研究性学习:“雪花曲线的初步探究”教学设计 目的要求 L.能力目标:培养学生搜集资料,分析资料,提出问题,解决问题,得出科学结论的 数学研究能力、创新能力以及人际交往能力和协作能力. 2.知识目标:使学生进一步巩固数列的基础知识;培养学生应用数列知识解决实 际问题的能力;使学生初步了解分形( Fr a1)这门新型学科 3.情感目标:培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点 内容分析 1.“研究性课题”是本套教科书的一个专题性栏目,也是本套教科书的特色之 在“研究性课题”里讨论的问题,一般具有专题性,应用性和探究性。它既是所 学知识的实际应用,又对学生探究问题和解决问题具有较好的训练价值。它与教科书 中的“实习作业”有一定的共同点,但“实习作业”更偏重于实践性,而“研究性课 题”则显得探究性更强。 2.数学研究性学习以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的,主要通过与数 学学科内容相关的课题,在教师的指导下,学生作为主体参与、体验问题提出和解决的 全过程,使学生不但发展思维能力,而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法, 提高学生的科学精神和人格素质。 3.“数学研究性学习”的突出特点主要体现在以下几个方面: (1)较高的抽象性。数学是“一种研究思想事物的科学”,决定了数学研究性学习 的较髙的抽象性。这种抽象性表现在它的特殊抽象内容、特殊抽象方法、特殊抽象程 度。如果说其他学科研究可以采用实验的手段,那么数学研究经常借助的是“思想实 (2)广阔的开放性是研究性学习的基本特点。数学科学体系本身是开放的,学生的 思维活动也是开放性的,数学为学生个体施展才华提供了广阔的知识空间。数学研究 需要思维自由想象基础上的选择与构造,决定了数学研究性学习有着广阔的开放性。 数学研究性学习与传统的数学教学活动相比在学习的内容、方式、时间和地点以及 研究过程、方法和结果等方面具有明显的开放性。 (3)较深刻的探究性数学是培养创造性思维的优良载体,决定了数学研究性学习有 着较深刻的探究性。数学是具有创新意识的知识主体,知识主体培养创新意识的潜能 需要探究性学习方式来开发。因此探究性是数学研究性学习的核心。布鲁纳说:“探 索是数学的生命线。”数学是在人类认识世界和不断探索未知领域中形成和发展的。 学生通过数学研究性学习,探究、揭示事物的本质规律和特点的过程,获得探究过程 的体验与探究问题的科学方法,发展其思维的探究性与创造性思维。总之,数学研究 性学习不应是学习一个数学知识或方法去探究其应用,而是在探究过程中获取数学知 识或方法。探究不是目的,而是手段,通过探究性学习过程开发学生的创新意识。 4.本次探究活动的选题,从日常生活中的雪花为切入点,利用课本的基础知识(主
研究性学习：“雪花曲线的初步探究”教学设计 一、目的要求 1.能力目标:培养学生搜集资料,分析资料,提出问题,解决问题,得出科学结论的 数学研究能力、创新能力以及人际交往能力和协作能力. 2.知识目标:使学生进一步巩固数列的基础知识;培养学生应用数列知识解决实 际问题的能力;使学生初步了解分形(Ｆｒａｃｔａｌ)这门新型学科. 3.情感目标:培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点. 二、内容分析 1．“研究性课题”是本套教科书的一个专题性栏目，也是本套教科书的特色之 一。在“研究性课题”里讨论的问题，一般具有专题性，应用性和探究性。它既是所 学知识的实际应用，又对学生探究问题和解决问题具有较好的训练价值。它与教科书 中的“实习作业”有一定的共同点，但“实习作业”更偏重于实践性，而“研究性课 题”则显得探究性更强。 2．