第二章综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题兩两部分。满分150分。考试时间120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题共60分) 、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符号题目要求的。) 1.函数y x-1)的定义域是() B.(1,2] 答案]B 「解析]log(x-1)≥0,∴01},B={=(),x1},则A∩B=() B.{v00},B={0y≤} ∴A∩B={0≤y},故选A 4x+1 4.(2010重庆理,5)函数x)=x-的图象() A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 答案]D 解析]∵1-x)=2-x+1=2+1 ∴(x)是偶函数,其图象关于y轴对称
第二章综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．函数 y＝ log 1 2 (x－1)的定义域是( ) A．[2，＋∞) B．(1,2] C．(－∞，2] D. 3 2 ，＋∞ [答案] B [解析] log1 2 (x－1)≥0，∴01}，B＝{y|y＝( 1 2 ) x，x>1}，则 A∩B＝( ) A．{y|00}，B＝{y|0<y< 1 2 } ∴A∩B＝{y|0<y< 1 2 }，故选 A. 4．(2010·重庆理，5)函数 f(x)＝ 4 x＋1 2 x 的图象( ) A．关于原点对称 B．关于直线 y＝x 对称 C．关于 x 轴对称 D．关于 y 轴对称 [答案] D [解析] ∵f(－x)＝2－x＋ 1 2－x ＝2 x＋ 1 2 x＝f(x) ∴f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称．
5.(2010辽宁文,10)设2=5=m,日11=2,则m=() B.10 答案] 「解析 a=logam b= logs logm 5= log10=2 x+2)x≤0 6.已知fx) 则f(-8)等于() 答案] 解析-8=f-6)=f-4)=1-2)=0)=12)=lg2=-1,选A 7.若定义域为区间(-2,-1)的函数fx)=log2a-3x+2),满足f(x)2 8.已知fx)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数.若lgx)>f(1),则x的取值范围 (0,i)u(1,+∞) C.(1n,10) D.(0,1)U(10,+∞) 答案] 解 fx)为偶函数 ∴1gx)>f1)化为gx)>(1) 又八x)在[0,+∞)上为减函数,∴lgx<1
5．(2010·辽宁文，10)设 2 a＝5 b＝m，且1 a ＋ 1 b ＝2，则 m＝( ) A. 10 B．10 C．20 D．100 [答案] A [解析] ∵2 a＝5 b＝m ∴a＝log2m b＝log5m ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ 1 log2m ＋ 1 log5m ＝logm2＋logm5＝logm10＝2 ∴m＝ 10 选 A. 6．已知 f(x)＝ f(x＋2) x≤0 log 1 2 x x>0 ，则 f(－8)等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案] A [解析] f(－8)＝f(－6)＝f(－4)＝f(－2)＝f(0)＝f(2)＝log1 2 2＝－1，选 A. 7．若定义域为区间(－2，－1)的函数 f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足 f(x)1，∴a>2. 8．已知 f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若 f(lgx)>f(1)，则 x 的取值范围 是( ) A．( 1 10，1) B．(0， 1 10)∪(1，＋∞) C．( 1 10，10) D．(0,1)∪(10，＋∞) [答案] C [解析] ∵f(x)为偶函数， ∴f(lgx)>f(1)化为 f(|lgx|)>f(1)， 又 f(x)在[0，＋∞)上为减函数，∴|lgx|<1
∴-12a>2° 24>2b>2 C.2>2b>2a D.22a>2b 答案]A 「解析]∵由logb2“>2故选A 12.若00 B. aa>l C. loga(1-a)<o 答案]A 解析]当0<a<1时,ogax单调减
∴－12a >2c B．2 a >2b >2c C．2 c >2b >2a D．2 c >2a >2b [答案] A [解析] ∵由 log 1 2 ba>c， 又 y＝2 x为增函数，∴2 b >2a >2c .故选 A. 12．若 00 B．a 1－a >1 C．loga(1－a)a 2 [答案] A [解析] 当 0<a<1 时，logax 单调减
