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高中数学知识汇总集合与常用逻辑用语概念一组对象的全体。x∈AxA。元肃特点:互异性、无序性、确定性。集|x∈A→x∈B分AcB CA 关系真子集|x∈A→x∈B,3x∈B,xEA台AcBA≤B,BC→A≤C ABB∈A台A=B n个元素集合子集数2”。交集4∩B={x|x∈A,且x∈B}c(4UB)=(C)∩(CB) 运算并集AB=(1x∈A或∈Bc∩B)=( CUAU(CU B) 集合与常用逻上(4=(xEU且x41c)=4 概念能够判断真假的语句。原命题:若p,则q 原命题与逆命题,否命题与逆否命题互命题四种「逆命题:若q,则p 逆;原命题与否命题、逆命题与逆否命命题「否命题:若一,则-q 题互否;原命题与逆否命题、否命题与逆否命题:若-q,则一P 逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。傘充要}分条件→q,卩是q的充分条件若命题p对应集合A,命题q对应集合用条件必要条件卩→q,q是P的必要条件」B,则P→q等价于AB,Pq等用充要条件P→q,Pq互为充要条件价于A=B。辑或命题P∨q,Pq有一为真即为具,Pq均为假时才为假。类比集合的开连接词且命题P∧q,Pq均为真时才为真,P,q有一为假即为假。类比集合的交非命题|一p和P为一真一假两个互为对立的命题类比集合的补量词金称量词,含全称量词的命题叫全称命题,其否定为特称命题存在量词「彐,含存在量词的命题叫特称命题,其否定为全称命题。 2.复数虚数单信规定:2=-1;实数可以与它进行四则运算,并且运算时原有的加乘运算律仍成立。计4=1,+=i,4*2=-1,;4+=-(k∈Z)。概念复数形如a+b(ab∈R)的数叫做复数,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。b≠0时叫虚虛数、a=0,b≠0时叫纯虚数复数相等 a+b=c+di(a,b,c,d∈R)分a=c,b=d 共轭复数实部相等,虚部互为相反数。即z=a+b,则z=a-b。复数加减法 (a+bi)±(c+d)=(a土c)+(b±d),(a,b,c,d∈R) 乘法 (a+bi(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,(a, b, c, dER) 运算除法|(a+b)÷(c+dh)=2ac+bbe-d i(c+di≠0,a,b,c,d∈R) 几何复数z=a+bi← →复平面内的点Z(a,b)←二向量Oz 意义向量Oz的模叫做复数的模,=√a+b a+b 大多数复数问题,主要是把复数化成标淮的二=a+b的类型来处理,若是分数形式+小,立的 ,则首先要进行分母实数化(分母乘以自己的共轭复数),在进行四则运算时,可以把i看作成一个字母,按照实数的四则运算律直接进行运算,并随时把ⅱ换成-1 第1页共23页

第 1 页共 23 页高中数学知识汇总 1.集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体. x A x A   , 。元素特点：互异性、无序性、确定性。关系子集 x A x B A B      。  A ； A B B C A C     , n 个元素集合子集数 2 n 。真子集 0 0 x A x B x B x A A B         , , 相等 A B B A A B    = , 运算交集 A B =x x | , x B   A 且  ( ) ( ) ( ) C A B C A C B U U U = ( ) ( ) ( ) C A B C A C B U U U = ( ) C C A A U U = 并集 A B =x x | , x B   A 或  补集 C AU =x x U |  且x A   常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。四种命题原命题：若 p ，则 q 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。逆命题：若 q ，则 p 否命题：若 p ，则 q 逆否命题：若 q ，则 p 充要条件充分条件 p q  ， p 是 q 的充分条件若命题 p 对应集合 A ，命题 q 对应集合 B ，则 p q  等价于 A B  ，p q  等价于 A B = 。必要条件 p q  ， q 是 p 的必要条件充要条件 p q  ， p q, 互为充要条件逻辑连接词或命题 p q  ， p q, 有一为真即为真， p q, 均为假时才为假。类比集合的并且命题 p q  ， p q, 均为真时才为真， p q, 有一为假即为假。类比集合的交非命题 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补量词全称量词  ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。存在量词  ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 2.复数复数概念虚数单位规定： 2 i = −1 ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, ( ) k k k k i i i i i i k + + + = = = − = − Z 。复数形如 a bi a b +  ( , ) R 的数叫做复数， a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部。 b  0 时叫虚数、 a b =  0, 0 时叫纯虚数。复数相等 a bi c di a b c d a c b d + = +   = = ( , , , ) , R 共轭复数实部相等，虚部互为相反数。即 z a bi = + ，则 z a bi = − 。运算加减法 ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i +  + =  +  ，( , , , ) a b c d R 。乘法 ( )( ) ( ) ( ) a bi c di ac bd bc ad i + + = − + + ，( , , , ) a b c d R 除法 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 0, ) a b c d , , , ac bd bc da a bi c di i c di c d c d  + − +  + = + +  + + R 几何意义复数 z a bi = + ⎯⎯⎯→ 一一对应复平面内的点 Z a b ( , ) ⎯⎯⎯→ 一一对应向量 OZ 向量 OZ 的模叫做复数的模， 2 2 z a b = + 大多数复数问题，主要是把复数化成标准的 z a bi = + 的类型来处理，若是分数形式 z= c di a bi + + ，则首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把 i 2换成-1