数学研究性学习以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的,主要通过与数 学学科内容相关的课题,在教师的指导下,学生作为主体参与、体验问题提出和解决的 全过程,使学生不但发展思维能力,而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法, 提高学生的科学精神和人格素质。 3． “数学研究性学习”的突出特点主要体现在以下几个方面： ⑴较高的抽象性。数学是“一种研究思想事物的科学”，决定了数学研究性学习 的较高的抽象性。这种抽象性表现在它的特殊抽象内容、特殊抽象方法、特殊抽象程 度。如果说其他学科研究可以采用实验的手段，那么数学研究经常借助的是“思想实 验”。 ⑵广阔的开放性是研究性学习的基本特点。数学科学体系本身是开放的，学生的 思维活动也是开放性的，数学为学生个体施展才华提供了广阔的知识空间。数学研究 需要思维自由想象基础上的选择与构造，决定了数学研究性学习有着广阔的开放性。 数学研究性学习与传统的数学教学活动相比,在学习的内容、方式、时间和地点以及 研究过程、方法和结果等方面具有明显的开放性。 ⑶较深刻的探究性数学是培养创造性思维的优良载体，决定了数学研究性学习有 着较深刻的探究性。数学是具有创新意识的知识主体，知识主体培养创新意识的潜能 需要探究性学习方式来开发。因此探究性是数学研究性学习的核心。布鲁纳说：“探 索是数学的生命线。”数学是在人类认识世界和不断探索未知领域中形成和发展的。 学生通过数学研究性学习，探究、揭示事物的本质规律和特点的过程,获得探究过程 的体验与探究问题的科学方法，发展其思维的探究性与创造性思维。总之，数学研究 性学习不应是学习一个数学知识或方法去探究其应用，而是在探究过程中获取数学知 识或方法。探究不是目的，而是手段，通过探究性学习过程开发学生的创新意识。 4．本次探究活动的选题，从日常生活中的雪花为切入点，利用课本的基础知识(主
要是数列知识),去了解科学前沿知识。其优点表现在学生对问题非常感兴趣,所用 知识来源于课本,而得出的结果却很前沿,使学生喜欢进行探究性学习,排除心理障 碍,探究性学习并不神秘、可怕,而是很有趣的,这样有利于培养学生积极地去发现 问题、提出问题、分析问题和解决问题,在探究过程中提髙创新能力。 三、教学过程 1.准备阶段: 分组:班级中的学生按每6人进行自愿分组然后教师对个别小组成员进行调整, 尽量保证每组都有计算机基础较好、数学基础较好、语言表达能力较强和书写较好的 学生各一名。 2.课题引入 (1)创设情景:大屏幕上显示漫天飞雪的情景,并且对某一雪花进行定格。引导学 生观察雪花的形状是怎样的?它又有什么特性呢?从而引入研究的课题。 (2)解释迭代规则(见图) 1904年瑞典数学家科赫(HVon.Koch)讲述了一种描绘“雪花曲线”的方 法:第一步先给出一个正三角形(记为P1),然后把三角形的每一条边三等分,以 居中的一条线段为边向外作正三角形,并把居中的线段去掉,这一操作常称作迭代规 则,于是生成了一个有6个角12条边的对象(记为P2) 第二步在对象P2的基础上,将每条小边三等分,然后以居中的一条线段为边 向外作正三角形,并把居中的线段去掉,又生成一新对象(记为P3),以后重复此操 作,如此一直进行下去……最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花 曲线”。 3.研究过程 (一)雪花曲线的研究 请各小组在纸上绘出对象P2的图形,让学生亲身体验“雪花曲线”的生成过 程。巡视各小组的情况,有个别小组出现错误(主要是向三角形内部作迭代),针对出 现的问题进行指导;找两份报告,通过实物投影仪一起评价其正确性,并对好的进行 表扬。并在大屏幕上显示一个正三角形进行1~5次的迭代过程。 提问1:刚才大家都体验了“雪花曲线”的生成过程从你们作出的图形来看,发 现“雪花曲线”有何特点? 