2.5.1等比数列的前n项和 一、教学内容分析 1.教材的地位和作用 《等比数列的前n项和》是髙中数学人教版第一册(上)第三章《数列》第 五节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时, 重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在 联系及公式的简单应用 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价 值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中 有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所 渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习 和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的 探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新思维和 探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体 2.教学的重点 等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用 、学情分析 1学情分析 知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公 式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 认知水平与能力:高一学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独 立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数 列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不 利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生 的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤 其是在后面使用的过程中容易出错 任教班级学生特点:我班学生基础知识较扎实、思维较活跃,能够较好的理 解教材上的内容,能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题 2教学难点 基于上述分析,确定本节课教学难点:错位相减法的生成和等比数列前n项和公 式的运用
2.5.1 等比数列的前 n 项和 一、教学内容分析 1.教材的地位和作用 《等比数列的前 n 项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第 五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时， 重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在 联系及公式的简单应用． 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价 值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中 有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所 渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习 和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前 n 项和公式的 探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和 探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体 2．教学的重点 等比数列前 n 项和公式的推导及公式的简单应用． 二、学情分析 1.学情分析 知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公 式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独 立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数 列前 n 项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不 利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有所不同，这对学生 的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤 其是在后面使用的过程中容易出错． 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理 解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题． 2.教学难点 基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公 式的运用．