第 2 页共 23 页 3.平面向量平面向量重要概念向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0 向量长度为 0 ，方向任意的向量。【 0 与任一非零向量共线】平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量夹角起点放在一点的两向量所成的角，范围是 0, 。a b, 的夹角记为   a b, 。投影  = a b,  ， b cos 叫做 b 在 a 方向上的投影。【注意：投影是数量】重要法则定理基本定理 e e 1 2 , 不共线，存在唯一的实数对 ( , )   ，使 a e e = +   1 2 。若 e e 1 2 , 为 x y, 轴上的单位正交向量， ( , )   就是向量 a 的坐标。一般表示坐标表示（向量坐标上下文理解）共线条件 a b, （ b  0 共线  存在唯一实数  ， a b =  1 1 2 2 1 2 2 1 ( , ) ( , ) x y x y x y x y =  =  垂直条件 a b a b ⊥  = 0。 1 1 2 2 x y x y + = 0 。各种运算加法运算法则 a b + 的平行四边形法则、三角形法则。 1 2 1 2 a b x x y y + = + + ( , ) 。算律 a b b a + = + ，( ) ( ) a b c a b c + + = + + 与加法运算有同样的坐标表示。减法运算法则 a b − 的三角形法则。 1 2 1 2 a b x x y y − = − − ( , ) 分解 MN ON OM = − 。 ( , ) MN x x y y = − − N M N M 。数乘运算概念  a 为向量，   0 与 a 方向相同，   0 与 a 方向相反，   a a = 。    a x y = ( , ) 。算律 (a) = ()a，( + )a = a + a ， (a + b) = a + b 与数乘运算有同样的坐标表示。数量积运算概念 a b a b a b =    cos , 1 2 1 2 a b x x y y = + 。主要性质 2 a a a = ， a b a b   。 2 2 a x y = + ， 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 x x y y x y x y +  +  + 算律 a b b a = ，( ) a b c a c b c + = + ， ( ) ( ) ( )    a b a b a b = = 。与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。圆的方程圆心半径标准方程 x 2 + y 2 = r 2 （0，0） r (x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 （a，b） r 一般方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0       − − 2 2 E , D D E 4F 2 1 2 2 + −

.算法、推理与证明顺序结构依次执行程序框图,是一种用程序逻辑「条件结构根据条件是否成立有不同的流向 >|框、流程线及文字说明来表结构示算法的图形。算法循环结构按照一定条件反复执行某些步骤基本输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。合情推理「类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推推理理。演绎推理「根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理推理合法由已知导向结论的证明方法与数学直接证明分析法由结论反推已知的证明方法。证明证明间接证明主要是反证法,反设结论、导出子盾的证明方法。「数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的,因此,数学归纳法的适用范数学围仅限于与自然数有关的命题。分两步:首先证明当n取第一个值(例如n=1)时归纳结论正确;然后假设当n(k∈N,k≥m)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确 5.不等式、线性规划 (1)a>b,b>c→a>C 两个实数的顺序关系 (2)a>b,c>0→ac>bc;a>b,cbsa-b>0 a=b→a-b=0 (3)a>b→a+c>b+c; ab,C>d→a+C>b+d a>b→一b>0,c>d>0→ac>b (6)a>b>0,n∈N,n>1l→a">b;a>√b 是ab>0。解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根),再结合对元二次应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间,在含有字母参数的不等式中还要根据参数不等式「的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向,从而确定不等式的解集 Vab a+b (a,b>0):b≤(0)2(a,b∈R) 基本不等式 (a>0.b>0) a+b 乇一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐标系中表示Ax+By+C=0某一侧所元一次有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公不等式组共部分。第3页共23页

