本册综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题两部分。減分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题共60分) 、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符号题目要求的。) 1.(09·宁夏海南理)已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩CNB=() A.{125,7} D.{1,2,3} [答案]A 「解析]A∩CAB={1,3,5,7,9}∩{1.2,4.5,7,8,10,113,14,…}={1,5,7} 2.方程 log3x+x=3的解所在区间是() A.(0,1) B 2 答案]C [解析]令fx)=logx+x-3, ∵f2)f3)<0,∴x)的零点在(2,3内,∴选C 3.(08全国1)(1)函数y=x(x-1)+√的定义域为() xx≥ C.{xx≥1}U{0} ≤x≤1 [答案]C 解析]要使y=x-1)+有意义,则x-1)≥0 ≥0 ≥1或x=0 ∴定义域为{x≥1}U{0} 4.(09辽文)已知函数满足:x≥4,)=(5):当x4时,几=x+1),则12+ 「答案]A 3+log?3 [解析]f(2+lg23)=f(3+lg23)= e231x1 8^3-24 选A. 5.(08江西)若0<x≤y<1,则() A.3<3x B. log 3<log 3 [答案]C [解析]∵0< ∴①由y=3“为增函数知3<3,排除A ②∴logu在(0,1)内单调递增
本册综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。) 1．(09·宁夏 海南理)已知集合 A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则 A∩∁NB＝( ) A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3} [答案] A [解析] A∩∁NB＝{1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14，…}＝{1,5,7}． 2．方程 log3x＋x＝3 的解所在区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞) [答案] C [解析] 令 f(x)＝log3x＋x－3， ∵f(2)·f(3)<0，∴f(x)的零点在(2,3)内，∴选 C. 3．(08·全国Ⅰ)(1)函数 y＝ x(x－1)＋ x的定义域为( ) A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1} [答案] C [解析] 要使 y＝ x(x－1)＋ x有意义，则 x(x－1)≥0 x≥0 ， ∴ x≥1或x≤0 x≥0 ，∴x≥1 或 x＝0， ∴定义域为{x|x≥1}∪{0}． 4．(09·辽宁文)已知函数 f(x)满足：x≥4，f(x)＝ 1 2 x；当 x<4 时，f(x)＝f(x＋1)，则 f(2＋ log23)＝( ) A. 1 24 B. 1 12 C.1 8 D.3 8 [答案] A 5．(08·江西)若 0<x<y<1，则( ) A．3 y <3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D. 1 4 x < 1 4 y [答案] C [解析] ∵0<x<y<1， ∴①由 y＝3 u 为增函数知 3 x <3y，排除 A； ②∵log3u 在(0,1)内单调递增
∴ logixlog3,∴B错 ③由y=log为增函数知log4x1 [答案] 解析]数形结合判断 7.已知a0且a≠1,则两函数)=d和8()=12(-1)的图象只可能是() [答案] 解析]g(x)=l0g 其图象只能在y轴左侧,排除A、B 由C、D知,g(x)为增函数,∴a1 ∴y=a为增函数,排除D∴选C 8.下列各函数中,哪一个与y=x为同一函数() [答案] [解析]A:y=x(x≠0),定义域不同 B:y=x(x≥0),定义域不同 D:y=x(x>0)定义域不同,故选C 9.(上海大学附中2009~2010高一期末)下图为两幂函数y=x和y=2的图像,其中 B∈{-2,,2,3},则不可能的是()
