3.1.1 KHOHZY课后强化作业 选择题 下列函数中在区间[1,2]上有零点的是() A.(x)=3x2-4x+5 B.fx)=x3-5 C f(x)=Inx-3x+6 D.f(x)=e+3x-6 答案] 解析]对于函数(x)=e+3x-6来说 f1)=e-30 ∴f1)(2)0,则m=0应符合题设,所以排 除A、B,当m=1时,x)=x2-2x+1=(x-1)2它的根是x=1符合要求,排除C选D 解法2:直接法,∵f0)=1,∴(1)当m0时必成立,排除A、B, 2当m>0时,要使与x轴交点至少有一个在原点右侧,则A=(m-3)2-4m>0 00∴选D 3.函数y=x)与函数y=2-3的图象关于直线y=x对称,则函数y=fx)与直线 的一个交点位于区间() 答案]B
3.1.1 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A．f(x)＝3x 2－4x＋5 B．f(x)＝x 3－5x－5 C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝e x＋3x－6 [答案] D [解析] 对于函数 f(x)＝e x＋3x－6 来说 f(1)＝e－30 ∴f(1)f(2)0，则 m＝0 应符合题设，所以排 除 A、B，当 m＝1 时，f(x)＝x 2－2x＋1＝(x－1)2 它的根是 x＝1 符合要求，排除 C.∴选 D. 解法 2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)当 m0 时，要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧，则 m>0， Δ＝(m－3) 2－4m>0， － m－3 2m >0， ∴00.∴选 D. 3．函数 y＝f(x)与函数 y＝2 x－3 的图象关于直线 y＝x 对称，则函数 y＝f(x)与直线 y＝x 的一个交点位于区间( ) A．(－2，－1) B．(2,3) C．(1,2) D．(－1,0) [答案] B
解析]y=2x-3的反函数为y=log(x+3) 由图象得:交点分别位于区间(-3,-2)与(2,3)内,故选B 4.函数(x)=lgx-的零点所在的大致区间是() A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10 答案]D 解析]∵19)=1g9-1<0,10)=1、9 (9)f(10)<0 fx)在(9,10)上有零点,故选D 5.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且a、B是函数(x)的两个零点,则实数a、b、a、B 的大小关系可能是() A.a<∝<bB B.a<∝<B<b x<a<B<b 答案]C [解析]∵aβ是函数∫x)的两个零点, ∵(a)=fB)=0,又f(x)=(x-a)(x-b)-2 f(a)=f(b)=-2<0 结合二次函数fx)的图象可知,a、b必在a、B之间 6.若函数x)=ax+b的零点是2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是( A.0,2
[解析] y＝2 x－3 的反函数为 y＝log2(x＋3) 由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选 B. 4．函数 f(x)＝lgx－ 9 x 的零点所在的大致区间是( ) A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9) D．(9,10) [答案] D [解析] ∵f(9)＝lg9－10， ∴f(9)·f(10)<0， ∴f(x)在(9,10)上有零点，故选 D. 5．已知 f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且 α、β 是函数 f(x)的两个零点，则实数 a、b、α、β 的大小关系可能是( ) A．a<α<b<β B．a<α<β<b C．α<a<b<β D．α<a<β<b [答案] C [解析] ∵α、β 是函数 f(x)的两个零点， ∴f(α)＝f(β)＝0，又 f(x)＝(x－a)(x－b)－2， ∴f(a)＝f(b)＝－2<0. 结合二次函数 f(x)的图象可知，a、b 必在 α、β 之间． 6．若函数 f(x)＝ax＋b 的零点是 2，则函数 g(x)＝bx2－ax 的零点是( ) A．0,2 B．0， 1 2
答案]C 「解析]由条件2a+b=0,∴b=-2a ∴8x)=-am(2x+的零点为0和-2 7.(2010·福建理,4)函数f(x) jx2+2x-3,x≤0, 零点个数为( 2+Inx, x>0 答案]C 解析]令x2+2x-3=0,∴x=-3或1 x≤0,∴x=-3;令-2+lnx=0,∴lnx=2 x=e2>0,故函数fx)有两个零点 8.函数y=x2与y=(的图象的交点为x0,y0),则x0所在区间为() C.(0,1) D.(1,2) 答案]C 「解析]令fx)=x 则f0)=-10,故选C 9.(湖南省醴陵二校2009~2010高一期末)有下列四个结论: ①函数fx)=lg(x+1)+lg(x-1)的定义域是(1,+∞) ②若幂函数y=fx)的图象经过点(2,4),则该函数为偶函数 ③函数y=5的值域是(0,+∞) ④函数f(x)=x+2在(-1,0)有且只有一个零点 其中正确结论的个数为() A.1 B.2 答案]C x+1>0 「解析]由 ,得x1,故①正确;∵(x)=x过(2.4),∴2=4,∴a=2, fx)=x2为偶函数,故②正确;∵叫≥0,∴y=5≥1,∴函数y=5的值域是[1,+