第 3 页共 23 页 4.算法、推理与证明算法逻辑结构顺序结构依次执行  程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。条件结构根据条件是否成立有不同的流向循环结构按照一定条件反复执行某些步骤基本语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。推理与证明推理合情推理归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．数学证明直接证明综合法由已知导向结论的证明方法。分析法由结论反推已知的证明方法。间接证明主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。数学归纳法数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当 n 取第一个值 n0（例如 n0=1）时结论正确；然后假设当 n=k 0 ( , ) k N k n   + 时结论正确，证明当 n=k+1 时结论也正确． 5.不等式、线性规划不等式的性质（1） a b b c a c     ，；两个实数的顺序关系： a b a b   −  0 a b a b =  − = 0 a b a b   −  0 （2） a b c ac bc a b c ac bc         ， 0 0 ；，；（3） a b a c b c   +  + ；（4） a b c d a c b d    +  + ，； 1 1 a b a b    的充要条件是 ab  0 。（5） a b c d ac bd       0 0 ，；（6） * 0 1 n n n n a b n n a b a b        ， N ，；一元二次不等式解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．基本不等式 2 a b ab +  （ a b   0, 0 ） a b ab +  2 （ a b, 0  ）； 2 ( ) 2 a b ab +  （ a b, R ）； a b ab + 2 ≤ ab ≤ 2 a + b ≤ 2 2 2 a + b （ a b, 0  ）； 2 2 a b ab +  2 。二元一次不等式组二元一次不等式 Ax By C + +  0 的解集是平面直角坐标系中表示 Ax By C + + = 0 某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分

第 4 页共 23 页 6.计数原理与二项式定理排列组合二项式定理基本原理分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N m m m = + + + 1 2 n 种不同的方法．分步乘法计数原理完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法 …… 做第 n 步有 mn 种不同的方法 .那么完成这件事共有 N m m  mn =   1 2 种不同的方法. 排列定义从 n 个不同元素中取出 m m n ( )  个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从 n 个不同元素中取出 m m n ( )  个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m m n ( )  个元素的排列数，用符号 m A n 表示。排列数公式 ! ( 1)( 2) ( 1) ( ) ( )! m n n A n n n n m n m m n n m = − − − + =   − ， Ν，，规定 0! 1= ．组合定义从 n 个不同元素中，任意取出 m m n ( )  个元素并成一组叫做从 n 个不同元素中取出 m m n ( )  个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m m n ( )  个元素的组合数，用符号 C m n 表示。组合数公式 ( 1) ( 1) C ! m n n n n m m − − + = ，C m m n n m m A A = ．性质 n m n m Cn C − = ( m,n N,且m  n )； 1 1 − + = + m n m n m Cn C C ( m,n N,且m  n )．二项式定理定理 0 1 1 ( )n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b − − + = + + + + + （ r Cn 叫做二项式系数）通项公式 1 r n r r T C a b r n − + = （其中 0 k n k n    ，   N N ，）系数和公式 1 1 2 1 + + + + + + + = + r n r n r r r r r Cr C C  C C ； n n n r Cn Cn Cn Cn C 2 0 1 2 + + ++ ++ = ； 1 3 5 0 2 4 1 1 2 3 1 2 ; 2 3 2 . n n n C C C C C C C C C nC n n n n n n n n n n n − − + + + = + + + + + + + = 7.函数﹑基本初等函数 I 的图像与性质基本初等函数 Ⅰ 指数函数 x y a = 0 1  a ( , ) − + 单调递减， x  0 时 y  1， x  0 时 0 1   y 函数图象过定点 (0,1) a 1 ( , ) − + 单调递增， x  0 时 0 1   y ， x  0 时 y  1 对数函数 loga y x = 0 1  a 在 (0, ) + 单调递减， 0 1  x 时 y  0 ， x 1 时 y  0 函数图象过定点 (1,0) a 1 在 (0, ) + 单调递增， 0 1  x 时 y  0 ， x 1 时 y  0 幂函数 y x  =   0 在在 (0, ) + 单调递增，图象过坐标原点函数图象过定点 (1,1)   0 在在 (0, ) + 单调递减

