数列求和方法3—错位相减 教学内容分析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第二章 中,学生在学习了等差数列和等比数列的通项公式以及前n项和公式的基础上, 学习了求和方法:公式法、分组求和法之后的第3种求和方法,主要体现数学 中的转化思想。即将不能直接求和的问题通过错位相减,转化为能用等比求和 的问题 重点:会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n 项和 难点:错位相减后的项数、符号问题,以及对转化数学思想的理解。 二.教学目标分析 1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的 数列前n项和。 2.过程与方法:通过两等式错位相减,将不能求和的问题转化成能用等比 数列求和的问题,在探究的过程中让学生体会数学的转化思想。 3.情感、态度与价值观:在问题导练的过程中,培养学生的探究能力、化 归能力、运算能力。 学情分析 本节课之前学生已经学习了等差和等比数列前n项和公式,数列求和方法: 公式法、分组求和法,在推导等比数列前n项和公式时,错位相减法已经使用 过,本节课需要再次阅读课本,探究方法,通过学生自己的努力学会错位相减 的流程,但是错位相减的目的、错位相减后的项数及符号需要在学生尝试练习、 巩固练习之后通过老师的引导、点评才能理解掌握。同时转化的数学思想更需 要在老师的启发中得以理解。 四.教学策略分析 数列求和方法一错位相减,需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中得到掌 握,此方法在等比数列前n项和公式推导过程中已经运用过,按照知识的发生、 发展过程和学生的思维规律,本节课首先给出用公式法和分组求和法能够解决 的两道练习题,对前一节内容进行复习,然后对第一道练习题目进行变式,设 置障碍,创设情境,把学生的注意力引到再读课本,探究方法,引出课题,再
数列求和方法 3——错位相减 一.教学内容分析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教 A 版必修 5 第二章 中，学生在学习了等差数列和等比数列的通项公式以及前 n 项和公式的基础上， 学习了求和方法：公式法、分组求和法之后的第 3 种求和方法，主要体现数学 中的转化思想。即将不能直接求和的问题通过错位相减，转化为能用等比求和 的问题。 重点：会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前 n 项和。 难点：错位相减后的项数、符号问题，以及对转化数学思想的理解。 二.教学目标分析 1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的 数列前 n 项和。 2.过程与方法：通过两等式错位相减，将不能求和的问题转化成能用等比 数列求和的问题，在探究的过程中让学生体会数学的转化思想。 3.情感、态度与价值观：在问题导练的过程中，培养学生的探究能力、化 归能力、运算能力。 三.学情分析 本节课之前学生已经学习了等差和等比数列前 n 项和公式，数列求和方法： 公式法、分组求和法，在推导等比数列前 n 项和公式时，错位相减法已经使用 过，本节课需要再次阅读课本，探究方法，通过学生自己的努力学会错位相减 的流程，但是错位相减的目的、错位相减后的项数及符号需要在学生尝试练习、 巩固练习之后通过老师的引导、点评才能理解掌握。同时转化的数学思想更需 要在老师的启发中得以理解。 四.教学策略分析 数列求和方法---错位相减，需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中得到掌 握，此方法在等比数列前 n 项和公式推导过程中已经运用过，按照知识的发生、 发展过程和学生的思维规律，本节课首先给出用公式法和分组求和法能够解决 的两道练习题，对前一节内容进行复习，然后对第一道练习题目进行变式，设 置障碍，创设情境，把学生的注意力引到再读课本，探究方法，引出课题，再