学生答:“雪花曲线”是一条连续的折线;并且是闭合的;曲线到处长满了“角”; 当迭代越来越多时,“角”的个数也越来越多,并且“角”越来越小;曲线向外生长 越来越慢 提问2:如果从数的方面,你们准备从哪些方面来研究“雪花曲线”呢? 学生答:可以研究“雪花曲线”的边长和边数,“角”的个数,“角”的个数和边 数的关系,周长和面积 提问3:下面从边长、边数、周长和面积等数量方面入手,来研究“雪花曲线” 的特性。为了交流研究结果的方便,统一数据:设原三角形(P1)的边长为a1、边数 为b1、周长为L1、面积为S1,依次所得的“雪花曲线”(Pn)的边长为an、边数 为ba、周长为Ln、面积为Sn,并绘制出表格(投影显示)。(为建立数学模型作准备)
要是数列知识)，去了解科学前沿知识。其优点表现在学生对问题非常感兴趣，所用 知识来源于课本，而得出的结果却很前沿，使学生喜欢进行探究性学习，排除心理障 碍，探究性学习并不神秘、可怕，而是很有趣的，这样有利于培养学生积极地去发现 问题、提出问题、分析问题和解决问题，在探究过程中提高创新能力。 三、教学过程 1．准备阶段： 分组：班级中的学生按每 6 人进行自愿分组,然后教师对个别小组成员进行调整， 尽量保证每组都有计算机基础较好、数学基础较好、语言表达能力较强和书写较好的 学生各一名。 2．课题引入： ⑴创设情景：大屏幕上显示漫天飞雪的情景，并且对某一雪花进行定格。引导学 生观察雪花的形状是怎样的?它又有什么特性呢?从而引入研究的课题。 ⑵ 解释迭代规则(见图) 1904 年瑞典数学家科赫(Ｈ.Ｖｏｎ.Ｋｏｃｈ)讲述了一种描绘“雪花曲线”的方 法：第一步 先给出一个正三角形(记为Ｐ1)，然后把三角形的每一条边三等分，以 居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，这一操作常称作迭代规 则，于是生成了一个有 6 个角 12 条边的对象(记为Ｐ2)。 第二步 在对象Ｐ2 的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边 向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象(记为Ｐ3)，以后重复此操 作，如此一直进行下去……最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花 曲线”。 3．研究过程： （一）雪花曲线的研究 请各小组在纸上绘出对象Ｐ2 的图形，让学生亲身体验“雪花曲线”的生成过 程。巡视各小组的情况，有个别小组出现错误(主要是向三角形内部作迭代)，针对出 现的问题进行指导；找两份报告，通过实物投影仪一起评价其正确性，并对好的进行 表扬。并在大屏幕上显示一个正三角形进行 1～5 次的迭代过程。 提问 1：刚才大家都体验了“雪花曲线”的生成过程,从你们作出的图形来看,发 现“雪花曲线”有何特点? 学生答：“雪花曲线”是一条连续的折线；并且是闭合的；曲线到处长满了“角”； 当迭代越来越多时，“角”的个数也越来越多，并且“角”越来越小；曲线向外生长 越来越慢。 提问 2：如果从数的方面，你们准备从哪些方面来研究“雪花曲线”呢? 学生答：可以研究“雪花曲线”的边长和边数，“角”的个数，“角”的个数和边 数的关系，周长和面积。 提问 3：下面从边长、边数、周长和面积等数量方面入手，来研究“雪花曲线” 的特性。为了交流研究结果的方便，统一数据：设原三角形(Ｐ1)的边长为ａ1、边数 为ｂ1、周长为Ｌ1、面积为Ｓ1，依次所得的“雪花曲线”(Ｐｎ)的边长为ａｎ、边数 为ｂｎ、周长为Ｌｎ、面积为Ｓｎ，并绘制出表格(投影显示)。(为建立数学模型作准备)