∴log3xlogy3，∴B 错． ③由 y＝log4u 为增函数知 log4x 1 4 y，排除 D. 6．已知方程|x|－ax－1＝0 仅有一个负根，则 a 的取值范围是( ) A．a1 D．a≥1 [答案] D [解析] 数形结合判断． 7．已知 a>0 且 a≠1，则两函数 f(x)＝a x和 g(x)＝loga － 1 x 的图象只可能是( ) [答案] C [解析] g(x)＝loga － 1 x ＝－loga(－x)， 其图象只能在 y 轴左侧，排除 A、B； 由 C、D 知，g(x)为增函数，∴a>1， ∴y＝a x为增函数，排除 D.∴选 C. 8．下列各函数中，哪一个与 y＝x 为同一函数( ) A．y＝ x 2 x B．y＝( x) 2 C．y＝log33 x D．y＝2 log2x [答案] C [解析] A∶y＝x(x≠0)，定义域不同； B∶y＝x(x≥0)，定义域不同； D∶y＝x(x＞0)定义域不同，故选 C. 9．(上海大学附中 2009～2010 高一期末)下图为两幂函数 y＝x α和 y＝x β 的图像，其中 α， β∈{－ 1 2 ， 1 2 ，2,3}，则不可能的是( )
[答案]B 解析图A是y=x与y=;图C是y=x与y=x-1;图D是y=x与y=x-1,故 选B lo 10.(2010天津理,8)设函数fx)=1,1 若f(a)>f-a),则实数a的取值 los 范围是() A.(-1,0)U(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)U(1,+∞) D.(-∞,-1)U(0,1) [答案]C 「解析]解法1:由图象变换知函数∫x)图象如图,且∫-x)=-x),即fx)为奇函数 ∴a)f(-a化为fa)>0,∴当x∈(-1,0)U(1,+∞),(a)f(-a),故选C 解法2:当a>0时,由(a)-0得, logzaloga,∴a1;当a0时,由人a)>-o得 g2a)g(a),…-1x得:2(25+10x)>1001+5%,将已知条件代入验证知x=4,所以在2012年时满 足题意 12.(2010·山东理,4)设fx)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx)=2+2x+b(b为 常数),则f-1)=() B.1 [答案] [解析]∵八x)是奇函数,∴(0)=0,即0=20+b 故1)=2+2-1=3,∴-1)=-f(1)=-3 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 化简:(lg2)2+1g2lg5+lg [答案]1 [解析](1g2)2+lg2l 1g5
[答案] B [解析] 图 A 是 y＝x 2 与 y＝x 1 2 ；图 C 是 y＝x 3 与 y＝x－ 1 2 ；图 D 是 y＝x 2 与 y＝x－ 1 2 ，故 选 B. 10．(2010·天津理，8)设函数 f(x)＝ log2x， x>0， log1 2 (－x)， xf(－a)，则实数 a 的取值 范围是( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C [解析] 解法 1：由图象变换知函数 f(x)图象如图，且 f(－x)＝－f(x)，即 f(x)为奇函数， ∴f(a)>f(－a)化为 f(a)>0，∴当 x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，故选 C. 解法 2：当 a>0 时，由 f(a)>f(－a)得，log2a>log1 2 a，∴a>1；当 af(－a)得， log1 2 (－a)>log2(－a)，∴－1f(x)得：2(25＋10x)>100(1＋5%)x，将已知条件代入验证知 x＝4，所以在 2012 年时满 足题意． 12．(2010·山东理，4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝2 x＋2x＋b(b 为 常数)，则 f(－1)＝( ) A．3 B．1 C．－1 D．－3 [答案] D [解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即 0＝2 0＋b，∴b＝－1， 故 f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13．化简：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________. [答案] 1 [解析] (lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1