次尝试,提炼方法,限时训练,互命试题,让学生在层层练习中掌握方法,整 个设计过程中学生是学习的主体,老师仅仅是帮助者、服务者,这样设计重视 了新旧知识实质性联系,让重点知识和重要数学思想方法得到螺旋式巩固和提 五.教学活动的过程设计 (一)回顾旧知引出问题 1.让学生回顾已经学过的数列求和方法:(1)公式法;(2)分组求和法 2.出示练习:选择适当的方法进行数列求和 (1)S=1+x+x2+x3+…+xn (x≠0且x≠1) (2)S=1+2+3+…+[n+()"] 学生:思考后个别回答 教师:进行点评,积极肯定. 3.出示(1)的变式: sn=1+2x+3x2+…nxn-1(x≠O且x≠1) 老师:能用公式法、分组求和法解决这个问题吗? 学生:积极思考,急于想解决却又没办法. 【设计意图:通过复习,变式设置障碍,创设情境,学生急切想用已经学过 的知识解决新问题,但是学生肯定会碰壁的.从而激发学生的求知欲.】 (二)方法初探课本再读 1.阅读高中数学课本必修五P3,等比数列前n项和公式的推到过程(3分钟) 2.要求学生找出推导过程中的两个很重要的做法 学生:阅读3分钟,积极回答两个很重要的做法是什么 老师:点评、引导。引出课题,并板书课题:数列求和方法3-错位相减 【设计意图:从旧知识出发,探究出新的内容,使新旧知识建立实质性联系。 培养了学生重视课本学习,认真阅读课本,探究课本中隐含的深层内容、解题 方法、数学思想的习惯.】 (三)尝试探究形成方法 1.让学生模仿等比数列前n项和公式的推导的方法,尝试(1)的变式(8 分钟) n=1+2x+3x2+…nxn-1(x≠0且x≠1) 学生:学生积极尝试(1名学生上黑板尝试)
次尝试，提炼方法，限时训练，互命试题，让学生在层层练习中掌握方法，整 个设计过程中学生是学习的主体，老师仅仅是帮助者、服务者，这样设计重视 了新旧知识实质性联系，让重点知识和重要数学思想方法得到螺旋式巩固和提 高。 五.教学活动的过程设计 （一）回顾旧知 引出问题 1.让学生回顾已经学过的数列求和方法：（1）公式法；（2）分组求和法. 2.出示练习：选择适当的方法进行数列求和： 学生：思考后个别回答. 教师：进行点评，积极肯定. 3.出示（1）的变式： （ x 0且x 1 ） 老师：能用公式法、分组求和法解决这个问题吗？ 学生：积极思考，急于想解决却又没办法. 【设计意图：通过复习，变式设置障碍，创设情境，学生急切想用已经学过 的知识解决新问题，但是学生肯定会碰壁的.从而激发学生的求知欲.】 （二）方法初探 课本再读 1.阅读高中数学课本必修五 P55 ,等比数列前 n 项和公式的推到过程（3 分钟） 2.要求学生找出推导过程中的两个很重要的做法. 学生：阅读 3 分钟，积极回答两个很重要的做法是什么. 老师：点评、引导。引出课题，并板书课题：数列求和方法 3---错位相减. 【设计意图：从旧知识出发，探究出新的内容，使新旧知识建立实质性联系。 培养了学生重视课本学习，认真阅读课本，探究课本中隐含的深层内容、解题 方法、数学思想的习惯.】 （三）尝试探究 形成方法 1.让学生模仿等比数列前 n 项和公式的推导的方法，尝试（1）的变式（8 分钟）： （ x 0且x 1 ） 学生：学生积极尝试（1 名学生上黑板尝试）. ) ] 2 1 [ ( 8 1 3 4 1 2 2 1 (2). 1 (1). 1 ( 0 1) 2 3 1 n n S n S x x x x x x = + + + + + = + + + + + − 且
老师:巡回看学生尝试的情况. 2.针对黑板上学生解题过程,启发提问学生: (1)由①式如何得到②式? (2)如何错位相减?怎么规范书写? (3)错位相减后的项的符号对不对? (4)对错位相减后的结果如何求和?有多少项? 老师:启发、引导,提问个别学生 学生:积极思考后,回答问题. 3.思考问题:(小组讨论3分钟) (1)数列通项公式满足什么结构(特征)的时候可以用错位相减求和? (2)错位相减过程中应注意什么?易错点在哪儿? (3)错位相减过程体现了一个很重要的数学思想是什么? 老师:让学生小组讨论后,启发、引导,提问个别学生. 学生:小组讨论后,积极回答问题. 【设计意图:学生是学习的主体,让学生在尝试、探究的过程中提炼方法,教 师仅仅在学生学习过程中起到引导、服务的作用.让学生充分暴露解题过程中的 错误,通过教师的点评、引导,使学生学会错位相减的操作流程,规范书写 明确易错点,体会其中蕴含的数学思想方法】 (四)再次尝试初用方法 1.出示练习,限时规范训练(6分钟) 已知数列{an}的通项公式为an=(2n-1)3”,求数列{an}前n项和S 学生:积极训练.(1名学生在黑板上展示) 老师:巡回看学生的训练情况 2.针对黑板上学生解题过程,启发提问学生: (1)该数列通项公式的结构满足错位相减法的条件吗? (2)如何错位相减?书写格式上应注意什么? (3)错位相减后的结果的符号有没有问题?那些项可以用等比数列求和? 有多少项 老师:针对黑板解题过程,提问个别学生. 学生:积极思考,积极回答问题. 【设计意图:通过对方法的再次应用,考察他们对判断通项的结构,错位相