C．0，－ 1 2 D．2，－ 1 2 [答案] C [解析] 由条件 2a＋b＝0，∴b＝－2a ∴g(x)＝－ax(2x＋1)的零点为 0 和－1 2 . 7．(2010·福建理，4)函数 f(x)＝ x 2＋2x－3，x≤0， －2＋lnx，x>0 的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] C [解析] 令 x 2＋2x－3＝0，∴x＝－3 或 1 ∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2 ∴x＝e 2>0，故函数 f(x)有两个零点． 8．函数 y＝x 3 与 y＝ 1 2 x的图象的交点为(x0，y0)，则 x0 所在区间为( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [答案] C [解析] 令 f(x)＝x 3－ 1 2 x，则 f(0)＝－10，故选 C. 9．(湖南省醴陵二校 2009～2010 高一期末)有下列四个结论： ①函数 f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞) ②若幂函数 y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数 ③函数 y＝5 |x|的值域是(0，＋∞) ④函数 f(x)＝x＋2 x在(－1,0)有且只有一个零点． 其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析] 由 x＋1>0 x－1>0 ，得 x>1，故①正确；∵f(x)＝x α过(2,4)，∴2 α＝4，∴α＝2， ∴f(x)＝x 2 为偶函数，故②正确；∵|x|≥0，∴y＝5 |x|≥1，∴函数 y＝5 |x|的值域是[1，＋
∞),故③错;∵-1)=-1+21=-0,f0)=0+20=1>0,∴x)=x+2在(-1,0内至 少有一个零点,又(x)=x+2为增函数,∴x)=x+2在(1,0内有且只有一个零点,∴④ 正确,故选C 10.若函数fx)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是() B.1和 答案]B 「解析]由于∫x)=x2-ax+b有两个零点2和3, a=5,b=6∴g(x)=6x2-5x-1有两个零点l和、 、填空题 1l.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表 0 6 0 则使ax2+bx+c>0的自变量x的取值范围是 答案](-∞,-2)U(3,+∞) 12(09湖北理)已知关于x的不等式①十10的解集是一,一D0(-2+叫)则a 答案]-2 「解析 0(ax-1)(x+1)<0, x+1 ∵其解集为(-∞,-1)u(-5,+∞) a<0且-1和-是(ax-1)(x+1)=0的两根,解得a=-2 点评]由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知,一是ax-1=0的根,∴a 三、解答题 13.已知函数fx)=22-x2,问方程fx)=0在区间[一1,0内是否有解,为什么? 解析因为f-1)=21-(-1)2=-0
∞)，故③错；∵f(－1)＝－1＋2－1＝－ 1 2 0，∴f(x)＝x＋2 x 在(－1,0)内至 少有一个零点，又 f(x)＝x＋2 x为增函数，∴f(x)＝x＋2 x在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④ 正确，故选 C. 10．若函数f(x)＝x 2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( ) A．－1 和 1 6 B．1 和－1 6 C.1 2 和 1 3 D．－ 1 2 和－1 3 [答案] B [解析] 由于 f(x)＝x 2－ax＋b 有两个零点 2 和 3， ∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x 2－5x－1 有两个零点 1 和－1 6 . 二、填空题 11．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则使 ax2＋bx＋c>0 的自变量 x 的取值范围是______． [答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞) 12．(09·湖北理)已知关于 x 的不等式ax－1 x＋1 <0 的解集是(－∞，－1)∪ － 1 2 ，＋∞ .则 a ＝________. [答案] －2 [解析] ax－1 x＋1 <0⇔(ax－1)(x＋1)<0， ∵其解集为(－∞，－1)∪(－ 1 2 ，＋∞)， ∴a<0 且－1 和－1 2 是(ax－1)(x＋1)＝0 的两根，解得 a＝－2. [点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－1 2 是 ax－1＝0 的根，∴a＝ －2. 三、解答题 13．已知函数 f(x)＝2 x－x 2，问方程 f(x)＝0 在区间[－1，0]内是否有解，为什么？ [解析] 因为 f(－1)＝2－1－(－1)2＝－ 1 2 <0
f0)=20-02=1>0, 而函数fx)=2x-x2的图象是连续曲线,所以Ax)在区间[-10内有零点,即方程fx) 0在区间[-1,0内有解 14.讨论函数fx)=lnx+2x-6的零点个数 [解析]函数的定义域为(0,+∞),任取x、x∈(0,+∞),且x0 fx)在(1,3)内有零点 由f(x)是单调函数知,f(x)有且仅有一个零点 5.定义在R上的偶函数y=Ax)在(-∞,0上递增,函数x)的一个零点为一,求满 足f(log2x)≥0的x的取值集合 解析]∵-是函数的零点 fx)为偶函数 =0 (x在(-∞,O上递增,f(ogx)-5), ∵0≥logx≥ 1 ,∴1≤x≤2 ∵(x)为偶函数 ∴fx)在[0,+∞)上单调减, 又∫logx)≥ 0≤gx≤,∴≤x≤1,∴≤x≤2
