2.3.1 KHOHZY课后强化作业 一、选择题 x2m-的图象分布在第一、二象限,则实数m的值为 A.2或一3 答案]B 「解析]由m2+m-5=1得m=2或-3,∵函数图象分布在一、二象限,∴函数为偶 函数,∴m=2 2.函数y=X在第一象限内的图象如下图所示,已知:n取士2,四个值,则相应于曲 线C1、C2、C3、C4的n依次为( D.2 答案]B 「解析]图中α1的指数n>1,c的指数022知B正确 评述:幂函数在第一象限内当x1时的图象及指对函数在第一象限内的图象,其分布规 律与a(或a)值的大小关系是:幂指逆增、对数逆减. 3.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是() D 答案]A
2.3.1 一、选择题 1．幂函数 y＝(m2＋m－5)x m 2 － 3 2 m－ 1 3的图象分布在第一、二象限，则实数 m 的值为 ( ) A．2 或－3 B．2 C．－3 D．0 [答案] B [解析] 由 m2＋m－5＝1 得 m＝2 或－3，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶 函数，∴m＝2. 2．函数 y＝x n 在第一象限内的图象如下图所示，已知：n 取±2，± 1 2 四个值，则相应于曲 线 C1、C2、C3、C4 的 n 依次为( ) A．－2，－ 1 2 ， 1 2 ，2 B．2， 1 2 ，－ 1 2 ，－2 C．－ 1 2 ，－2,2， 1 2 D．2， 1 2 ，－2，－ 1 2 [答案] B [解析] 图中 c1 的指数 n>1，c2 的指数 02－2 知 B 正确． 评述：幂函数在第一象限内当 x>1 时的图象及指对函数在第一象限内的图象，其分布规 律与 a(或 α)值的大小关系是：幂指逆增、对数逆减． 3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝－3 |x| B．y＝x 1 2 C．y＝log3x 2 D．y＝x－x 2 [答案] A
4.在同一坐标系内,函数y=x(a≠0)和y=ax+-的图象应是() 答案]B 「解析]首先若∝>0,y=ax+-,应为增函数,只能是A或C,应有纵截距-0因而排 除A、C;故aa,排除A y=b单调减,ab,排除B ¨y=x与y=x在(O,1)上都是增函数,a5即5 7.(200安徽文,7)设a=(),b= 则a,b,c的大小关系是( A. a>c>b B. a>b> D. b>c>a 答案] 解析]对b和c,∵指数函数y=()单调递减.故(尔<()5,即bc
4．在同一坐标系内，函数 y＝x a (a≠0)和 y＝ax＋ 1 a 的图象应是( ) [答案] B [解析] 首先若 a>0，y＝ax＋ 1 a ，应为增函数，只能是 A 或 C，应有纵截距1 a >0 因而排 除 A、C；故 aa b，排除 A. ∵y＝b x单调减，ab b，排除 B. ∵y＝x a 与 y＝x b 在(0,1)上都是增函数，a0.5a >5a 即 5－a >0.5a >5a . 7．(2010·安徽文，7)设 a＝( 3 5 ) 2 5，b＝( 2 5 ) 3 5，c＝( 2 5 ) 2 5，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a [答案] A [解析] 对 b 和 c，∵指数函数 y＝( 2 5 ) x单调递减．故( 2 5 ) 3 5 <(2 5 ) 2 5，即 b<c
对a和c,∵幂函数.y=x在(0,+∞)上单调递增, ∴f5(,即ac,C∞b,故选A 8.当0(1-a)° 又∵1-a1-b>0,∴(1-a)3>(1-b② 由①②得(1-a)(1-b∴选D 幂函数y=x2(a≠0),当a取不同的正数时,在区间[01上它们的图象是一簇美丽 的曲线(如图)设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x2,y x的图象三等分,即有BM=MN=MA那么,qB=() B.2 C.3 D.无法确定 答案]A 解析由条件知,M,2 qB=1故选A 10.在同一坐标系内,函数y=x(a≠0)和y=ax-的图象可能是()
对 a 和 c，∵幂函数．y＝x 2 5在(0，＋∞)上单调递增， ∴( 3 5 ) 2 5 >(2 5 ) 2 5，即 a>c，∴a>c>b，故选 A. 8．当 0(1－a) b B．(1＋a) a >(1＋b) b C．(1－a) b >(1－a) b 2 D．(1－a) a >(1－b) b [答案] D [解析] ∵0(1－a) b ① 又∵1－a>1－b>0，∴(1－a) b >(1－b) b ② 由①②得(1－a) a >(1－b) b .∴选 D. 9．幂函数 y＝x α (α≠0)，当 α 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽 的曲线(如图)．设点 A(1,0)，B(0,1)，连结 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y＝x α，y ＝x β 的图象三等分，即有 BM＝MN＝NA.那么，αβ＝( ) A．1 B．2 C．3 D．无法确定 [答案] A [解析] 由条件知，M 1 3 ， 2 3 、N 2 3 ， 1 3 ， ∴ 1 3 ＝ 2 3 α， 2 3 ＝ 1 3 β， ∴ 1 3 αβ＝ 1 3 β α＝ 2 3 α＝ 1 3 ， ∴αβ＝1.故选 A. 10．在同一坐标系内，函数 y＝x a (a≠0)和 y＝ax－ 1 a 的图象可能是( )
答案]C [解析]由A,B图可知幂暾数y=x在第一象限递减,∴a0 直线的图象过第一、三象限,且在y轴上的截距为负,故选C 二、填空题 1l.函数f(x)=(x+3)2的定义域为 单调增区间是,单调减区 间为 答案]{x∈R且x≠-3};(-∞,-3);(-3,+∞) 「解析]∵y=(x+3)-2= (x+3) x+3≠0,即x≠-3,定义域为{xr∈R且x≠-3}, =x2=的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞),y=(x+3)-2是由y=x 向左平移3个单位得到的 y=(x+3)2的单调增区间为(-∞,-3),单调减区间为(-3,+∞) 12.已知幂函数y=x)的图象经过点(2,V2),那么这个幂函数的解析式为 答案]y=x2 13.若(a+1)2(2a-2),则实数a的取值范围是 答案](3,+∞) 解析]∴y=x在R上为增函数,(a+1)3. 三、解答题 14.已知函数fx)=(m2+2m)xm+m-,m为何值时,(x)是 (1)正比例函数 (2)反比例函数 3)二次函数:
[答案] C [解析] 由 A，B 图可知幂函数 y＝x a 在第一象限递减，∴a0， 直线的图象过第一、三象限，且在 y 轴上的截距为负，故选 C. 二、填空题 11．函数 f(x)＝(x＋3)－2 的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区 间为__________． [答案] {x|x∈R 且 x≠－3}；(－∞，－3)；(－3，＋∞) [解析] ∵y＝(x＋3)－2＝ 1 (x＋3) 2 ， ∴x＋3≠0，即 x≠－3，定义域为{x|x∈R 且 x≠－3}， y＝x－2＝ 1 x 2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2 是由 y＝x －2 向左平移 3 个单位得到的． ∴y＝(x＋3)－2 的单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)． 12．已知幂函数 y＝f(x)的图象经过点(2， 2)，那么这个幂函数的解析式为________． [答案] y＝x 1 2 13．若(a＋1) 1 3 3. 三、解答题 14．已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·x m 2 ＋m－1，m 为何值时，f(x)是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数；
(4)幂函数 解析](1)若∫x)为正比例函数,则 m2+m-1=1 →m=1 m2+2m≠0 (2)若fx)为反比例函数,则 n+n-1 m2+2m≠0 (3)若fx)为二次函数,则 m2+m-1=2, 1+ →m +2m≠0 2 (4)若fx)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-12 15.已知函数y=x-mn∈2的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y轴对称 求n的值,并画出函数的图 解析]因为图象与y轴无公共点,所以m2-2n-3≤0,又图象关于y轴对称,则n2 2n-3为偶数,由n2-2n-3≤0得,-1≤n≤3,又n∈Z∴n=0,±1,2,3 当n=0或n=2时,y=x3为奇函数,其图象不关于y轴对称,不适合题意 当n=-1或n=3时,有y=x,其图象如图A 当n=1时 其图象如图B. n的取值集合为{-1,1,3} 16.点(V,2)在幂函数x)的图象上,点(-2,在幂函数s(x)的图象上,问当x为何 值时,有 ①(x)>g(x),②x)=g(x) ③x)g(x) 解析]设(x)=x,则由题意得2=(2),∴=2,即(x)=x2,再设g(x)=x,则由
(4)幂函数． [解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则 m2＋m－1＝1， m2＋2m≠0 ⇒m＝1. (2)若 f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1， m2＋2m≠0 ⇒m＝－1. (3)若 f(x)为二次函数，则 m2＋m－1＝2， m2＋2m≠0 ⇒m＝ －1＋ 13 2 . (4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2. 15．已知函数 y＝x n 2 －2n－3 (n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于 y 轴对称， 求 n 的值，并画出函数的图象． [解析] 因为图象与 y 轴无公共点，所以 n 2－2n－3≤0，又图象关于 y 轴对称，则 n 2 －2n－3 为偶数，由 n 2－2n－3≤0 得，－1≤n≤3，又 n∈Z.∴n＝0，±1,2,3 当 n＝0 或 n＝2 时，y＝x－3 为奇函数，其图象不关于 y 轴对称，不适合题意． 当 n＝－1 或 n＝3 时，有 y＝x 0，其图象如图 A. 当 n＝1 时，y＝x－4，其图象如图 B. ∴n 的取值集合为{－1,1,3}． 16．点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(－2， 1 4 )在幂函数 g(x)的图象上，问当 x 为何 值时，有 ①f(x)>g(x); ②f(x)＝g(x)； ③f(x)<g(x)． [解析] 设 f(x)＝x α，则由题意得 2＝( 2) α，∴α＝2，即 f(x)＝x 2，再设 g(x)＝x β，则由
题意得=(-2,B=-2,即8x)=x2,在同一坐标系中作出几x与8(x)的图象如下图 所示 fx) 由图象可知:①当x>1或x-1时,(x)>gtx) ②当x=±1时,fx)=g(x); ③当-10且2x-1≠1,又y= d当a>1时为增函数,当0(2x-1)2.∴0<,,,,x1
题意得1 4 ＝(－2)β，∴β＝－2，即 g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出 f(x)与 g(x)的图象．如下图 所示． 由图象可知：①当 x>1 或 xg(x)； ②当 x＝±1 时，f(x)＝g(x)； ③当－1(2x－1)2 成立的 x 的取 值范围． [解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数 y＝x－ 1 2与 y＝x 2 的图象，观察图象可见，当 0x 2， ∴00 且 2x－1≠1，又 y＝ a x 当 a>1 时为增函数，当 0(2x－1)2 .∴0<2x－1<1.∴ 1 2 <x<1