a logal=0.故选A 点评]①y=a2单调减,0a2; 当1-a=a,即a=时,(1-a)2=a2; 当1-a0,d- (1-a)2=a2,排除B、C、D,故选A 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线 13.函数y=d(a>0,且a≠1)在1,上的最大值比最小值大,则a的值是 「答案]￥或 「解析]」当∝1时,y=a在[1,3]上递增 故a3 v6 当0<a<1时,y=a在[1,3上单调递减 故a-a3 或 「点评]指数函数的最值问题一般都是用单调性解决 14.若函数f(2)的定义域是[-1,1,则f(logx)的定义域是 「答案]ⅣV2,4 「解析]∵y=∫2)的定义域是[-1,1 2=2≤2,y=/的定义城是,2 由≤lgx≤2得,√2≤x≤ 15.函数y=1g(4+3x-x2)的单调增区间为 答案](-1,2 「解析]函数y=lg(4+3x-x)的增区间即为函数y=4+3x-x2的增区间且4+3x 0,因此所求区间为(-1
∵0loga1＝0.故选 A. [点评] ①y＝a x单调减，0a，即 aa 2 ； 当 1－a＝a，即 a＝ 1 2 时，(1－a) 2＝a 2 ； 当 1－a0，a 1－a ＝ 1 2 1 2＝ 2 2 0，且 a≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大a 2 ，则 a 的值是________． [答案] 2 2 或 6 2 . [解析] 当 a>1 时，y＝a x在[1,3]上递增， 故 a 3－a＝ a 2 ，∴a＝ 6 2 ； 当 00，因此所求区间为(－1， 3 2 ]．
16.已知:a=x",b=x2,c=xm,0<x1,0<m<1,则a,b,c的大小顺序(从小到大) 依次是 [答案]c,a,b [解析将a=x,b=x2,c=xm看作指数函数y=x(0<x1为常数,P为变量), 在P1=m,P2=m,P3=时的三个值,:0<x<1, y=x关于变量P是减函数,:0m1,:2mm c<asb 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写岀文字说明,证明过程或演算 17.(本题满分12分)在同一坐标系中,画出函数f(x)=log2(-x)和g(x)=x+1的图 象.当八x)<g(x)时,求x的取值范围 「解析]fx)与g(x)的图象如图所示;显然当x=-1时,(x)=g(x),由图可见,使 fx)xg(x)时,x的取值范围是-1<x<0 fx]=logf-x) 18.(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来 log2,log 3, log 4, log35, log-2 「分析]先区分正负,正的找出大于1的,小于1的,再比较 解析首先P2=1(),∈0:5都大于1:g2=-1: (都小于:1,12=1,-1430 1(÷0),…y=(为减函数,33,(0= (2):y=x为增函数,-3-4 (秒(
16．已知：a＝x m，b＝x m 2，c＝x 1 m，0x m >x 1 m；∴c 2 3 4 5＝ 3 2 － 4 5； (2)∵y＝x 3 为增函数，－3 2 <－ 4 3 <－1， ∴ － 3 2 3< － 4 3 3<－1；
(3)y=logx为减函数,∴-=log2>log}3>log24=-1; (4y= logar为增函数,∴log5>log4log;3=1 综上可知,()(193(eg+gs 19.(本题满分12分)已知x)是偶函数,当x≥0时,fx)=a(a>1),若不等式fx)≤4 的解集为[-2,2],求a的值 「解析]当x0,f-x)=a-x, ∵x)为偶函数,∴(x)=ax ≥0 ∴fx)= a>1,∴f(x)≤4化为 ∴0≤x≤log4或-log4≤x<0 由条件知log4=2,∴a=2 20.(本题满分12分)在已给出的坐标系中,绘出同时符合下列条件的一个函数fx) 的图象 2-1p (1)(x)的定义域为[一2,2] (2)(x)是奇函数; (3)(x)在(0,2]上递减 (4)/(x)是既有最大值,也有最小值; (5)(1)=0 「解析]∵x)是奇函数 ∵x)的图象关于原点对称 ∵fx)的定义域为[-2,2],∴A0)=0,由x)在(0,2上递知fx)在[-20)上递减 由f(1)=0知f-1)=-f1)=0,符合一个条件的一个函数的图象如图
(3)y＝log1 4 x 为减函数，∴－ 1 2 ＝log1 4 2>log1 4 3>log1 4 4＝－1； (4)y＝log3x 为增函数，∴log35>log34>log33＝1. 综上可知， － 3 2 31)，若不等式 f(x)≤4 的解集为[－2,2]，求 a 的值． [解析] 当 x0，f(－x)＝a－x， ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝a－x， ∴f(x)＝ a x x≥0 1 a x x1，∴f(x)≤4 化为 x≥0， a x≤4， 或 x<0 1 a x≤4 ， ∴0≤x≤loga4 或－loga4≤x<0， 由条件知 loga4＝2，∴a＝2. 20．(本题满分 12 分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数 f(x) 的图象． (1)f(x)的定义域为[－2,2]； (2)f(x)是奇函数； (3)f(x)在(0,2]上递减； (4)f(x)是既有最大值，也有最小值； (5)f(1)＝0. [解析] ∵f(x)是奇函数， ∴f(x)的图象关于原点对称， ∵f(x)的定义域为[－2，2]，∴f(0)＝0，由 f(x)在(0,2]上递减知 f(x)在[－2,0)上递减， 由 f(1)＝0 知 f(－1)＝－f(1)＝0，符合一个条件的一个函数的图象如图．
