1.3.12 KHOHZY课后强化作业 一、选择题 1.函数f(x)= j2x+6x∈[,2] x+7x∈(-,·则几x)的最大值、最小值分别为( C.8,6 D.以上都不对 答案]A [解析]分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最 小者 当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10, 当-1≤x≤1时,6≤x+7≤8 ∴fx)min=f(-1)=6 故选A 2.函数y=xx的图象大致是() 答案]A 「解析]」y 故选A 3.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1 +2lx和 L2=2x(其中销售量x单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 答案]C 「解析]设公司在甲地销售x辆(0≤κ≤15,x为正整数),则在乙地销售(5-x)辆
1.3.1.2 一、选择题 1．函数 f(x)＝ 2x＋6 x∈[1，2] x＋7 x∈[－1，1] ，则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 [答案] A [解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最 小者． 当 1≤x≤2 时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1 时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6， f(x)max＝f(2)＝10. 故选 A. 2．函数 y＝x|x|的图象大致是( ) [答案] A [解析] y＝ x 2 x≥0 －x 2 x<0 ，故选 A. 3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1＝－x 2＋21x 和 L2＝2x(其中销售量 x 单位：辆)．若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为( ) A．90 万元 B．60 万元 C．120 万元 D．120.25 万元 [答案] C [解析] 设公司在甲地销售 x 辆(0≤x≤15，x 为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆
公司获得利润 L= ∴当x=9或10时,L最大为120万元 故选C. 点评]列函数关系式时,不要出现y=-x2+21x+2x的错误 4.已知f(x)在R上是增函数,对实数a、b若a+b>0,则有() a)+b)>f(-a)+f(-b) B fa)+)f-a)f-b) D fa)-fb)0∴a>-b且b 又y=(x)是增函数 ∵(a)>f-b)且fb)>f-a)故选A 5.(河南郑州市智林学校2009-0高一期末若1x)=-x2+2ax与g(x)=41在区间 [12]上都是减函数,则a的取值范围是() A.(-1,0)U(0,1) B.(-1,0)U(0,1 D.(0,1 答案]D 解析」∵fx) )2+a2在[1,2上是减函数 又∵g(x)=在[12]上是减函数, 6.函数 x≠2)的值域是() C.b∈R且y≠2} D.{b∈R且y≠3 答案] 3x+23(x-2)+8 「解析]y 由于≠0,∴y≠3,故选D 2
∴公司获得利润 L＝－x 2＋21x＋2(15－x) ＝－x 2＋19x＋30. ∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元． 故选 C. [点评] 列函数关系式时，不要出现 y＝－x 2＋21x＋2x 的错误． 4．已知 f(x)在 R 上是增函数，对实数 a、b 若 a＋b＞0，则有( ) A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b) C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b) [答案] A [解析] ∵a＋b＞0 ∴a＞－b 且 b＞－a，又 y＝f(x)是增函数 ∴f(a)＞f(－b) 且 f(b)＞f(－a)故选 A. 5．(河南郑州市智林学校 2009～2010 高一期末)若 f(x)＝－x 2＋2ax 与 g(x)＝ a x＋1 在区间 [1,2]上都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] [答案] D [解析] ∵f(x)＝－x 2＋2ax＝－(x－a) 2＋a 2 在[1,2]上是减函数，∴a≤1， 又∵g(x)＝ a x＋1 在[1,2]上是减函数， ∴a>0，∴0<a≤1. 6．函数 y＝ 3x＋2 x－2 (x≠2)的值域是( ) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．{y|y∈R 且 y≠2} D．{y|y∈R 且 y≠3} [答案] D [解析] y＝ 3x＋2 x－2 ＝ 3(x－2)＋8 x－2 ＝3＋ 8 x－2 ，由于 8 x－2 ≠0，∴y≠3，故选 D