第一步研究对象P,与Pn,边长之间的关系。由a2=1 得 a Ic 第二步研究对象P。与Pn1边数之间的关系。由b =4b2, =4bn1,得bn=4-b 第三步研究对象Pn与Pn周长之间的关系。由L2=a2b2,L3=a3b3, bn,得L。 b 第四步研究对象Pn与Pn面积之间的关系。因为P2是在P1的每条边上再生 成一个小三角形,于是S2=S1+3×a2,同理对象Pn是在Pn1的每条边上再生 成一个小三角形,于是对象P的面积等于Pa的面积加上bn个新增小三角形的面 积,即Sn=Sm+ bn.x-a2,然后把bm和an的表达式代入上式, 得Sn=S,+3、(4) 4s1,于是可以利用累加的方法。 So-=S x/4) S2=S S1, 累加,得Sa=S1+ Is S 9 提问4:数列{an}、{bn}、{La}、{Sa}有什么特点? 学生答:①数列{an}、{ba}、{La}都是等比数列; ②数列{bn}、{Ln}、{S。}都是递增数列,数列{aa}是递减数列;
第一步 研究对象Ｐｎ与Ｐｎ-1 边长之间的关系。由ａ2= 3 1 ａ1，ａ3= 3 1 ａ2，…，ａ ｎ= 3 1 ａｎ-1，得ａｎ= 1 3 1 − n ａ1。 第二步 研究对象Ｐｎ与Ｐｎ-1 边数之间的关系。由ｂ2=4ｂ1，ｂ3=4ｂ2，…，ｂｎ =4ｂｎ-1，得ｂｎ= 1 4 n− ｂ1。 第三步 研究对象Ｐｎ与Ｐｎ-1 周长之间的关系。由Ｌ2=ａ2ｂ2，Ｌ3=ａ3ｂ3，…， Ｌｎ=ａｎｂｎ，得Ｌｎ= 1 3 4 − n ａ1ｂ1。 第四步 研究对象Ｐｎ与Ｐｎ-1 面积之间的关系。因为Ｐ2 是在Ｐ1 的每条边上再生 成一个小三角形，于是Ｓ2=Ｓ1+3× 4 3 ａ2 2，同理对象Ｐｎ是在Ｐｎ-1 的每条边上再生 成一个小三角形，于是对象Ｐｎ的面积等于Ｐｎ-1 的面积加上ｂｎ-1 个新增小三角形的面 积, 即Ｓｎ=Ｓｎ-1+ｂｎ-1× 2 4 3 an ，然后把ｂｎ-1 和ａｎ的表达式代入上式， 得Ｓｎ=Ｓｎ-1+ 4 3 × 1 9 4 − n Ｓ1，于是可以利用累加的方法。 Ｓｎ=Ｓｎ-1+ 4 3 × 1 9 4 − n Ｓ1， Ｓｎ-1=Ｓｎ-2+ 4 3 × 2 9 4 − n Ｓ1， …… Ｓ2=Ｓ1+ 4 3 × 9 4 Ｓ1， 累加，得Ｓｎ=Ｓ1 + 4 3 [ 9 4 + 2 9 4 +…+ 1 9 4 − n ]Ｓ1 =Ｓ1 + 5 3 [1- 1 9 4 − n ]Ｓ1 Ｓｎ=[ 5 8 - 5 3 1 9 4 − n ]·Ｓ1。 提问 4：数列{ａｎ}、{ｂｎ}、{Ｌｎ}、{Ｓｎ}有什么特点? 学生答：①数列{ａｎ}、{ｂｎ}、{Ｌｎ}都是等比数列； ②数列{ｂｎ}、{Ｌｎ}、{Ｓｎ}都是递增数列，数列{ａｎ}是递减数列；
③由于{bn}、{Ln}的公比大于1,{an}的公比小于1,根据函数的图 象可知,随着n趋近于+∞,ba、Ln的值趋近于+∞,an的值趋近于 0:同理可知Sn的值趋近于3s1 提问5:请大家总结出“雪花曲线”的特性 学生答:由③可知,“雪花曲线”的边数有无穷多;周长为无穷大;雪花曲线围 成的面积是有限的。 板书研究结论:(1)雪花曲线是一条边数有无穷多,到处是尖端,不光滑的、连 续的封闭折线; (2)雪花曲线的周长为无穷大,而它所围成的面积是有限的。 二)研究拓展(介绍更多的有关知识激发学生课后去探索的兴趣) 结论1说明“雪花曲线”有许许多多的折点,到处都是尖端,用数学语言来讲, 曲线虽然连续,但处处不可微。即没有切线。这是说明“连续并不一定可微”的一个 经典例子,请各小组课后去查阅有关资料,对其做更深一步的了解。由于“雪花曲线” 具有结论2这一特点,当时许多数学家认为“雪花曲线”是一个“怪物”,它是高度 “病态”的,因此对它不屑一顾,认为毫无用处(因为它对传统的欧氏几何形成巨大 的冲击)。直到1975年美籍数学家波努瓦·芒德勃罗(B.B. Mandelbor t 创立了分形理论,才得到“平反”,而且使“雪花曲线”成为分形学科研究的一个典 型例子。 提问1:请观察“雪花曲线”中部分与整体有何关系? 