14.(09重庆理若/x)=1+a是奇函数,则a= [答案] [解析]∵x)为奇函数,∴f-1)=-f(1), 15.已知集合A={x12-9x+14=0},B={xax+2=0;若BA,则实数a的取值集合 答案]0,-1,-2 [解析]A={2,7},当a=0时,B=8 满足BA;当a≠0时,B={ 由B呆A知,-2=2或7,∴a=-1或-2 综上可知a的取值集合为0,-1, 16.已知x2>x,则x的范围为 [答案](-∞,0)U(1,+∞) [解析]解法l:y=x和y=x定义域都是R,y=x过一、二象限,y=x过一、三象限, ∴当x∈(-∞,0时xx3恒成立 x=0时,显然不成立 >0 1,即x1时x3x ∴x的取值范围为(-∞,0)U(1,+∞) 解法2:x0时,x>0x成 ∞>0时,将x看作指数函数的底数 ∵且x2 ∴x的取值范围是(-∞,0)U(1,+∞) [点评]变量与常量相互转化思想的应用 、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)用单调性定义证明函数x)2x+1在(-1,+∞)上是增函数 解析]证明:设x1>x2>-1,则 3(x1-x2) fx1)-f(x)= x1+1x+1(x1+1)(x2+1) ∵fx1)>f(x2) ∵x)在(-1,+∞)上是增函数 18.(本题满分12分)已知全集R,集合A={xx2+px+12=0},B={x2-5x+q=0}
14．(09·重庆理)若 f(x)＝ 1 2 x－1 ＋a 是奇函数，则 a＝________. [答案] 1 2 [解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， 即 1 2－1－1 ＋a＝－ 1 2－1 －a，∴a＝ 1 2 . 15．已知集合 A＝{x|x 2－9x＋14＝0}，B＝{x|ax＋2＝0}若 B A，则实数 a 的取值集合 为________． [答案] {0，－1，－ 2 7 } [解析] A＝{2,7}，当 a＝0 时，B＝∅ 满足 B A；当 a≠0 时，B＝{－ 2 a } 由 B A 知，－2 a ＝2 或 7，∴a＝－1 或－2 7 综上可知 a 的取值集合为{0，－1，－ 2 7 }． 16．已知 x 2 3 >x 3 5，则 x 的范围为________． [答案] (－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 解法 1：y＝x 2 3和 y＝x 3 5定义域都是 R，y＝x 2 3过一、二象限，y＝x 3 5过一、三象限， ∴当 x∈(－∞，0)时 x 2 3 >x 3 5恒成立 x＝0 时，显然不成立． 当 x∈(0，＋∞)时，x 2 3 >0，x 3 5 >0， ∴ ＝x 1 15>1，∴x>1，即 x>1 时 x 2 3 >x 3 5 ∴x 的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 解法 2：x0>x 3 5成立； x>0 时，将 x 看作指数函数的底数 ∵ 2 3 > 3 5 且 x 2 3 >x 3 5，∴x>1. ∴x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． [点评] 变量与常量相互转化思想的应用． 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分 12 分)用单调性定义证明函数 f(x)＝ x－2 x＋1 在(－1，＋∞)上是增函数． [解析] 证明：设 x1>x2>－1，则 f(x1)－f(x2)＝ x1－2 x1＋1 － x2－2 x2＋1 ＝ 3(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1) >0 ∴f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 18．(本题满分 12 分)已知全集 R，集合 A＝{x|x 2＋px＋12＝0}，B＝{x|x 2－5x＋q＝0}
若(CRA)∩B=(2},求p+q的值 [解析]∵(CRA)∩B={2},∴2∈B, 由B={ 0)}有4 q 此时B 5x+6}={2,3} 假设La中有3,则LA)nB={2,3}与)∩B={2}矛盾, 3∈R又3(RA), ∴3∈A,由A={xx2+px+12=0}有9+3+12=0 19.(本题满分12分)设xy4+2’若00 ,解得a>1. f1)=3+a>0 (2)∵方程一根大于2,一根小于2 f(2)1) (1)求函数的定义域和值域 (2)讨论fx)在其定义域内的单调性 (3)求证函数的图象关于直线y=x对称 [解析](1)解:由a-a>0得,a1 ∴x0且a-a>0 og(a-a)∈(-∞,1),即函数的值域为(-∞,1) (2)解:l=a-a在(-∞,1)上递减
