2.5等比数列的前n项和 讲授新课 课本“国王对国际象棋的发明者的奖励” 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公 比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的 和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式 1、等比数列的前n项和公式: 当q≠1时,Sn=(1-q ①或Sn=-an9 1-q q 当q=1时,Sn=ma1 当已知a1,q,n时用公式①;当已知a1,q,an时,用公式② 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列a13a2+a3,…an…它的前n项和是 Sn=a1+a2+a3+…a a1+a,+a2+:a 由 an=a,q 得 S=a+ag+a,9+.a,q-+a,q laS,=,9+a,92+a,q'+a,q"-1+a,q (l-qS,=a-a, q ∴当q≠1时,Sn= Inq 1一q 或Sn=1-q 当q=1时,Sn=na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义, q +a2+…+anSn-a1 根据等比的性质,有 a1+a2+…+anS.-an q→(1-q)Sn=a1-anq(结论同上) 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式
起 2.5 等比数列的前 n 项和 讲授新课 课本“国王对国际象棋的发明者的奖励” 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是 1，公 比是 2，求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前 64 项的 和。下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 1、 等比数列的前 n 项和公式： 当 q 1 时， q a q S n n − − = 1 (1 ) 1 ① 或 q a a q S n n − − = 1 1 ② 当 q=1 时， Sn = na1 当已知 1 a , q, n 时用公式①；当已知 1 a , q, n a 时，用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 a1 ,a2 + a3 , an 它的前 n 项和是 Sn = a1 + a2 + a3 +an 由 = = + + + −1 1 1 2 3 n n n n a a q S a a a a 得 = + + + + = + + + + − − − n n n n n n qS a q a q a q a q a q S a a q a q a q a q 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 n (1− q)Sn = a1 − a1q ∴当 q 1 时， q a q S n n − − = 1 (1 ) 1 ① 或 q a a q S n n − − = 1 1 ② 当 q=1 时， Sn = na1 公式的推导方法二： 有等比数列的定义， q a a a a a a n n = = = = 2 −1 3 1 2 根据等比的性质，有 q S a S a a a a a a a n n n n n = − − = + + + + + + − 1 1 2 1 2 3 即 q S a S a n n n = − − 1 (1− q)Sn = a1 − an q （结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三 Sn=a1+a2+a3+…an=a1+q(a1+a2+a3+…an-1) =a,+qsn=a,+qsn-an,) (1-q)S a1-anq(结论同上) 有了等比数列的前n项和公式,就可以解决刚才的问题。 由a1=1,q=2,n=64可得 5=4(-q)1×(1-2)=24-1 1-2 24-1这个数很大,超过了184×109。国王不能实现他的诺言 等比数列的前n项和公式: 当q≠1时,S=(=q)①或Sn=4-a旦②当G1时,Sn=m1 q 思考:什么时候用公式(1)、什么时候用公式(2)? (当已知a,q,n时用公式①:当已知a,q,a时,用公式②.) 例1:求下列等比数列前8项的和 解:由a=1,4422=8得9<0 (2)a1=27,a。= 111 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第 一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)? 解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第一年起,每年的销售量组 成一个等比数列{an},其中 a=5009=1+10%=1.1,Sn=3000于是50001-1.1") =30000 1-1.1 整理得11”=1.6两边取对数,得nlg1.1=g16用计算器算得n≈5(年) 答:约5年内可以使总销售量达到30000台 例3.求和Sn=x+2x2+3x3+…+mx"(x≠0) 解:由式子特点,两边同乘x,然后相减即得一等比数列的求和问题,但应注意公比的
公式的推导方法三： Sn = a1 + a2 + a3 +an ＝ ( ) a1 + q a1 + a2 + a3 +an−1 ＝ a1 + qSn−1＝ ( ) a1 + q Sn − an (1− q)Sn = a1 − an q （结论同上） 有了等比数列的前 n 项和公式，就可以解决刚才的问题。 由 1 a q n = = = 1, 2, 64 可得 1 (1 ) 1 n n a q S q − = − = 64 1 (1 2 ) 1 2 − − = 64 2 1− 。 64 2 1− 这个数很大，超过了 19 1.84 10 。国王不能实现他的诺言。 等比数列的前 n 项和公式： 当 q 1 时， q a q S n n − − = 1 (1 ) 1 ① 或 q a a q S n n − − = 1 1 ② 当 q=1 时， Sn = na1 思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？ （当已知 a1, q, n 时用公式①；当已知 a1, q, an时，用公式②.） 例 1：求下列等比数列前 8 项的和． （1） 2 1 ， 4 1 ， 8 1 ，… （2） , 0 243 1 27, a1 = a9 = q 解：由 a1= 2 1 ， , 8, 2 1 2 1 4 1 q = = n = 得 . 