f(0)＝2 0－0 2＝1>0， 而函数 f(x)＝2 x－x 2 的图象是连续曲线，所以 f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程 f(x)＝ 0 在区间[－1,0]内有解． 14．讨论函数 f(x)＝lnx＋2x－6 的零点个数． [解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，任取 x1、x2∈(0，＋∞)，且 x1＜x2. f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋2x1－6)－(lnx2＋2x2－6) ＝(lnx1－lnx2)＋2(x1－x2)， ∵0＜x1＜x2，∴lnx1＜lnx2. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又 f(1)＝ln1＋2×1－6＝－4<0. f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0 ∴f(x)在(1,3)内有零点． 由 f(x)是单调函数知，f(x)有且仅有一个零点． 15．定义在 R 上的偶函数 y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数 f(x)的一个零点为－1 2 ，求满 足 f(log1 4 x)≥0 的 x 的取值集合． [解析] ∵－ 1 2 是函数的零点，∴f － 1 2 ＝0， ∵f(x)为偶函数，∴f( 1 2 )＝0， ∵f(x)在(－∞，0]上递增，f(log1 4 x)≥f － 1 2 ， ∴0≥log1 4 x≥－ 1 2 ，∴1≤x≤2， ∵f(x)为偶函数， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调减， 又 f(log1 4 x)≥f( 1 2 )， ∴0≤log1 4 x≤ 1 2 ，∴ 1 2 ≤x≤1，∴ 1 2 ≤x≤2
故x的取值集合为{x≤x≤2} 16.二次函数fx)=ax2+bx+c的零点是-2和3,当x∈(-2.,3)时,f(x)0 f(-6)=36 (x)=(x+2)x-3) 满足条件-21) (1)证明:函数fx)在(-1,+∞)上为增函数 (2)用反证法证明方程fx)=0没有负数根 解析](1)取x、x2∈(-1,+∞),不妨设x0,a-x1>1,且ax>0 aax2-aax=ax(ax2-x1 -1)>0 又∵x1+1>0,x2+1>0, x2-2x-2(x-2)x1+1)-(x-2x2+1) n+1x1+1 (x1+1)(x+1) 3(x2-x1) (x1+1)(x2+1) x2-2x1-2 于是fx2)-x)=ax-ax+—->0,故函数fx在(-1,+∞)上为增函数 (2证法1:设存在x0(m0≠-1),满足几x0)=0,则am=,且0=am1 1,即202与假设x0矛盾,故方程几x)=0没有负数根 证法2:设存在x0<0(x≠-1),满足fx0)=0 (I)若 ∴x0)<-1与xo)=0矛盾
故 x 的取值集合为{x| 1 2 ≤x≤2}． 16．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的零点是－2 和 3，当 x∈(－2,3)时，f(x)0 ∵f(－6)＝36，∴a＝1 ∴f(x)＝(x＋2)(x－3) 满足条件－21)． (1)证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根． [解析] (1)任取 x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设 x10，ax2－x1>1，且 ax1>0. ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0. 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴ x2－2 x2＋1 － x1－2 x1＋1 ＝ (x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1) (x1＋1)(x2＋1) ＝ 3(x2－x1) (x1＋1)(x2＋1) >0 于是 f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋ x2－2 x2＋1 － x1－2 x1＋1 >0，故函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)证法 1：设存在 x0<0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0，则 ax0＝－ x0－2 x0＋1 ，且 0<ax0<1， ∴0<－ x0－2 x0＋1 <1，即1 2 <x0<2.与假设 x0<0 矛盾，故方程 f(x)＝0 没有负数根． 证法 2：设存在 x0<0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0 (Ⅰ)若－1<x0<0，则 x0－2 x0＋1 <－2，ax0<1， ∴f(x0)<－1 与 f(x0)＝0 矛盾．
(Ⅱ)若x0,ax0>0 ∴x0)>0与f(x)=0矛盾,故方程fx)=0没有负数根
(Ⅱ)若 x00，ax0>0， ∴f(x0)>0 与 f(x0)＝0 矛盾，故方程 f(x)＝0 没有负数根．