∈0,3]上有两个实根,故有 A=(m+1)2-16>0, m+1 解得3 0<m<6 无解. 错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价
令 f(x)＝x 2－(m＋1)x＋4.则二次函数 f(x)在 x∈[0,3]上有两个实根，故有： Δ＝(m＋1) 2－16＞0， 0＜ m＋1 2 ＜3， f(0)＝4＞0， f(3)＝9－3(m＋1)＋4≥0， 解得 3＜m≤ 10 3 . 故 m 的取值范围是(3， 10 3 ]． [点评] 本题可能会出现下面的错解，令 f(x)＝－x 2＋mx－1. ∵f(0)＝－1＜0，f(x)的图象开口向下，线段 AB x＋y＝3(0≤x≤3) 如图，要使 f(x)的图象与线段 AB 有两个不同交点应满足． f(3)≤0 f( m 2 )＞3－ m 2 0＜ m 2 ＜3 ，∴ m≤ 10 3 m＜－ 17－1或m＞ 17－1 0＜m＜6 ， ∴无解． 错因是顶点在线段 AB 的上方与抛物线与线段 AB 有两个交点不等价．