256 255 2 1 1 2 1 1 2 1 8 8 = − − S = 例 2：某商场第一年销售计算机 5000 台，如果平均每年的售价比上一年增加 10％，那么从第 一年起，约几年内可使总销售量达到 30000 台（保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组 成一个等比数列{an},其中 a1=5000, =1+10% =1.1, = 30000, q Sn 于是得到 30000. 1 1.1 5000(1 1.1 ) = − − n 整理得 1.1 =1.6. n 两边取对数,得 n lg 1.1= g1.6 用计算器算得 n 5 (年). 答:约 5 年内可以使总销售量达到 30000 台. 例 3．求和 2 3 2 3 ( 0) n n S x x x nx x = + + + + ． 解：由式子特点，两边同乘 x ，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意公比的
讨论 2+3+…+n n(n+1) 2 (2)当x≠1时,S=x+2x2+3x3+…+nx (1-x)Sn=x+x2+x3+…+x-n+1_x(1-x") s=(-x”)mx (1-x) (x=1) 2 -(x≠0且x≠1) Ⅲ.课堂练习 课本P58的练习1、2、3 Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式: 当q=1时,Sn=ma1;当q≠1时,S a1-anq 或S a1(1-q") q q (七)课堂小结 特殊数列求和 一般情况下等比数列求和 公式 T30=1+2+…+23 Sn=a+aq+a1q2+…+aq 应用 方程(组)思想: 知三求二 错位相减法 V.课后作业 课本P61习题A组的第1、2题 六.教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂 上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最 后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的
讨论． ⑴当 x =1 时， ( 1) 1 2 3 2 n n n S n + = + + + + = ． ⑵ 当 x 1 时， 2 3 2 3 n n S x x x nx = + + + + ， 2 3 4 1 2 3 n n xS x x x nx + = + + + + 2 3 1 1 (1 ) (1 ) 1 n n n n n x x x S x x x x nx nx x + + − − = + + + + − = − − ． 1 2 (1 ) (1 ) 1 n n n x x nx S x x + − = − − − ． 1 2 ( 1) ( 1) 2 (1 ) ( 0 1) (1 ) 1 n n n n n x S x x nx x x x x + + = = − − − − 且 ． Ⅲ.课堂练习 课本 P58 的练习 1、2、3 Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式： 当 q=1 时， Sn = na1 ；当 q 1 时， q a a q S n n − − = 1 1 或 q a q S n n − − = 1 (1 ) 1 . (七) 课堂小结 Ⅴ.课后作业 课本 P61 习题 A 组的第 1、2 题 六． 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂 上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最 后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。 特殊数列求和 29 30 T =1+ 2 ++ 2 一般情况下等比数列求和 1 1 2 1 1 1 − = + + + + n Sn a a q a q a q 公式 应用 错位相减法 方程（组）思想： 知三求二
2.5.2等比数列的前n项和(2)教案 二.讲授新课 1、S为等比数列的前n项和,Sn≠0,则S2S24-S2S34-S2(k∈N)是等比数列 解:设等比数列{n}首项是a1,公比为q ①当c=-1且k为偶数时,S,S2-S,S38-S2不是等比数列 ∵此时,S=S2-S4=S38-S2x=0. (例如:数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=S4-S2=S6-S4S=0) ②当q≠-1或k为奇数时,SA=a1+a2+a3+…ak≠0 x-S=q^(a1+a2+a3+…ak)≠0 )≠0 →S4,S2-Sk,S3-Sx(k∈N+)成等比数列 评述:①注意公比q的各种取值情况的讨论, ②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件 2、设a为常数,求数列a,2a2,3a3 的前n项和 (1)a=0时,Sn=0 (2)a≠0时,若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=n(n+1) 若a≠1,Sn-aSn=(1+a+…+a"1-ma"),Sn= [-(n+1a"+ma .例题讲解 例1已知等比数列{an}中,S4=-20,S8=-1640,求S1 设问1:能否根据条件求“和q?如何求?一定要求q吗?(基本量的确定) 设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列?(探究等比数列内在的联系) 设问:若题变:数列口n是等比数列,且S=aSn=b(mb≠0)求Sm b-a San=S,,+(S,m-S)q=b+(b-a)
