1.3.2.1 KHOHZY课后强化作业 选择题 下列命题中错误的是() ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y轴一定相交 ④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数 B.③④ C.①④ D.②③ 「答案]D 解析]x)=为奇函数,其图象不过原点,故②错;y= 为偶函数 其图象与y轴不相交,故③错 2.如果奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则fx)在(-∞,0)上( A.减函数 B.增函数 C.既可能是减函数也可能是增函数 D.不一定具有单调性 答案]B 3.已知f(x)=x2+ax5+bx-5,且f-3)=5,则f3)=() A B.15 10 答案]A 「解析]解法1:∫-3)=(-3)+a(-3)+(-3)b-5=-(3+a33+3b-5)-10=-K3) f3)=-15 解法2:设g(x)=x+ax5+bx,则g(x)为奇函数, ∵-3)=g(-3)-5=-8(3)-5=5
1.3.2.1 一、选择题 1．下列命题中错误的是( ) ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与 y 轴一定相交 ④图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ [答案] D [解析] f(x)＝ 1 x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝ x－1 x≥1 －x－1 x≤－1 为偶函数， 其图象与 y 轴不相交，故③错． 2．如果奇函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则 f(x)在(－∞，0)上( ) A．减函数 B．增函数 C．既可能是减函数也可能是增函数 D．不一定具有单调性 [答案] B 3．已知 f(x)＝x 7＋ax5＋bx－5，且 f(－3)＝5，则 f(3)＝( ) A．－15 B．15 C．10 D．－10 [答案] A [解析] 解法 1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3) －10＝5， ∴f(3)＝－15. 解法 2：设 g(x)＝x 7＋ax5＋bx，则 g(x)为奇函数， ∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5
∴g(3)=-10,∴(3)=8(3)-5=-15. 4.若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f3)f(1),则下列各式中一定成立的是() A.f(-1)f(1) C.A(2)>(3)D.f(-3)0时,(x)=2x-3,则f-2)的值等于() 答案]A 「解析]∵x0时,fx)=2-3 2)=22-3=1, 又x)为奇函数,∴f(-2)=-f(2)= 6.设f(x)在一2,1上为减函数,最小值为3,且fx)为偶函数,则fx)在[1,2]上() A.为减函数,最大值为3 B.为减函数,最小值为-3 C.为增函数,最大值为-3 D.为增函数,最小值为3 答案]D 「解析]∵(x)在[-2,-1上为减函数,最大值为3,∵∫-1)=3, 又∵(x)为偶函数,∴x)在1,2上为增函数,且最小值为1)=f-1)=3 7.(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的 是() Ay=x B.y=-x2+1 C. y=lxl+1 - 答案]C 解析]由偶函数,排除A;由在(0,+∞)上为增函数,排除B,D,故选C. 8.(09辽宁文)已知偶函数fx)在区间[0,+∞)单调递增,则满足∫2x-1))的x取
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15. 4．若 f(x)在[－5,5]上是奇函数，且 f(3)f(1) C．f(2)>f(3) D．f(－3)0 时，f(x)＝2 x－3，则 f(－2)的值等于( ) A．－1 B．1 C.11 4 D．－ 11 4 [答案] A [解析] ∵x>0 时，f(x)＝2 x－3， ∴f(2)＝2 2－3＝1， 又 f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1. 6．设 f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x)在[1,2]上( ) A．为减函数，最大值为 3 B．为减函数，最小值为－3 C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为 3 [答案] D [解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为 3，∴f(－1)＝3， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为 f(1)＝f(－1)＝3. 7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的 是( ) A．y＝x 3 B．y＝－x 2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝2 －|x| [答案] C [解析] 由偶函数，排除 A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除 B，D，故选 C. 8．(09·辽宁文)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足 f(2x－1)<f 1 3 的 x 取
