§2.5等比数列的前n项和 授课类型:新授课 教学目标 1、知识与技能:掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路:会用等比数列 的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 2、过程与方法:经历等比数列前n项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方 法,并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题 3、情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极 进取,激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 教学重点 等比数列的前n项和公式推导 教学难点 灵活应用公式解决有关问题 教学过程 I.复习回顾与课题导入 1、复习回顾等比数列的有关知识 2、[创设情境并提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等 比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒 数总合就是求这个等比数列的前64项的和,推广到一般即求等比数列的前n项 和 下面我们先来推导等比数列的前n项和公式 1、等比数列的前n项和公式: 由5=a+a-+,+ an=a1q 得Sn=a1+aq+a4q2+…+aq
§2.5 等比数列的前 n 项和 授课类型：新授课 教学目标: 1、知识与技能：掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列 的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 2、过程与方法：经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方 法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 3、情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极 进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点 灵活应用公式解决有关问题 教学过程 Ⅰ.复习回顾与课题导入 1、复习回顾等比数列的有关知识 2、[创设情境并提出问题]课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等 比数列，它的首项是 1，公比是 2，求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒 数总合就是求这个等比数列的前 64 项的和，推广到一般即求等比数列的前 n 项 和。 下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 1、等比数列的前 n 项和公式： 由 = = + + + −1 1 1 2 3 n n n n a a q S a a a a 得 1 1 2 1 1 1 − = + + + + n Sn a a q a q a q
将①式两边同时乘以q,则得到新的等式 qSn=a,9+a, 9*+a,q+.+a,q" ①-②得:Sn-qSn=a1-a1q 即:(1-q)Sn=a1(1-q") ∴当q≠1时, (1-q") 或Sn q 当q=1时,Sn=m1 等比数列的前n项和公式为: 或S (q≠1) s q 以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法” 除此之外,等比数列的前n项和公式的推导方法还有很多,同学们可以在课 下相互讨论与研究。 附:公式的推导方法二: 有等比数列的定义,但=2=…=n 根据等比的性质,有马+a+“+a=5-a=q a1+a2+…+an1Sn-an 即 S S =q→(1-qSn=a1-anq(结论同上) 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式 公式的推导方法三: a,+q(a, a,+qS=a,+qS, -an (1-q)S (结论同上)
将式两边同时乘以 q，则得到新的等式 n qSn a q a q a q a1q 3 1 2 = 1 + 1 + ++ —得： n Sn − qSn = a1 − a1q 即： (1 ) (1 ) 1 n − q Sn = a − q ∴当 q 1 时， q a q S n n − − = 1 (1 ) 1 或 q a a q S n n − − = 1 1 当 q = 1 时， Sn = na1 等比数列的前 n 项和公式为： = − − = ( 1) ( 1) 1 (1 ) 1 1 na q q q a q S n n 或 = − − = ( 1) ( 1) 1 1 1 na q q q a a q S n n 以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”。 除此之外，等比数列的前 n 项和公式的推导方法还有很多，同学们可以在课 下相互讨论与研究。 附：公式的推导方法二： 有等比数列的定义， q a a a a a a n n = = = = 2 −1 3 1 2 根据等比的性质，有 q S a S a a a a a a a n n n n n = − − = + + + + + + − 1 1 2 1 2 3 即 q S a S a n n n = − − 1 (1− q)Sn = a1 − an q （结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： Sn = a1 + a2 + a3 +an ＝ ( ) a1 + q a1 + a2 + a3 +an−1 ＝a1 + qSn−1＝ ( ) a1 + q Sn − an (1− q)Sn = a1 − an q （结论同上）
2、课堂小练 ①等比数列1,2,2,23, 的所有项的和是(D) a C.2+ 24-1这个数很大,超过了1.84×109。国王不能实现他的诺言。 ②数列a,a,a,…,a的前n项和为(D) B.0C.nD.以上都不对 ③等比数列 1,…前8项和为(25) 4’8 Ⅲ.[例题讲解] 例1远望巍巍塔七层,红光点点倍加增, 其灯三百八十一,请问尖头几盏灯? 这首古诗的答案是什么 例2已知等比数列{an}中,a1=2,an=32,Sn=62,求该数列的公比和项数 通过上面例题的求解,可以看出,在公式中涉及到了五个量,我们只要知道 其中的三个量,利用等比数列的通项公式,及等比数列的前n项和公式就可以求 出另外两个量。即“知三求二” Ⅳ.课堂练习 1、已知a1=3,q=2,n=6,求此等比数列{an}的前n项和。 2、已知a1=-27,q=-,an=1,求此等比数列{n}的前n项和。 3、已知a1=-27,a3=48,求此等比数列{an}的前5项和
2、课堂小练 ①等比数列 1，2 1，2 2，2 3，…，2 63 的所有项的和是（ D ） A. 264 B.263－1 C.264＋1 D.264－1 64 2 1− 这个数很大，超过了 19 1.84 10 。国王不能实现他的诺言。 ②数列 a，a 2，a 3，…，a n 的前 n 项和为（ D ） A. a a a n − − 1 (1 ) B. 0 C. n D.以上都不对 ③等比数列 2 1 ， 4 1 ， 8 1 ，… 前 8 项和为（ 256 255 ） Ⅲ.[例题讲解] 例 1 远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗的答案是什么？ 例 2 已知等比数列 an 中， a1 = 2，an = 32，Sn = 62 ，求该数列的公比和项数。 通过上面例题的求解，可以看出，在公式中涉及到了五个量，我们只要知道 其中的三个量，利用等比数列的通项公式，及等比数列的前 n 项和公式就可以求 出另外两个量。即“知三求二”。 Ⅳ.课堂练习 1、已知 a1 = 3，q = 2，n = 6，求此等比数列 an 的前 n 项和。 2、已知 a1 = −27， 3 1 q = − ，an =1，求此等比数列 an 的前 n 项和。 3、已知 a1 = −27，a5 = 48，求此等比数列 an 的前 5 项和
V.课时小结 两个公式: a(-q)(q≠1)或 a1-an,qg (q≠1) 2.一种方法:错位相减法 3.两种思想: ①.分类讨论的思想(q=1和q≠1) ②.方程思想(知三求一,知三求二) Ⅵ.课后作业 课本P61习题A组的第1、2题
Ⅴ.课时小结 1.两个公式： = − − = ( 1) ( 1) 1 (1 ) 1 1 na q q q a q S n n 或 = − − = ( 1) ( 1) 1 1 1 na q q q a a q S n n 2.一种方法：错位相减法 3.两种思想： .分类讨论的思想(q=1 和 q≠1) .方程思想(知三求一，知三求二) Ⅵ.课后作业 课本 P61 习题 A 组的第 1、2 题