7.函数y=x)的图象关于原点对称且函数y=fx)在区间[3,7上是增函数,最小值为5, 那么函数y=(x)在区间[一7,-3上() A.为增函数,且最小值为-5 B.为增函数,且最大值为-5 C.为减函数,且最小值为-5 D.为减函数,且最大值为-5 答案]B 「解析]由题意画出示意图,如下图,可以发现函数y=∫x)在区间[-7,-3]上仍是增 函数,且最大值为-5 =f(x) 8.函数y=x-3-{x+1有() A.最大值4,最小值0 B.最大值0,最小值-4 C.最大值4,最小值-4 D.最大值、最小值都不存在 答案]C 解析」y=x-3-x+l 4(x≥3) =2-2x(-1<x<3),因此y∈[-44,故选C 9.已知函数fx)=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,则() A.f(-1)<(1)<f2) B.f(1)<f(2)<f(-1) C.A(2)<f(-1)<f1) D.f(1)<f-1)<f2) 答案]B 「解析]因为二次函数图象的对称轴为直线x=1,所以f-1)=f3) 又函数fx)的图象为开口向上的抛物线,知∫x)在区间[1,+∞)上为增函数,故
7．函数 y＝f(x)的图象关于原点对称且函数 y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为 5， 那么函数 y＝f(x)在区间[－7，－3]上( ) A．为增函数，且最小值为－5 B．为增函数，且最大值为－5 C．为减函数，且最小值为－5 D．为减函数，且最大值为－5 [答案] B [解析] 由题意画出示意图，如下图，可以发现函数 y＝f(x)在区间[－7，－3]上仍是增 函数，且最大值为－5. 8．函数 y＝|x－3|－|x＋1|有( ) A．最大值 4，最小值 0 B．最大值 0，最小值－4 C．最大值 4，最小值－4 D．最大值、最小值都不存在 [答案] C [解析] y＝|x－3|－|x＋1| ＝ －4 (x≥3) 2－2x (－1＜x＜3) 4 (x≤－1) ，因此 y∈[－4,4]，故选 C. 9．已知函数 f(x)＝x 2＋bx＋c 的图象的对称轴为直线 x＝1，则( ) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2) [答案] B [解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线 x＝1，所以 f(－1)＝f(3)． 又函数 f(x)的图象为开口向上的抛物线，知 f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故
f1)<f(2)<(3)=f(-1).故选B 0.(08重庆理)已知函数y=-x++3的最大值为M,最小值为m,则的值为 答案]C 解析]∵y≥0 =142(x+31-x)(-3≤x≤ 当x=-3或1时,m=2,当x=-1时,m=2ND,即m=2,M=2N5,:m= 二、填空题 函数y 10x+11在区间[一1,2]上的最小值是 答案] 解析]函数y=-x2-10x+11=-(x+5)2+3在[-1,2上为减函数,当x=2时,ymn 12.已知函数fx)在R上单调递增,经过A(0,-1)和B(3,1)两点,那么使不等式x+ 1)<1成立的x的集合为 答案]{x-1<x2} 解析]由jx+1)}<1得-1(x+1)<1,即f0)<x+1)3),∵fx)在R上是增函数 ∴使不等式成立的x的集合为团x-1<x<2} 13.如果函数f(x)=-x2+2x的定义域为m,n,值域为-3,1],则m-m的最小值为 答案] 「解析]∵(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当m≤x≤n时,3≤y≤1,∴1∈[m,n 又令-x2+2x=-3得,x=-1或x=3, ∴-1∈m,n或3∈[m,n 要使m-m最小,应取m,n为[-1,1或[1,3],此时m-川=2
f(1)<f(2)<f(3)＝f(－1)．故选 B. 10．(08·重庆理)已知函数 y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为 M，最小值为 m，则m M 的值为 ( ) A.1 4 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 [答案] C [解析] ∵y≥0，∴y＝ 1－x＋ x＋3 ＝ 4＋2 (x＋3)(1－x) (－3≤x≤1)， ∴当 x＝－3 或 1 时，ymin＝2，当 x＝－1 时，ymax＝2 2，即 m＝2，M＝2 2，∴ m M ＝ 2 2 . 二、填空题 11．函数 y＝－x 2－10x＋11 在区间[－1,2]上的最小值是________． [答案] －13 [解析] 函数 y＝－x 2－10x＋11＝－(x＋5)2＋36 在[－1,2]上为减函数，当 x＝2 时，ymin ＝－13. 12．已知函数 f(x)在 R 上单调递增，经过 A(0，－1)和 B(3,1)两点，那么使不等式|f(x＋ 1)|<1 成立的 x 的集合为________． [答案] {x|－1<x<2} [解析] 由|f(x＋1)|<1 得－1<f(x＋1)<1，即 f(0)<f(x＋1)<f(3)，∵f(x)在 R 上是增函数， ∴0<x＋1<3∴－1<x<2 ∴使不等式成立的 x 的集合为{x|－1<x<2}． 13．如果函数 f(x)＝－x 2＋2x 的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为 ________． [答案] 2 [解析] ∵f(x)＝－x 2＋2x＝－(x－1)2＋1，当 m≤x≤n 时，－3≤y≤1，∴1∈[m，n]， 又令－x 2＋2x＝－3 得，x＝－1 或 x＝3， ∴－1∈[m，n]或 3∈[m，n]， 要使|m－n|最小，应取[m，n]为[－1,1]或[1,3]，此时|m－n|＝2