三、教学目标的确定 课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想 和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”,结合本课教材的特点、学 生的认知水平,我从三个方面确定教学目标: ①知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题 ②过程与方法目标 通过对公式的研究过程,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题 的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨 论思想及转化思想,优化思维品质 ③情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新,磨练思维品质,并从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、 结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美 四、教法和学法 课程标准明确指出“要注重提髙学生的数学思维能力”,即“在学生学习数 学运用数学解决问题时,应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽 象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程ˉ 由此确定教法与学法: 根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲授,学生 探究学习的教学方法.教学过程中,根据教材提供的线索,我设计了相应的问题 驱动教学,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的 各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,从而创造性地解决问 题,最终形成概念,获得方法,培养能力. 教学模式:本课采用“探究一一发现”教学模式 教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法引导. 学生的学法:突出探究、发现与交流 五、教学过程设计
三、教学目标的确定 课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想 和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学 生的认知水平，我从三个方面确定教学目标： ①知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程，掌握公式的特点，并 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ②过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题 的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨 论思想及转化思想，优化思维品质． ③ 情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、 结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美. 四、教法和学法 课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数 学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽 象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。 由此确定教法与学法： 根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲授，学生 探究学习的教学方法. 教学过程中，根据教材提供的线索，我设计了相应的问题 驱动教学，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的 各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问 题，最终形成概念，获得方法，培养能力. 教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导． 学生的学法：突出探究、发现与交流． 五、教学过程设计
创设情景 类比探索 公式应用 提出问题 形成公式 培养能力 (4分钟) 16分钟) (8分钟) 归纳总结 延伸拓展 加深理解 发散思维 (3分钟) (9分钟) 教教学过程设计 设计意图 环 [问题情境] ■业鱼国 文 ■■武式 匡正亚鱼寓 设计意图: 情境的引入让引 创|请看下面的问题:印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨,出课题的同时激 设/同他有什么要求,发明者说:·请在棋盘的第1个格子里放1发学生的兴趣,调 颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4 情|颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依次类推,每个格子里 的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2倍直到第64个格子/性.故事内容紧扣 境|请给我足够的粮食来实现上述要求,”你认为国王有能力满足本节课的主题与 发明者的上述要求吗? 重点 引 入学生:观看多媒体,回答问题 题 设这64个数的和为 则 S=2°+2+22+23+……+283 总管共费了三天才计算出来最终的数字是 18446744073709551615粒麦子 若把这些麦子铺在地球表面一层,竟约有2米厚,若 按万粒500克计算,可达922372亿吨。而我国现年 产量在1亿吨左右。 引导学生回忆:等差数列求和的重要方法是倒序
教 学 环 节 教学过程设计 设计意图 创 设 情 境 ， 引 入 课 题 [问题情境] 请看下面的问题：印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨， 问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第 1 个格子里放 1 颗麦粒，在第 2 个格子里放 2 颗麦粒，在第 3 个格子里放 4 颗麦粒，在第 4 个格子里放 8 颗麦粒，依次类推，每个格子里 放的麦粒都是前一个格子里麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子， 请给我足够的粮食来实现上述要求。” 你认为国王有能力满足 发明者的上述要求吗？ 学生：观看多媒体，回答问题． 设 这 64 个 数 的 和 为 S ， 则 S=20 +21 +22 +23 +……+263 总管共费了三天才计算出来最终的数字是： 18 446 744 073 709 551 615 粒麦子 若把这些麦子铺在地球表面一层，竟约有 2 米厚 . 若 按万粒 500 克计算，可达 922 372 亿吨。而我国现年 产量在 1 亿吨左右。 引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序 设计意图： 情 境 的引 入让 引 出 课 题的 同时 激 发学生的兴趣，调 动学习的积极 性．故事内容紧扣 本 节 课的 主题 与 重点． 创设情景 提出问题 （4 分钟） 类比探索 形成公式 （16 分钟） 公式应用 培养能力 （8 分钟） 延伸拓展 发散思维 （9 分钟） 归纳总结 加深理解 （3 分钟）