学生答:相似。 总结:把对象的细微部分放大后,其结构看起来仍与原先的一样,即图形的每 部分都和它本身的形状相同,大小不一定相同,这一相似特性叫做自相似性。如一根 树枝,宛如一棵大树的缩小。呈现出明显的自相似性。这与圆形成了鲜明的对比,把 圆的一部分放大后便变得比较平直。分形( f r a ct a l)指具有多重自相似的对象 (板书),它可以是自然存在的,也可以是人造的。 提问2:大家平常吃的一种蔬菜,也具有分形结构,谁能说出来吗? 学生答:花菜! 请各小组课后访问有关分形知识的网页,了解分形的有关知识(如分形的创始人 分形的实例、分形图案、分形故事、分形软件和分形的应用等),并把自己感兴趣的 内容下载下来 4.课后研究材料波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915~1916年期间。为实变函 数理论构造了几个典型的例子。这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海 绵”、“谢氏墓垛”。请各小组通过査找资料,了解这些怪物,并选择其中一个进行研 究、探索,并写一篇研究小报告
③由于{ｂｎ}、{Ｌｎ}的公比大于 1，{ａｎ}的公比小于 1，根据函数的图 象可知，随着ｎ趋近于+∞，ｂｎ、Ｌｎ的值趋近于+∞，ａｎ的值趋近于 0；同理可知Ｓｎ的值趋近于 5 8 Ｓ1。 提问 5：请大家总结出“雪花曲线”的特性。 学生答：由③可知,“雪花曲线”的边数有无穷多；周长为无穷大；雪花曲线围 成的面积是有限的。 板书研究结论：(1)雪花曲线是一条边数有无穷多，到处是尖端，不光滑的、连 续的封闭折线； (2)雪花曲线的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的。 （二） 研究拓展(介绍更多的有关知识,激发学生课后去探索的兴趣) 结论 1 说明“雪花曲线”有许许多多的折点，到处都是尖端，用数学语言来讲， 曲线虽然连续，但处处不可微。即没有切线。这是说明“连续并不一定可微”的一个 经典例子，请各小组课后去查阅有关资料，对其做更深一步的了解。由于“雪花曲线” 具有结论 2 这一特点，当时许多数学家认为“雪花曲线”是一个“怪物”，它是高度 “病态”的，因此对它不屑一顾，认为毫无用处(因为它对传统的欧氏几何形成巨大 的冲击)。直到 1975 年美籍数学家波努瓦·芒德勃罗(Ｂ.Ｂ.Ｍａｎｄｅｌｂｏｒｔ) 创立了分形理论，才得到“平反”，而且使“雪花曲线”成为分形学科研究的一个典 型例子。 提问 1：请观察“雪花曲线”中部分与整体有何关系? 学生答：相似。 总结：把对象的细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样，即图形的每一 部分都和它本身的形状相同，大小不一定相同，这一相似特性叫做自相似性。如一根 树枝，宛如一棵大树的缩小。呈现出明显的自相似性。这与圆形成了鲜明的对比，把 圆的一部分放大后便变得比较平直。分形(ｆｒａｃｔａｌ)指具有多重自相似的对象 (板书)，它可以是自然存在的，也可以是人造的。 提问 2：大家平常吃的一种蔬菜，也具有分形结构，谁能说出来吗? 学生答：花菜! 请各小组课后访问有关分形知识的网页，了解分形的有关知识(如分形的创始人、 分形的实例、分形图案、分形故事、分形软件和分形的应用等)，并把自己感兴趣的 内容下载下来。 4． 课后研究材料波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915～1916 年期间。为实变函 数理论构造了几个典型的例子。这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海 绵”、“谢氏墓垛”。请各小组通过查找资料，了解这些怪物，并选择其中一个进行研 究、探索，并写一篇研究小报告