值范围是() 答案]A 解析]由题意得2x-13s以r-1 选A 9.若函数fx)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a=() D.不存在 答案]B 解析]解法1:∫x)=x2+(a+1)x+a为偶函数 解法2∷:∵:∫x)=(x+1)(x+a)为偶函数, 对任意x∈R,有f-x)=fx)恒成立, f(-1)=f(1) 即0=2(1+a),∴a= 10.奇函数f(x)当x∈(-∞,0)时,fx)=-2x+3,则(1)与几2)的大小关系为( A.f(1)f2) D.不能确定 答案]C 「解析]由条件知,(x)在(-∞,0)上为减函数, ∵f(-1)f(2) [点评]也可以先求出fx)在(0,+∞)上解析式后求值比较,或利用奇函数图象对称特 征画图比较 二、填空题 11.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx的奇偶性为 答案]奇函数
值范围是( ) A. 1 3 ， 2 3 B. 1 3 ， 2 3 C. 1 2 ， 2 3 ` D. 1 2 ， 2 3 [答案] A [解析] 由题意得|2x－1|f(2) D．不能确定 [答案] C [解析] 由条件知，f(x)在(－∞，0)上为减函数， ∴f(－1)f(2)． [点评] 也可以先求出 f(x)在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特 征画图比较． 二、填空题 11．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数，则 g(x)＝ax3＋bx2＋cx 的奇偶性为________． [答案] 奇函数
解析]由fx)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数得b=0,因此gx)=ax3+cx,∴8(-x)= g(x) g(x)是奇函数 12.偶函数y=(x)的图象与x轴有三个交点,则方程fx)=0的所有根之和为 答案]0 解析]由于偶函数图象关于y轴对称,且与x轴有三个交点,因此一定过原点且另两 个互为相反数,故其和为0 三、解答题 13.判断下列函数的奇偶性: x2+x(x>0) (1)(x)=1x2+x(x≤0 (2)(x) x2-x(x≥0) 解析](1)-x) x(x<0) fx)为奇函数 (2(-x)=—≠(x),f(-x)≠-fx),∴fx)既不是奇函数,又不是偶函数 14.已知fx)是偶函数,g(x)是奇函数,且(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式 解析]∫-x)+g-x)=x-x-2,由x)是偶函数,gx)是奇函数得,x)-g(x)=x2-x 又八(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得 fx)=x2-2,g(x)=x 函数A2+女定义在(-1)上的奇函数,且(=号,求函数和的解析式 「解析]因为∫x)是奇函数且定义域为(-1,1), 所以f0)=0,即b=0
[解析] 由 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得 b＝0，因此 g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－ g(x)， ∴g(x)是奇函数． 12．偶函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝0 的所有根之和为________． [答案] 0 [解析] 由于偶函数图象关于 y 轴对称，且与 x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两 个互为相反数，故其和为 0. 三、解答题 13．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ －x 2＋x(x>0) x 2＋x (x≤0) ； (2)f(x)＝ 1 x 2＋x . [解析] (1)f(－x)＝ x 2－x (x≥0) －x 2－x(x<0) ， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)f(－x)＝ 1 x 2－x ≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． 14．已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x 2＋x－2，求 f(x)，g(x)的表达式． [解析] f(－x)＋g(－x)＝x 2－x－2，由 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x 2－x －2 又 f(x)＋g(x)＝x 2＋x－2，两式联立得： f(x)＝x 2－2，g(x)＝x. 15．函数 f(x)＝ ax＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f 1 2 ＝ 2 5 ，求函数 f(x)的解析式． [解析] 因为 f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)， 所以 f(0)＝0，即 b＝0
又 所以 所以a=1,所以x)= 16.定义在(-1,1)上的奇函数风x)是减函数,且f1-a)+(1-a2)0 f-x)=-2(-x-1)2+2=-2(x+1)2 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即fx) 其图象如图所示
又 f 1 2 ＝ 2 5 ，所以 1 2 a 1＋ 1 2 2 ＝ 2 5 ， 所以 a＝1，所以 f(x)＝ x 1＋x 2 . 16．定义在(－1,1)上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1－a)＋f(1－a 2 )a 2－1 解得 00， f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2， ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2(x＋1)2－2， 即 f(x)＝ －2(x－1) 2＋2 (x≥0) 2(x＋1) 2－2 (x<0) ， 其图象如图所示．
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