1章末 JSGG即时巩固 、选择题 1.已知集合M=byy=ax+b,a≠0,x∈R}和集合P={(x,y)y=ax+b,a≠0,x∈R}, 下列关于它们的关系结论正确的是() A. M P B. PM C. M=P D.M∩P= 答案]D 解析]前者表示的是一个一次函数的值的集合,其中的元素是一元实数y,而后者则 是一个以一次函数的图象上的点(x,y)为元素的集合,因此也就不具有包含、相等关系了, 故选D 2.设集合A={x∈Z且-10≤x≤-1},B={x∈Z且≤5},则AUB中元素的个数 答案]C 解析]B={x-5≤x≤5,x∈Z}, AUB={x-10≤x≤5,x∈}中共有16个元素 3.奇函数fx)的定义域为(-∞,+∞),且在(一∞,0)上递减,若ab0 D.f(a)+fb)≥0 答案]B 「解析]∵(x)为奇函数,且在(-∞,O)上是减函数∴f(x)在(0,+∞)上是减函数∴ab×0 不妨设b0∴a>0,又a+b≥0∴a≥-b>0∴a)≤-b)又f-b)=-fb)∴a)+几b)≤0 4.设集合M=(m≤x≤m+3,N=动-1≤x≤n,且M、N都是集合0≤x≤1} 的子集,如果把b-a叫做集合{xa≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小 值是()
1 章末 一、选择题 1．已知集合 M＝{y|y＝ax＋b，a≠0，x∈R}和集合 P＝{(x，y)|y＝ax＋b，a≠0，x∈R}， 下列关于它们的关系结论正确的是( ) A．M P B．P M C．M＝P D．M∩P＝∅ [答案] D [解析] 前者表示的是一个一次函数的值的集合，其中的元素是一元实数 y，而后者则 是一个以一次函数的图象上的点(x，y)为元素的集合，因此也就不具有包含、相等关系了， 故选 D. 2．设集合 A＝{x|x∈Z 且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z 且|x|≤5}，则 A∪B 中元素的个数 是( ) A．11 B．10 C．16 D．15 [答案] C [解析] B＝{x|－5≤x≤5，x∈Z}， A∪B＝{x|－10≤x≤5，x∈Z}中共有 16 个元素． 3．奇函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且在(－∞，0)上递减，若 ab0 D．f(a)＋f(b)≥0 [答案] B [解析] ∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵ab0，又 a＋b≥0∴a≥－b>0∴f(a)≤f(－b)又 f(－b)＝－f(b)∴f(a)＋f(b)≤0. 4．设集合 M＝{x|m≤x≤m＋ 3 4 }，N＝{x|n－ 1 3 ≤x≤n}，且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1} 的子集，如果把 b－a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合 M∩N 的“长度”的最小 值是( ) A.1 3 B.2 3
1 5 答案]C 解析]由题意知 同理0≤ms4 借助数轴可知M∩N的长度在n=1,m=0时,有最小“长度”值为2-2=1 *5若x+1)的定义域为-2,3],则A2x-1)的定义域为() D.[-3,7 答案]A 解析]∵-2≤x≤3,∴-1≤x+1≤4 ∵x)的定义域为[-1,4] 要使f2x-1)有意义,须满足-1≤2x-1≤4, 6.(09四川文)已知函数x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x都有孔(x+1=(1+30,则号的值是() 0 答案]A 解析]由xx+1)=(1+x)x)得 ⑤= =(-=⑤,:月=0, 又3=3.3=消 =0,13 =0,故选A
C. 1 12 D. 5 12 [答案] C [解析] 由题意知 n－ 1 3 ≥0 n≤1 ∴ 1 3 ≤n≤1， 同理 0≤m≤ 1 4 . 借助数轴可知 M∩N 的长度在 n＝1，m＝0 时，有最小“长度”值为3 4 － 2 3 ＝ 1 12. *5.若 f(x＋1)的定义域为[－2,3]，则 f(2x－1)的定义域为( ) A．[0， 5 2 ] B．[－1,4] C．[－5,5] D．[－3,7] [答案] A [解析] ∵－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4， ∴f(x)的定义域为[－1,4]． ∴要使 f(2x－1)有意义，须满足－1≤2x－1≤4， ∴0≤x≤ 5 2 . 6．(09·四川文)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则 f 5 2 的值是( ) A．0 B.1 2 C．1 D.5 2 [答案] A [解析] 由 xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)得 － 1 2 f 1 2 ＝ 1 2 f － 1 2 ， ∴－f 1 2 ＝f － 1 2 ＝f 1 2 ，∴f 1 2 ＝0， 又 1 2 f 3 2 ＝ 3 2 f 1 2 ， 3 2 f 5 2 ＝ 5 2 f 3 2 ， ∴f 3 2 ＝0，f 5 2 ＝0，故选 A