若(∁RA)∩B＝{2}，求 p＋q 的值． [解析] ∵(∁RA)∩B＝{2}，∴2∈B， 由 B＝{x|x 2－5x＋q＝0}有 4－10＋q＝0，∴q＝6， 此时 B＝{x|x 2－5x＋6}＝{2,3} 假设∁RA 中有 3，则(∁RA)∩B＝{2,3}与(∁RA)∩B＝{2}矛盾， ∵3∈R 又 3∉(∁RA)， ∴3∈A，由 A＝{x|x 2＋px＋12＝0}有 9＋3p＋12＝0， ∴p＝－7.∴p＋q＝－1. 19．(本题满分 12 分)设 f(x)＝ 4 x 4 x＋2 ，若 0＜a＜1，试求： (1)f(a)＋f(1－a)的值； (2)f( 1 1 001)＋f( 2 1 001)＋f( 3 1 001)＋…＋f( 1 000 1 001)的值． [解析] (1)f(a)＋f(1－a)＝ 4 a 4 a＋2 ＋ 4 1－a 4 1－a＋2 ＝ 4 a 4 a＋2 ＋ 4 4＋2×4 a ＝ 4 a＋2 4 a＋2 ＝1 ∴f( 1 1001)＋f( 1 000 1001 )＝f( 2 1001)＋f( 999 1001) ＝…＝f( 500 1001)＋f( 501 1001)＝1.∴原式＝500. 20．(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x 2＋2ax＋2－a＝0 有两个不相等的实根，求分别满 足下列条件的 a 的取值范围． (1)方程两根都小于 1； (2)方程一根大于 2，另一根小于 2. [解析]设 f(x)＝x 2＋2ax＋2－a (1)∵两根都小于 1， ∴ Δ＝4a 2－4(2－a)>0 －2a0 ，解得 a>1. (2)∵方程一根大于 2，一根小于 2， ∴f(2)<0 ∴a<－2. 21．(本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝loga(a－a x )(a＞1)． (1)求函数的定义域和值域； (2)讨论 f(x)在其定义域内的单调性； (3)求证函数的图象关于直线 y＝x 对称． [解析] (1)解：由 a－a x＞0 得，a x＜a，∵a＞1， ∴x＜1，∴函数的定义域为(－∞，1) ∵a x＞0 且 a－a x＞0. ∴0＜a－a x＜a. ∴loga(a－a x )∈(－∞，1)，即函数的值域为(－∞，1)． (2)解：u＝a－a x在(－∞，1)上递减
y=log(a-a)在( )上递减 (3)证明:令fx)=y,则y=log(a-a), ∴a=a-a, ∵a=a-a,∴x=logn(a- 即反函数为y=log(a-a) ∴fx)=log(a-a)的图象关于直线y=x对称 [点评](1)本题给出了条件a>1,若把这个条件改为a>0且a≠1,就应分a>1与00,则由于x-10, x1x2+1>0. ∵fx)-f(x2)>0 ∵fx)>(x)即(x)在[-,上是减函数 若a0时,由(2知x)的最大值为 f-) 当a<0时,由2知/的最大值为=3
∴y＝loga(a－a x )在(－∞，1)上递减． (3)证明：令 f(x)＝y，则 y＝loga(a－a x )， ∴a y＝a－a x， ∴a x＝a－a y，∴x＝loga(a－a y )， 即反函数为 y＝loga(a－a x )， ∴f(x)＝loga(a－a x )的图象关于直线 y＝x 对称． [点评] (1)本题给出了条件 a＞1，若把这个条件改为 a＞0 且 a≠1，就应分 a＞1 与 0＜ a＜1 进行讨论．请自己在 0＜a＜1 的条件下再解答(1)(2)问． (2)第(3)问可在函数 f(x)的图象上任取一点，P(x0，y0)，证明它关于直线 y＝x 的对称点(y0， x0)也在函数的图象上． ∵y0＝loga(a－a x 0) ∴ay0＝a－ax0 即 a－ay0＝ax0 ∴f(y0)＝loga(a－a y 0)＝logaa x 0＝x0 ∴点(y0，x0)也在函数 y＝f(x)的图象上． ∴函数 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称． 22．(本题满分 14 分)已知函数 f(x)＝ ax x 2－1 的定义域为[－ 1 2 ， 1 2 ]，(a≠0) (1)判断 f(x)的奇偶性． (2)讨论 f(x)的单调性． (3)求 f(x)的最大值． [解析] (1)∵f(－x)＝ －ax x 2－1 ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)设－1 2 ≤x1＜x2≤ 1 2 ， f(x1)－f(x2)＝ ax1 x 2 1－1 － ax2 x 2 2－1 ＝ a(x2－x1)(x1x2＋1) (x 2 1－1)(x 2 2－1) 若 a＞0，则由于 x 2 1－1＜0，x 2 2－1＜0，x2－x1＞0， x1x2＋1＞0. ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)即 f(x)在[－ 1 2 ， 1 2 ]上是减函数 若 a＜0，同理可得，f(x)在[－ 1 2 ， 1 2 ]上是增函数． (3)当 a＞0 时，由(2)知 f(x)的最大值为 f(－ 1 2 )＝ 2 3 a. 当 a＜0 时，由(2)知 f(x)的最大值为 f( 1 2 )＝－ 2 3 a