2.5.2 等比数列的前 n 项和(2)教案 二.讲授新课 1、Sn 为等比数列的前 n 项和, Sn 0 ，则 , , ( ), * Sk S2k − Sk S3k − S2k k N 是等比数列． 解：设等比数列 an 首项是 1 a ，公比为 q, ①当 q=－1 且 k 为偶数时， Sk S2k Sk S3k S2k , − , − 不是等比数列. ∵此时， Sk = S2k − Sk = S3k − S2k =0. (例如：数列 1,－1,1,－1,…是公比为－1 的等比数列， S2 = S4 − S2 = S6 − S4 S2=0 ) ②当 q≠－1 或 k 为奇数时， Sk ＝ a1 + a2 + a3 +ak 0 S2k − Sk ＝ ( ) 1 2 3 k k q a + a + a +a 0 S3k − S2k ＝ ( ) 1 2 3 2 k k q a + a + a +a 0 Sk S2k Sk S3k S2k , − , − （ + k N ）成等比数列． 评述：①注意公比 q 的各种取值情况的讨论， ②不要忽视等比数列的各项都不为 0 的前提条件． 2、设 a 为常数，求数列 a， 2 2a ， 3 3a ，…， n na ，…的前 n 项和； （1） a = 0 时， Sn = 0 ； （2） a 0 时，若 a =1 ，则 ( 1) 2 1 Sn = 1+ 2 + 3 ++ n = n n + ； 若 a 1， (1 ) n 1 n Sn − aSn = + a + + a − na − ， [1 ( 1) ] (1 ) 1 2 + − + + − = n n n n a na a a S . 三．例题讲解 例 1 已知等比数列 { }n a 中, S4 = −20, S8 = −1640 ,求 12 S . 设问 1:能否根据条件求 1 a 和 q ？ 如何求？ 一定要求 q 吗？(基本量的确定) 设问 2:等比数列中每隔 4 项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系) 设问 3:若题变: 数列 an 是等比数列,且 2 , ,( 0) n n S a S b ab = = 求 3n S 2 2 2 3 2 2 , ( ) ( ) n n n n n n n n n S S b a b a a ab b q S S S S q b b a S a a a − − − − + = = = + − = + − =
引导学生归纳:若{)是等比数列,公比为,则每隔n项的和组成一个首项为S,公比为q的 等比数列.(学生类比等差数列相关结论) 解题首先考虑的是通法,先确定基本量a,q然后再求和,其次分析题目的特点、内在结构,探 索规律,并从特殊向一般推广,注意培养学生思维的严谨性. 例2.等差数列{a}中,a1=1,d2,依次抽取这个数列的第1,3,32,…,3-项组成数列{b}, 求数列{bn}的通项和前n项和Sn 解:由题意an=2m1, 故b S=b+b2+…+b =2(1+3+32+…+3m)-n 例3求下列数列的前n项和 (1)-14,-7,10,…,(-1)(3n-2) 1+2+31+2+3+4'1+2+3+…+n 解:(1)n为偶数时,令n=2k(k∈N), Sn=S2x=-1+4-7+10+…+(-1)”(3n-2)=3k=(相邻两项和为3); n为奇数时,令n=2k+1(k∈N), S=S,=S2K 3k-(6k+1) 2 (m为奇数) 所以S (n为偶数) 点拨:本题运用了并项求和 2( Sn=2[(1-)+(-5)+(-)+…+( =2(1 nn+1 n 例4.某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定,购买时先支 付货款的3,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息己知
引导学生归纳:若 an 是等比数列,公比为 q,则每隔 n 项的和组成一个首项为 n S ,公比为 n q 的 等比数列.(学生类比等差数列相关结论) 解题首先考虑的是通法,先确定基本量 1 a q, 然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探 索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性. 例 2.等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第 1,3,32 ,…，3 n-1 项组成数列{bn}, 求数列{bn}的通项和前 n 项和 Sn. 解:由题意 an =2n-1, 故 2 3 1, 1 3 = 1 = − − − n bn a n Sn=b1+b2+…+bn =2(1+3+32 +…+3n-1 )-n =3n -n-1. 例 3 求下列数列的前 n 项和． ⑴ 1,4, 7,10, ,( 1) (3 2), n − − − −n ； ⑵ 1 1 1 1 , , , , , 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 + + + + + + + + + + n ． 解：⑴ n 为偶数时，令 n k k 2 ( ) = N ， 2 3 1 4 7 10 ( 1) (3 2) 3 2 n n k n S S n k = = − + − + + + − − = = （相邻两项和为３）； n 为奇数时，令 n k k 2 1( ) = + N ， 2 1 2 1 3 1 2 3 (6 1) 2 n k k n S S S k a k k + + − + = = + = − + = ． 所以 3 1( ) 2 3 ( ) 2 n n n S n n − + = 为奇数 为偶数 ． 点拨：本题运用了并项求和． ⑵ 2 1 1 2( ) ( 1) 1 an n n n n = = − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2[(1 ) ( ) ( ) ( )] 2(1 ) 2 2 3 3 4 1 1 1 n n S n n n n = − + − + − + + − = − = + + + ． 例 4．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为 6000 电的脑.商规店定，购买时先支 付货款的 3 1 ，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知
欠款的月利率为0.5% 到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元? 假设货主每月还商店a元,写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后,货主对商店欠款数的表 达式 每月的还款额为多少元(精确到0.01)? 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样 月底还款后的欠款数y与第i-1个月底还款后的欠款数y-1的关系是第 y=y-1(1+005%0)-a,(学生分析) 年内还清转化为数学语言是:156=0 解(1)因为购买电脑时,货主欠商店二的货款,即6000×=4000(元),又按月利率0.5%到 第一个月底的欠款数应为4000(10.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元 2)设第i个月底还款后的欠款数为y,则有 yl=4000(1+0.5%)-a y2=yl(1+0.5%)-a 4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a 4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a y=y1(1+0.5%)-a=40004+0.5%)2-a(1+0.5%)2 a(1+0.5%) 整理得 (1+0.5%) y=4000(1+0.5%) (1=1,2,36) (3)因为y36=0,所以 (1+0.5%)0-1 4000(1+0.5%) 0.5%