第 6 页共 23 页 9. 导数及其应用导数及其应用概念与几何意义概念函数 y f x = ( ) 在点 0 x x = 处的导数 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x  → x +  − =  。几何意义 0 f x'( ) 为曲线 y f x = ( ) 在点 0 0 ( , ( ) x f x 处的切线斜率，切线方程是 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) '( )( )。运算基本公式 C = 0 （ C 为常数）； 1 ( ) ( ) n n x nx n −   = N ； (sin ) cos (cos ) sin x x x x   = = − ，； ( ) ( ) ln x x x x e e a a a   = = ，（ a  0 ，且 a 1 ）； 1 1 (ln ) (log ) log a a x x e x x   = = ，（ a  0 ，且 a 1 ）． 2 1 1 ' x x     = −   ； 1 (ln ) ' x x = 。运算法则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x  =     ； [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x    = + ， [ ( )] ( ) Cf x Cf x   = ； 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x g x g x      − =      ， 2 1 ( ) ( ) ( ) g x g x g x     = −     ．复合函数求导法则 y f g x f g x g x = =  ( ( )) ' '( ( )) '( )  。研究函数性质单调性 f x'( ) 0  的各个区间为单调递增区间； f x'( ) 0  的区间为单调递减区间。极值 0 f x'( ) 0 = 且 f x'( ) 在 0 x 附近左负（正）右正（负）的 0 x 为极小（大）值点。最值 a b,  上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。定积分概念 f x( ) 在区间 a b,  上是连续的，用分点 0 1 1 i i n a x x x x x b =       = − 将区间 a b,  等分成 n 个小区间，在每个小区间 x x i i −1 ,  上任取一点 i  （ i n =1, 2, , ）， ( ) ( ) 1 lim n b i a n i b a f x dx f n  → = −  =  。基本定理如果 f x( ) 是 a b,  上的连续函数，并且有 F x f x ( ) = ( ) ，则 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  ．性质 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx =   （ k 为常数）； ( ) ( ) ( ) ( ) b b b x a a a   f x g x dx f x d g x dx  =       ； ( ) ( ) ( ) b c d a a c f x dx f x dx f x dx = +    ．简单应用区间 a b,  上的连续的曲线 y f x = ( ) ，和直线 x a x b a b y = =  = . ( ), 0 所围成的曲边梯形的面积 ( ) b a S f x dx = 

第 8 页共 23 页 11. 三角恒等变换与解三角形变换公式正弦和差角公式倍角公式 2 2 tan sin 2 1 tan    = + 2 2 1 tan cos 2 1 tan    − = + 2 1 cos 2 sin 2   − = 2 1 cos 2 cos 2   + = sin( ) sin cos cos sin        =  sin2 2sin cos    = 余弦 cos( ) cos cos sin sin        = 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin      = − = − = − 正切 tan tan tan( ) 1 tan tan         = 2 2 tan tan 2 1 tan    = − 三角恒等变换与解三角形正弦定理定理 sin sin sin a b c A B C = = 。射影定理： a b C c B = + cos cos b a C c A = + cos cos c a B b A = + cos cos 变形 a R A b R B c R C = = = 2 sin , 2 sin , 2 sin （ R 外接圆半径）。类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。余弦定理定理 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − 2 cos , 2 cos , 2 cos 。变形 2 2 2 2 2 ( ) cos 1 2 2 b c a b c a A bc bc + − + − = = − 等。类型两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。面积公式基本公式 1 1 1 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 a b c S a h b h c h ab C bc A ac B =  =  =  = = = 。导出公式 4 abc S R = （ R 外接圆半径）； 1 ( ) 2 S a b c r = + + （ r 内切圆半径）。实际应用基本思想把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。常用术语仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。俯角视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西 30°）。方位角某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角