*7某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总 利润y(单位:10万元与营运年数xx∈N)满足二次函数关系如图,则每辆客车营运 年,其营运年平均利润最大() 答案] 解析]由题图可设y=a(x-8)2+15过点(6,1),∴l1=a(6-8)2+15, 即y=-x2+16x-49 年平均利润u==-x-+16=16-(x+), x∈N‘,∴x0,此函数在(0,7上是增函数,在[7,+∞)上是减函数.∴当x=7时 lImax ∴每辆客车营运7年,其年平均利润最大 二、解答题 8.设fx)=x2+ax+b,A={xx)=x}={a},由元素(a,b)构成的集合为M,求M 「分析]认真分析A={xf(x)=x}={a}的含义,解题思路呼之即出.从A={a}知集合A 中有且仅有一个元素a,从A={xx)=x知,集合A中的元素是方程fx)=x的解,由此即 知方程fx)=x有且仅有一个实根a,即关于x的一元二次方程fx)=x有两相等实根a 解析]由题意知,方程fx)=x有且仅有一个实数根a,即x2+(a-1)x+b=0仅有 实根 (a-1)2-4b=0 a2+(a-1)a+b=0 解之得:a=2,b 9.已知y=fx)满足f-x)=-(x),它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)
*7.某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总 利润 y(单位：10 万元)与营运年数 x(x∈N* )满足二次函数关系如图，则每辆客车营运________ 年，其营运年平均利润最大( ) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] D [解析] 由题图可设 y＝a(x－8)2＋15 过点(6,11)，∴11＝a(6－8)2＋15， ∴a＝－1，∴y＝－(x－8)2＋15， 即 y＝－x 2＋16x－49. 年平均利润 u＝ y x ＝－x－ 49 x ＋16＝16－ x＋ 49 x ， ∵x∈N*，∴x>0，此函数在(0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数．∴当 x＝7 时， umax＝2， ∴每辆客车营运 7 年，其年平均利润最大． 二、解答题 8．设 f(x)＝x 2＋ax＋b，A＝{x|f(x)＝x}＝{a}，由元素(a，b)构成的集合为 M，求 M. [分析] 认真分析 A＝{x|f(x)＝x}＝{a}的含义，解题思路呼之即出．从 A＝{a}知集合 A 中有且仅有一个元素 a，从 A＝{x|f(x)＝x}知，集合 A 中的元素是方程 f(x)＝x 的解．由此即 知方程 f(x)＝x 有且仅有一个实根 a，即关于 x 的一元二次方程 f(x)＝x 有两相等实根 a. [解析] 由题意知，方程 f(x)＝x 有且仅有一个实数根 a，即 x 2＋(a－1)x＋b＝0 仅有一 实根 a， ∴ (a－1) 2－4b＝0 a 2＋(a－1)a＋b＝0 解之得：a＝ 1 3 ，b＝ 1 9 ，∴M＝{(1 3 ， 1 9 )}． 9．已知 y＝f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，它在(0，＋∞)上是增函数，且 f(x)<0，试问 F(x)＝ 1 f(x)
在(一∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论 解析]任取x、x∈(-∞,0)且x-x2>0, 因为y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且fx)(x1)>0 1 f(x2)-f(xi) 于是F(x)-F(x)=x)fx2)fx)x2)20,即Fx)Fx2) 所以F(x)= ,0)上是减函数 *10若A={xx2-ax+a2-19=0},B={x2-5x+6=0},C={xx2+2x-8=0} (1)若A∩B=AUB,求a的值: (2)若A∩B,A∩C=,求a的值 解析]由已知得:B={2,3},C={2,-4} (1)AnB=A∪B∴A=B 于是2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根,由韦达定理知 2×3=a2-19 解之得a=5 (2)由A∩B,A∩C=e得3∈A,2A,-4:A 由3∈A得32-3a+a2-19=0 解得a=5或a=-2 当a=5时,A={x2-5x+6=0}={2,3},与2A矛盾,当a=-2时,A={xx2+2x 15=0}={3,-5},符合题意,∴a=-2
在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论． [解析] 任取 x1、x2∈(－∞，0)且 x1－x2>0， 因为 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(x)f(x1)>0. 于是 F(x1)－F(x2)＝ 1 f(x1) － 1 f(x2) ＝ f(x2)－f(x1) f(x1)·f(x2) >0，即 F(x1)>F(x2)． 所以 F(x)＝ 1 f(x) 在(－∞，0)上是减函数． *10.若 A＝{x|x 2－ax＋a 2－19＝0}，B＝{x|x 2－5x＋6＝0}，C＝{x|x 2＋2x－8＝0}． (1)若 A∩B＝A∪B，求 a 的值； (2)若∅ A∩B，A∩C＝∅，求 a 的值． [解析] 由已知得：B＝{2,3}，C＝{2，－4} (1)∵A∩B＝A∪B ∴A＝B 于是 2,3 是一元二次方程 x 2－ax＋a 2－19＝0 的两个根，由韦达定理知 2＋3＝a 2×3＝a 2－19 解之得 a＝5. (2)由∅ A∩B，A∩C＝∅得 3∈A,2∉A，－4∉A 由 3∈A 得 3 2－3a＋a 2－19＝0 解得 a＝5 或 a＝－2 当 a＝5 时，A＝{x|x 2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与 2∉A 矛盾，当 a＝－2 时，A＝{x|x 2＋2x－ 15＝0}＝{3，－5}，符合题意，∴a＝－2