老师：巡回看学生尝试的情况. 2. 针对黑板上学生解题过程，启发提问学生： （1）由○1 式如何得到○2 式？ （2）如何错位相减？怎么规范书写？ （3）错位相减后的项的符号对不对？ （4）对错位相减后的结果如何求和？有多少项？ 老师：启发、引导，提问个别学生. 学生：积极思考后，回答问题. 3.思考问题：（小组讨论 3 分钟） (1)数列通项公式满足什么结构（特征）的时候可以用错位相减求和？ （2）错位相减过程中应注意什么？易错点在哪儿？ （3）错位相减过程体现了一个很重要的数学思想是什么？ 老师：让学生小组讨论后，启发、引导，提问个别学生. 学生：小组讨论后，积极回答问题. 【设计意图:学生是学习的主体，让学生在尝试、探究的过程中提炼方法，教 师仅仅在学生学习过程中起到引导、服务的作用.让学生充分暴露解题过程中的 错误，通过教师的点评、引导，使学生学会错位相减的操作流程，规范书写， 明确易错点，体会其中蕴含的数学思想方法】 （四）再次尝试 初用方法 1.出示练习，限时规范训练（6 分钟） 已知数列 an 的通项公式为 n an = (2n −1)3 ，求数列 an 前 n 项和 n S . 学生：积极训练.（1 名学生在黑板上展示） 老师：巡回看学生的训练情况 2. 针对黑板上学生解题过程，启发提问学生： （1）该数列通项公式的结构满足错位相减法的条件吗？ （2）如何错位相减？书写格式上应注意什么？ （3）错位相减后的结果的符号有没有问题？那些项可以用等比数列求和？ 有多少项？ 老师：针对黑板解题过程，提问个别学生. 学生：积极思考，积极回答问题. 【设计意图:通过对方法的再次应用，考察他们对判断通项的结构，错位相
减的流程、规范书写、易错点的掌握情况,进一步体会转化的数学思想】 (五)互命试题能力提升 1.要求:2人一组,互相出题,测试对方.(6分钟后,抽出3名学生的成果 在展台上展示,比较谁的过程书写规范,易错的地方有没有出错) 学生:互相出题,积极训练. 老师:巡回看学生训练情况. 2.展示3名学生的成果 (1)出的题目中数列通项的结构满足错位相减的条件吗? (2)错位相减后的项数和符号正确吗? (3)错位相减的书写格式是否规范? 老师:针对这3名学生的解题过程提问,让学生回答,并进行点评、表扬 学生:看展台上的解题过程,积极回答老师的提问. 【设计意图:互命试题,可以让学生积极参与到出题、训练过程中,既考察了 对能用错位相减法求和的数列通项结构的判断,又考察了错位相减的流程、易 错点的把握,通过展示成果,进一步培养学生规范书写的良好习惯.】 (六)课堂小结,方法巩固 1.错位相减法解决数列求和的一般步骤是什么?(小组讨论3分钟) 老师:让学生讨论3分钟后,启发提问个别学生: (1)判断结构,如何判断? (2)乘公比,乘公比后产生的②式如何规范书写? (3)错位相减,如何相减?相减后结果的符号如何判断?相减后结果中能 用等比数列求和的项的个数如何判断? (4)求和,化简整理,求出T,要细心计算,化到最简. 学生:积极回答. 2.错位相减法体现了一个很重要的数学思想是什么? 老师:提问个别学生 学生:积极回答. 【设计意图:通过启发、提问个别学生,归纳错位相减法求和的一般步骤和 数学思想方法,使学生在错位相减的应用以及转化的数学思想方法理解进一步 得到提高,同时,培养了学生解题后反思、总结的良好习惯.】 (七)作业布置,课后延伸
减的流程、规范书写、易错点的掌握情况，进一步体会转化的数学思想】 （五）互命试题 能力提升 1.要求：2 人一组，互相出题，测试对方.(6 分钟后，抽出 3 名学生的成果 在展台上展示，比较谁的过程书写规范，易错的地方有没有出错) 学生：互相出题，积极训练. 老师：巡回看学生训练情况. 2．展示 3 名学生的成果： （1）出的题目中数列通项的结构满足错位相减的条件吗？ （2）错位相减后的项数和符号正确吗？ （3）错位相减的书写格式是否规范？ 老师：针对这 3 名学生的解题过程提问，让学生回答，并进行点评、表扬. 学生：看展台上的解题过程，积极回答老师的提问. 【设计意图：互命试题，可以让学生积极参与到出题、训练过程中，既考察了 对能用错位相减法求和的数列通项结构的判断，又考察了错位相减的流程、易 错点的把握，通过展示成果，进一步培养学生规范书写的良好习惯.】 （六）课堂小结，方法巩固 1.错位相减法解决数列求和的一般步骤是什么？（小组讨论 3 分钟） 老师：让学生讨论 3 分钟后，启发提问个别学生： （1）判断结构，如何判断？ （2）乘公比，乘公比后产生的○2 式如何规范书写？ （3）错位相减，如何相减？相减后结果的符号如何判断？相减后结果中能 用等比数列求和的项的个数如何判断？ （4）求和，化简整理，求出 Tn ,要细心计算，化到最简. 学生：积极回答. 2.错位相减法体现了一个很重要的数学思想是什么？ 老师：提问个别学生. 学生：积极回答. 【设计意图：通过启发、提问个别学生，归纳错位相减法求和的一般步骤和 数学思想方法 ，使学生在错位相减的应用以及转化的数学思想方法理解进一步 得到提高，同时，培养了学生解题后反思、总结的良好习惯.】 （七）作业布置，课后延伸
1.求和:Sn=1+2x+3x2+…+mx(x∈R 同步课时作业
1.求和： 1 2 3 ( ) 2 1 S x x nx x R n n = + + + + − 2.同步课时作业