相加法,剖析倒序相加法的本质即整体设元,构造等 式,利用方程的思想化繁为简,把不易求和的问题转 化为易于求和的问题,从而求和的实质是减少了项.那 现在用这种办法还行吗?若不行,那该怎样简化运 算?能否类比倒序相加的本质,根据等比数列项之间 的特点,也构造一个式子,通过两式运算来解决问题?设计意图:留出时 类 间让学生充分地思 比|学生: 考、讨论.用错位相 探|S=1+2+22+…+23 ① 减法推导等比数列 索2S=2+22+…+2+2 前n项和公式的关 ②-①得:S 键是变“加”为 接着教师再顺势引导学生将问题一般化,类比联想解|“减”,在教师看 决问题 来这是“天经地义” 探究二 的,但在学生看来 【教师提问】设等比数列{an}的首项为a,公比为q,如却是“不可思议” 何求此数列的前n项和S,? 的,因此教学中应 着力在这儿下功 注意:①学生已有上面问题的处理经验,肯定有不少夫,让学生经过思 学生会想到“错位相减法”,此时教师可放手让学生自考讨论,教师引导 类比倒序相加求 主探究、讨论,并请学生发言 和的本质,运用数 将S =a1+a2+a2+… 写成 学中重要的转化 F。=a1+ag+a2+…+aq,两边同时乘以公比q后思想,通过构造法 发现上述解法,让 会得到:qSn=ag+a1q2+aq3+…+aq”,两个等式相减 学生在探索过程 后,哪些项被消去,还剩下哪些项,剩下项的符号有没中,充分感受到成 有改变?这些都是用错位相减法的关键所在,让学生先功的乐趣,从而增 形|思考,再讨论,最后用多媒体给予突出强调,加深印象!强学习数学的兴 成⑧根据前面探究一不少学生也想到趣和学好数学的 式 Sn=a1+ag+a92+…+aq两边同时乘以一后/培养学生辩证思维 能力的良好契机 式作差得结果.这时我顺势引导:用错位相减法构造 等式时两边除乘以q,还可以乘其他的数,例如乘 丶q2…原则是构造的式子能和原式相减、相消后剩余 的项较少,较易计算,所以可视其情况确定乘什么数, 般情况是乘以公比 类④两等式作差得到:(1-q)Sn=
类 比 探 索 形 成 公 式 类 相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等 式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转 化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那 现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运 算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间 的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？ 学生： 2 63 S = + + + + 1 2 2 2 ① 2 63 64 2 2 2 2 2 S = + + + + ② ②-①得： 64 S = − 2 1 接着教师再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解 决问题． 探究二： 【教师提问】设等比数列 { } an 的首项为 1 a , 公比为 q ，如 何求此数列的前 n 项和 n S ？ 注意：①学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少 学生会想到“错位相减法”，此时教师可放手让学生自 主探究、讨论，并请学生发言． ① ② 将 n n S = a + a + a ++ a 1 2 3 写成： 1 1 2 1 1 1 − = + + + + n n S a a q a q a q ，两边同时乘以公比 q 后 会得到： n n qS a q a q a q a q1 3 1 2 = 1 + 1 + ++ ，两个等式相减 后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没 有改变？这些都是用错位相减法的关键所在，让学生先 思考，再讨论，最后用多媒体给予突出强调，加深印象！ ③ 根 据 前 面 探 究 一 不 少 学 生 也 想 到 1 1 2 1 1 1 − = + + + + n Sn a a q a q a q 两边同时乘以 q 1 后两 式作差得结果．这时我顺势引导：用错位相减法构造 等式时两边除乘以 q ，还可以乘其他的数，例如乘 1 2 ,q q 原则是构造的式子能和原式相减、相消后剩余 的项较少，较易计算，所以可视其情况确定乘什么数， 一般情况是乘以公比． ④两等式作差得到： （1− = q S ） n 设计意图：留出时 间让学生充分地思 考、讨论.用错位相 减法推导等比数列 前 n 项和公式的关 键 是 变“ 加 ”为 “减”，在教师看 来这是“天经地义” 的，但在学生看来 却是“不可思议” 的，因此教学中应 着 力 在这 儿 下功 夫，让学生经过思 考讨论，教师引导 类 比 倒序 相加 求 和的本质，运用数 学 中 重要 的转 化 思想，通过构造法 发现上述解法，让 学 生 在探 索过 程 中，充分感受到成 功的乐趣，从而增 强 学 习数 学的 兴 趣 和 学好 数学 的 信心，同时这也是 培养学生辩证思维 能力的良好契机．
比 探|a1(1-q)时,肯定会有学生直接得到S=(1-q”) 索 ⑤引导学生根据等比数列的通项公式,进一步完善等 比数列的前n项和公式: 1(q=1) 形|Sn={a(1-9)=a1-aq 成公 1-q1 (q≠1) 式|剖析公式结构特征,并强调q≠时该求和公式中有5 个量,知任意3个通过解方程(组)都可以求另 外2个的方程思想 设计意图:本练习 公式运用 由书中的例题及 例题的改编而组 成,采用变式教学 设计题组,深化学 生对公式的再认 识和理解,通过直 接套用公式、变式 运用公式、进一步 例1、已知数列{an}为等比数列, 渗透求和公式中 五个量知三求二 Sn=189,q=2,an=96,求a和n 的方程思想,促进 培练习、已知数列{a}为等比数列 学生新的数学认 养 能|a=2S3=6求a和q 知结构的形成,而 一题多解,又培养 力 学生的发散性思 维.通过以上形 式,让全体学生都 参与教学,使学生 由简单地模仿和 接受,变为对知识 的主动求索,从而 有利于提高思维 的灵活性和梯度 并以此培养学生 的参与意识和竞 争意识 设计意图:一方面 延伸 引导学生思考满
