等差数列的前项和 的性质及应用
复习回顾 等差数列的前n项和公式 形式1:S n (a, +a,) 形式2: n(n-1) s=na,+ 2
等差数列的前n项和公式: 2 ) 1 n n n a a S + = （ d n n Sn na 2 1) 1 − = + （ 形式1: 形式2: 复习回顾
1.将等差数列前n项和公式 s=na,+ n(n-1)d 2 看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点? S,=-n+(a 令小42 2 B=a 2L则S=Aun+Bn 当d≠0时,S是常数项为零的二次函数
1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 2 ( 1) 1 n n d Sn na − = + 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 2 1 ( ) 2 2 n d d S n a n = + − 则 Sn=An2 令 1 +Bn , 2 2 d d A B a = = −
等差数列的前m项的最值问题 例1已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S1, 求m取何值时,Sn取最大值 解法1由S3=S1得 3×13+-×3×2xd=11×13+-×11×10xd 2 2 d=-2 Sn=13n+-n(n-1)×(-2) =-n2+14n=-(n-7)+49 当n=7时,Sn取最大值49
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an }中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 1 1 3 13 3 2 11 13 11 10 2 2 + = + d d ∴ d=－2 1 13 ( 1) ( 2) 2 = + − − S n n n n 2 = − + n n 14 2 = − − + ( 7) 49 n ∴当n=7时,Sn取最大值49
等差数列的前m项的最值问题 例1已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S1, 求m取何值时,Sn取最大值 解法2由S3=S1得=-2<0 则Sn的图象如图所示 又S3=Sn 所以图象的对称轴为 3+11 7 3711 ∵当n=7时Sn取最大值49
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an }中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 3 11 7 2 n + = = 7 n 3 11 Sn
等差数列的前m项的最值问题 例1已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S1, 求m取何值时,Sn取最大值 解法3由S3S1得d=-2 ∴an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15 15 a≥0 n≤ 由 a,≤0 得 13 n+1 n≥ ∴当n-7时,Sn取最大值49
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an }中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 1 0 0 n n a a + 得 15 2 13 2 n n
等差数列的前m项的最值问题 例1已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S1, 求m取何值时,Sn取最大值 解法4由S3=S1得 a4+a5+a6+ ●●。●● 1 =0 而a4+a1=a5+a10=a+a=a,+a3 十 8 0 又d=-20 an7>0,aQ<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49
∴a7+a8=0 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an }中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9 =a7+a8 又d=－20 ∴a7>0,a8<0
求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1:由Sn=n2+(a1-)m利用二次函 数的对称轴求得最值及取得最值时的m的值 方法2利用an的符号①当a1>0,40且an+≤0求得 ②当a10时数列前面有若千项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值其m的值 由an0且an1≥0求得
求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1:由 利用二次函 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 2 1 ( ) 2 2 n d d S n a n = + − 方法2:利用an的符号①当a1>0,d0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得
练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 A12B.13C.12或13D14
练习:已知数列{an }的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14 C
2等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前m项的和为Sn,则有 性质1Sn,S2n-SnS3n-S2n,…也在等差数列, 公差为n2 性质2若Sm=pm(m则Smp-(m+p) 性质3若Sm=S2m邦)则Sm=10 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2)=n(an+an+)(anan+1为中 间两项, 此时有S本u/+1
2.等差数列{an }前n项和的性质 性质1:Sn ,S2n－Sn ,S3n－S2n, …也在等差数列, 公差为 在等差数列{an }中,其前n项的和为Sn ,则有 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p = 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m = 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an ,an+1为中 间两项), 此时有:S偶－S奇= , S S = 奇 偶 n 2d 0 nd 1 n n a a + － (m+p)