点评]符合上述条件的函数不只一个,只要画出符合条件的一个即可,再结合学 过的一次、二次、幂、指、对函数可知,最简单的为一次函数.下图都是符合要求的 A一÷ 2.(本题满分12分)设,)=+二是R上的偶函数 (1)求a的值 (2)证明x)在(0,+∞)上是增函数 解析()依题意对一切∈R有-=8成立E+=1+c,…:( 对一切x∈R成立,由此得到a--=0,∴a2=1,又a>0,∴a=1. (2)设0x<,x)-x2)=eex11=(cx-em)m“与 ∵x)<fx2),∴(x)在(0,+∞)上为增函数 22.(本题满分14分)某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产 品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其 关系如图2(注:利润与投资单位:万元) 18x 图1 图2 (1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式 (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分 配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元?(精确到1万 「解析](1)设各投资x万元时,A产品利润为x万元,B产品利澜为gx)万元, 由题设几)=kx,8x)=k,由图知1)=4, k=,又84)=2…k=,从而:/x)=(x≥0),8x)=4(x≥0 (2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元;设企业利润为y万元.y=fx)
[点评] 符合上述条件的函数不只一个，只要画出符合条件的一个即可，再结合学 过的一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单的为一次函数．下图都是符合要求的． 21．(本题满分 12 分)设 a>0，f(x)＝ e x a ＋ a e x是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)证明 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． [解析] (1)依题意，对一切 x∈R 有 f(－x)＝f(x)成立，即e x a ＋ a e x＝ 1 aex＋aex，∴ a－ 1 a e x－ 1 e x ＝0，对一切 x∈R 成立，由此得到 a－ 1 a ＝0，∴a 2＝1，又 a>0，∴a＝1. (2)设 0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋ 1 ex1 － 1 ex2 ＝(ex2－ex1) <0 ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 22．(本题满分 14 分)某民营企业生产 A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产 品的利润与投资成正比，其关系如图 1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其 关系如图 2(注：利润与投资单位：万元) (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分 配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到 1 万 元) [解析] (1)设各投资 x 万元时，A 产品利润为 f(x)万元，B 产品利润为 g(x)万元， 由题设 f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x，由图知 f(1)＝ 1 4 ， ∴k1＝ 1 4 ，又 g(4)＝ 5 2 ，∴k2＝ 5 4 ，从而：f(x)＝ 1 4 x(x≥0)，g(x)＝ 5 4 x(x≥0)． (2)设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10－x 万元；设企业利润为 y 万元．y＝f(x)
+8(10-x)=}+5 10-x(0≤x≤10) 则0≤≤ 4,此时x=10 当A产品投入3.75万元,B产品投入625万元时,企业获得最大利润约4万元
＋g(10－x)＝ x 4 ＋ 5 4 10－x (0≤x≤10)， 令 10－x＝t，则 0≤t≤ 10，∴y＝ 10－t 2 4 ＋ 5 4 t＝－ 1 4 (t－ 5 2 ) 2＋ 65 16(0≤t≤ 10)， 当 t＝ 5 2 时，ymax＝ 65 16≈4，此时 x＝10－ 25 4 ＝3.75. ∴当 A 产品投入 3.75 万元，B 产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润约 4 万元．