比 探 索 形 成 公 式 (1 ) 1 n a − q 时，肯定会有学生直接得到 q a q S n n − − = 1 (1 ) 1 ， ⑤引导学生根据等比数列的通项公式，进一步完善等 比数列的前 n 项和公式： − − = − − = = ( 1) 1 1 (1 ) ( 1) 1 1 1 q q a a q q a q na q S n n n 剖析公式结构特征，并强调 q 1时 该求和公式中有 5 个量，知任意 3 个通过解方程（组）都可以求另 外 2 个的方程思想． 公 式 运 用 培 养 能 力 延 伸 1 1 189, 2, 96, . n n n a S q a a n = = = 例 、已知数列 为等比数列， 求 和 1 3 3 1 2, 6, . n a a S a q = = 练习、已知数列 为等比数列， 求 和 设计意图：本练习 由 书 中的 例题 及 例 题 的改 编而 组 成，采用变式教学 设计题组，深化学 生 对 公式 的再 认 识和理解，通过直 接套用公式、变式 运用公式、进一步 渗 透 求和 公式 中 五 个 量知 三求 二 的方程思想，促进 学 生 新的 数学 认 知结构的形成，而 一题多解，又培养 学 生 的发 散性 思 维 ． 通过 以上 形 式，让全体学生都 参与教学，使学生 由 简 单地 模仿 和 接受，变为对知识 的主动求索，从而 有 利 于提 高思 维 的 灵 活性 和梯 度 并 以 此培 养学 生 的 参 与意 识和 竞 争意识． 设计意图：一方面 引 导 学生 思考 满
拓 足什么样的条件 展 例2、求数列,2×3,3×32,,n3的前n项和 就可以用错位相 减法,使用错位相 变式:求数列1,3×3.5×32, 减法的步骤及关 键所在,进一步揭 的前n项和 示方法的本质,回 发散思维 练习2:求和 归方法、提炼方 法.另一方面此内 容为下节课的教 学做好铺垫,而采 用弹性教学的设 计方式,更大限度 的提高了课堂教 学的针对性、实效 性、灵活性 总结归纳 ■等比数列前n项和求和公式 设计意图:一方面, 培养学生自我归 归(用公式,要小心,q=1?要问清。) 纳、总结的能力 推导数列求和公式的错位相减法 另一方面,把知识 的归纳进一步延伸 (错位减,乘公比,位对齐,验a1。) 到方法思想的提 本节用到的主要数学思想方法 炼,提高了学生数 1.方程思想(知三求二) 学素养和文化水 深 理|2.类比(等差数列求和) 解3.分类讨论 4.求和的本质 消项”,由通项特点找求和方法 总结 归等比求和错位减,小心公比项不变 纳|若要遇到差乘比,对齐再把首项验。 加|沉浸观察多思考,思想方法美中现。 深理解 吾辈应有凌云志,定与高斯试比肩 六、评价分析 1、评价教学目标的完成情况 本节课设计了四个活动环节:(1)公式的探究活动;(2)公式的应用;(3)方法的 拓展;(4)学生课后的拓展学习.根据实际教学情况,学生掌握本课知识较好. 创设问题的情境,例题设置变式拓展,层层递进,突破教材设计理念,实现掌握 重点突破难点的目的以达到更好的教学效果.同时注重各种数学思想方法的渗
拓 展 发 散 思 维 2 1 2 1,2 3,3 3 ... 3n n n − 例 、求数列 ，， 的前 项和 2 1 1,3 3,5 3 ... 1 3 . n n n − 变式1：求数列 − ，，（2 ） 的前 项和 2 3 2 3 ... n 练习2：求和：x x x nx + + + + 足 什 么样 的条 件 就 可 以用 错位 相 减法，使用错位相 减 法 的步 骤及 关 键所在，进一步揭 示方法的本质，回 归 方 法、 提炼 方 法．另一方面此内 容 为 下节 课的 教 学做好铺垫，而采 用 弹 性教 学的 设 计方式，更大限度 的 提 高了 课堂 教 学的针对性、实效 性、灵活性 总 结 归 纳 加 深 理 解 ◼ 等比数列前 n 项和求和公式 （用公式，要小心， q=1？要问清。） ◼ 推导数列求和公式的错位相减法 （错位减，乘公比，位对齐，验 a1。） ◼ 本节用到的主要数学思想方法 1.方程思想（知三求二） 2.类比（等差数列求和） 3.分类讨论 4.求和的本质——“消项”，由通项特点找求和方法 设计意图：一方面， 培 养 学生 自 我归 纳、总结的能力， 另一方面，把知识 的归纳进一步延伸 到 方 法思 想 的提 炼，提高了学生数 学 素 养和 文 化水 平. 总 结 归 纳 加 深 理 解 等比求和错位减，小心公比项不变。 若要遇到差乘比，对齐再把首项验。 沉浸观察多思考，思想方法美中现。 吾辈应有凌云志，定与高斯试比肩。 六、评价分析 1、评价教学目标的完成情况 本节课设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的 拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好. 创设问题的情境，例题设置变式拓展，层层递进，突破教材设计理念，实现掌握 重点突破难点的目的以达到更好的教学效果.同时注重各种数学思想方法的渗
透. 2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力 教学过程注意观察学生是否置身于数学学习活动中,是否精神饱满、兴趣浓 厚、探究积极,通过学生回答问题,学生举例,归纳总结等方面反馈学生对知识 的理解、运用,教师根据反馈信息适时点拨,同时从新课标评价理念出发,鼓励 学生发表自己的观点、给学生表达、交流思想的机会,充分质疑,并抓住学生在 语言、思想等方面的的亮点给予表扬,树立自信心
透. 2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力 教学过程注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓 厚、探究积极，通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识 的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励 学生发表自己的观点、给学生表达、交流思想的机会，充分质疑，并抓住学生在 语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心