25等比数列的前n项和(一)
2.5 等比数列的前n项和(一)
复习回顾 l、詟比数列的定义 n+1 an=q(q≠0) 2、比数列的通项公式:an=aA n 3、等比数列的性质 (1)若a,G,b成等比数列Gab (2)在等比数列中若m+n=pq,则 aman a paq
复习回顾 (2) 在等比数列中若 m+n = p+q , 则 1、等比数列的定义: a n . an+1 =q (q=0) 2、等比数列的通项公式: a = a q n 1 n-1 3、等比数列的性质: (1) 若 a , G , b成等比数列 G =a b 2 a a = a a m n p q
王奖励国际象棋发明者问题 《 国王,我希望在第1个格子里放1颗麦粒。第2个格 子里放2颗.第3个格子里放4颗,如此下去,每个 格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,第64个格子 放2颗麦粒。请给我足够的麦粒來实现 23456 2 没问题 161718192 22222222 2425262728293031 22222222 3233343536373 221222 241424344454647 2 222 484950515253545 2 222 5657585960616263 22222222
国王奖励国际象棋发明者问题 国王 ,我希望在第1个格子里放1颗麦粒,第2个格 子里放2颗,第3个格子里放4颗 ,如此下去,每个 格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,第64个格子 放2 颗麦粒,请给我足够的麦粒来实现 63 1 2 3 4 5 6 7 1 2 2 2 2 2 2 2 16 17 18 19 20 21 22 23 2 2 2 2 2 2 2 2 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 24 25 26 27 28 29 30 31 2 2 2 2 2 2 2 2.. 32 33 34 35 36 37 38 39… 2 2 2 2 2 2 2 2.. 40 41 42 43 44 45 46 47 … 2 2 2 2 2 2 2 2.. 48 49 50 51 52 53 54 55… 56 57 58 59 60 61 62 63 2 2 2 2 2 2 2 2.. 没问题 !!!
6=9
1+2+4+8+……+263=?
264-1 超过7000亿吨
2 64-1 超过7000亿吨
新课讲解: 即S=1+2+22+23+…+26 2S=2+22+23+…+263+26,② ②-①得2S-S=241.即S=24-1. 由此对于一般的等比数列,其前n项和 Sn=a1+a4q+a1q+…+a1q n-1 如何化简?
二、新课讲解: 2 3 6 3 即 S = 1+ 2 + 2 + 2 ++ 2 , ① 2 3 6 3 6 4 2S = 2 + 2 + 2 ++ 2 + 2 , ② ②-①得 2 2 1, 即 . 64 S − S = − 2 1 64 S = − 由此对于一般的等比数列,其前 n 项和 1 1 2 1 1 1 − = + + + + n Sn a a q a q a q ,如何化简?
(三)方法回顾等差数列求和公式的推导 数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn Sn=a1+a2+…+an1+a,① Sn=an+an1+…+a2+a1② 根据⑩速解腾样?个式子②? 2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+…+(an1+a2)+(an+a1 2Sn=n(a1+an)→|S n(a, +a 倒序相加的目的:出现相等的项,从而化简
根据①式,如何构造另一个式子②? ② 把这两个式子怎么样? n n n S = a + a + + a + a 1 2 −1 等差数列求和公式的推导 1 2 1 S a a a a n = n + n− ++ + ① ① + ② 得: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 S a a a a a a a a n = + n + + n− ++ n− + + n + 2 ( ) n 1 n S = n a + a 2 ( ) 1 n n n a a S + = 倒序相加 n n 数 列{a }为等差数列,其前n项和为S (三)方法回顾 的目的:出现相等的项,从而化简
(四)类比探究等比数列的前n项和公式 已知数列{an}为等比数列,请推导其前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an1+a 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 解析1:找个具体的等比数列来检验 S.=1+2+4+8+16 16+8+4+2+1 2Sn=(1+16)+(2+8)+(4+4)+(8+2)+(16+1) 17+10+8+10+17 每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
等比数列的前n项和公式 解析1:找个具体的等比数列来检验 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an = 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 = 1+ 2 + 4 + 8 +16 n S = 16 + 8 + 4 + 2 +1 n S 2 = (1+1 6) + (2 + 8) + (4 + 4) + (8 + 2) + (1 6 +1) n S = 17 +10 + 8 +10 +17 ? (四)类比探究 每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
(四)类比探究等比数列的前n项和公式 已知数列{an}为等比数列,请推导其前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an1+a 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 解析2:一般地,对于等比数列,因为: 1+an)≠ (a +a.1)≠ 所以 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an1+a2)+(an+a1) ≠n(a1+an) 无法化简
(a1 + an ) (a2 + an−1 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 S a a a a a a a a n = + n + + n− ++ n− + + n + 所以 解析2:一般地,对于等比数列,因为: 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an = 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 ? (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 ( ) 1 n n a + a 无法化简
(四)类比探究等比数列的前n项和公式 已知数列{an}为等比数列,请推导其前n项和公式 SS计十2+的2:+a1=pa1g=① 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 反思:对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法。 而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。 问题2:求和的根本目的是什么? 答:求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首 项和公比来表示
1 1 2 1 2 1 1 1 − − = + + + + + n n n S a a q a q a q a q 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an = 已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 ? 反思:对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法。 而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。 问题2:求和的根本目的是什么? 答:求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首 项和公比来表示。 ① (四)类比探究 等比数列的前n项和公式