欠款的月利率为 0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ 假设货主每月还商店 a 元，写出在第 i(i=1,2, 36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表 达式. 每月的还款额为多少元（精确到 0.01）？ 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样， 月 底 还 款 后 的 欠 款 数 i y 与 第 i-1 个 月 底 还 款 后 的 欠 款 数 i 1 y − 的 关 系 是 第 1 (1 0.05%) i i y y a = + − − ,(学生分析) 三年内还清转化为数学语言是: 36 y = 0 解(1)因为购买电脑时,货主欠商店 3 2 的货款,即 4000 3 2 6000 = (元),又按月利率 0.5%到 第一个月底的欠款数应为 4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为 4020 元. (2)设第 i个月底还款后的欠款数为 y i ,则有 y 1 =4000(1+0.5%)- a y 2 =y 1 ( 1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) 2 - a (1+0 .5%)- a y 3 =y 2 (1+0.5%)- a y 3 =y 2 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) 3 - a (1+0.5%) 2 - a (1+0.5%)- a y i =y i−1 (1+0.5%)- a =4000(1+0.5%) i - a (1+0.5%) i−1 - a (1+0.5%) i−2 - - a , 整理得 y i =4000(1+0.5%) i - 0.5% (1+ 0.5%) −1 i a .( i =1,2, , 36) (3)因为 y 36 =0,所以 4000(1+0.5%) 36 - 0.5% (1 0.5%) 1 36 + − a =0
即每月还款数 40001+0.5%360.5% 121.69 (1+0.5%)-1 (元) 所以每月的款额为121.69元 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键 词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并 使原问题得到尽可能圆满的解答 四反思总结,当堂检测 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测: 1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额4将是多少? 2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的3,其余 款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率 是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法 关注学生解题的规范性,准确度及速度. 五.课后小结(引导学生归纳,教师提炼 (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题 (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等 六.教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师 生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进 行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 板书:略
即每月还款数 a = 121.69 (1 0.5%) 1 4000(1 0.5%) 0.5% 36 36 + − + (元) 所以每月的款额为 121.69 元. 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键 词:”等额还款”,”月利率”,”第 i 个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并 使原问题得到尽可能圆满的解答. 四 反思总结，当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测： 1.如果将例 4 的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额 a 将是多少? 2.一套住房的建筑面积为 100 平方米,房价为 9000 元/平方米.买房者若先付房价的 3 1 ,其余 款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率 是 0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法； 关注学生解题的规范性,准确度及速度. 五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼) (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等. 六．教学反思 ： 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师 生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进 行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。 板书：略