三、解答题 14.求函数x)=-x2+的单调区间.并求函数y=fx)在[一12]上的最大、小值 解析]由于函数解析式含有绝对值符号,因此先去掉绝对值符号化为分段函数,然后 作出其图象,由图象便可以直观地判断出其单调区间.再据图象求出最值 x2+x(x≥0) ①∵(x)=-x2+ (x≥0) 即fx)= -(x+)2+(x400) (1)将利润表示为月产量的函数fx) (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本十利 「解析](1)设月产量为x台,则总成本为x)=20000+100x,从而x)=Rx)-(x), 即x22+300×-00050400 60000-100x (x>400) (2)当0≤x≤400时,x)=-x-300)2+25000, ∴当x=300时,有最大值25000;当x>400时,fx)=60000-100x是减函数,fx)< 60000-100×400=20000∴当x=300时,fx)的最大值为25000 答:每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25000元 16.已知函数(x)=2+2x+3/=2,+∞)
三、解答题 14．求函数 f(x)＝－x 2＋|x|的单调区间．并求函数 y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值． [解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后 作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值． ①∵f(x)＝－x 2＋|x|＝ －x 2＋x(x≥0) －x 2－x(x＜0) 即 f(x)＝ －(x－ 1 2 ) 2＋ 1 4 (x≥0) －(x＋ 1 2 ) 2＋ 1 4 (x＜0) 作出其在[－1,2]上的图象如右图所示 由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－ 1 2 )和[0， 1 2 ]，递减区间为[－ 1 2 ，0]和[ 1 2 ，＋∞)． ②由图象知：当 x＝－ 1 2 或 1 2 时，f(x)max＝ 1 4 ，当 x＝2 时，f(x)min＝－2. 15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)＝ 400x－ 1 2 x 2 (0≤x≤400)， 80000 (x＞400)， 其中 x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利 润) [解析] (1)设月产量为 x 台，则总成本为 u(x)＝20000＋100x，从而 f(x)＝R(x)－u(x)， 即 f(x)＝ － 1 2 x 2＋300x－20000(0≤x≤400)， 60000－100x (x＞400). (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－ 1 2 (x－300)2＋25000， ∴当 x＝300 时，有最大值 25 000；当 x＞400 时，f(x)＝60000－100x 是减函数，f(x)＜ 60000－100×400＝20 000.∴当 x＝300 时，f(x)的最大值为 25 000. 答：每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25 000 元． 16．已知函数 f(x)＝ x 2＋2x＋3 x (x∈[2，＋∞))
(1)证明函数fx)为增函数 (2)求∫x)的最小值 解析]将函数式化为:fx)=x+2+2 ①任取x,x∈[2,+∞),且x1 fx1)-f(x2)=(x1-x2)(1- x12,>41-x1x2>0 fx1)-fx)<0,即:f(x)<f(x2) 故(x)在[2,+∞)上是增函数 ②当x=2时,(有最小值
(1)证明函数 f(x)为增函数． (2)求 f(x)的最小值． [解析] 将函数式化为：f(x)＝x＋ 3 x ＋2 ①任取 x1，x2∈[2，＋∞)，且 x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－ 3 x1x2 )． ∵x1＜x2， ∴x1－x2＜0， 又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－ 3 x1x2 ＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数． ②当 x＝2 时，f(x)有最小值11 2