课题:2.3.2等差数列的前n项和(2) 【学习目标】1.熟练掌握等差数列前n项和的性质,并能灵活运用 2.掌握等差数列前n项和的最值问题 【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式 【学习难点】灵活应用求和公式解决最值问题. 【授课类型】新授课 【学习方法】诱思探究法 【学习过程】 、复习引入:首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.前n项和Sn与a之间的关系对任意数列{an},Sn是前n项和,Sn与a的关 系可以表示为an= 2.等差数列的前n项和公式:S n(a,+a,) s=nd n(n-1)d 2 3.若等差数列{a}的前n项和公式为Sn=An2+Bn+C 则A= 二、新课学习: [问题情境] 1.如果{a3}是一个等差数列,那么如何求{|a}的前n项和的最值呢?有几种 求法?该怎么求? 2.如果{a}是一个等差数列,那么{al还是等差数列吗?如果不再是等差数 列,如何求{a}的前n项和? 这一节课我们就来解答上面的问题 探究按要求,把下列表格填充完整,并观察使等差数列前n项 和Sn取到最值时序号n的规律 序 号 等差数列 基本量 前n项 和Sr Sn的最值 1|1,3,5,7,9,…, a1=,d=. Sn=(Sn)min=,n= 2 5,-3,-1,1,3,…,|a1=,d=.Sn=|(Sn)min=,n= 34,2,0-2,一4 d= T Sn)max= 4 5 8 d (S n)max n 通过上面的例子,我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到 据此完善下列结论: 1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为项(或0),所以将这些项相加 即得{Sn}的最值
课题：2.3.2 等差数列的前 n 项和（2） 【学习目标】 1．熟练掌握等差数列前 n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前 n 项和的最值问题． 【学习重点】 熟练掌握等差数列的求和公式 【学习难点】 灵活应用求和公式解决最值问题. 【授课类型】 新授课 【学习方法】 诱思探究法 【学习过程】 一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．前 n 项和 Sn 与 an之间的关系对任意数列{an}，Sn 是前 n 项和，Sn 与 an的关 系可以表示为 an＝ 2．等差数列的前 n 项和公式： 2 ( ) 1 n n n a a S + = 2 ( 1) 1 n n d Sn na − = + 3．若等差数列{an}的前 n 项和公式为 Sn＝An2＋Bn＋C 则 A＝ ___，B＝ ，C＝ . 二、新课学习： [问题情境] 1．如果{an }是一个等差数列，那么如何求{|an|}的前 n 项和的最值呢？有几种 求法？该怎么求？ 2．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再是等差数 列，如何求{|an|}的前 n 项和？ 这一节课我们就来解答上面的问题． 探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前 n 项 和 Sn 取到最值时序号 n 的规律. 序 号 等差数列 基本量 前 n 项 和 Sn Sn 的最值 1 1,3,5,7,9，…， a1＝ ，d＝ . Sn＝ (Sn)min＝ ， n＝ 2 －5,－3，－1,1,3，…， a1＝ ，d＝ . Sn＝ (Sn)min＝ ， n＝ 3 4,2,0,－2，－4，…， a1＝ ，d＝ . Sn＝ (Sn)max＝ ， n＝ 4 －1,－2，－3,－4，－ 5，…， a1＝ ，d＝ . Sn＝ (Sn)max＝ ， n＝ 通过上面的例子，我们看到等差数列前 n 项和的最值在项的符号分界点处取到， 据此完善下列结论： (1)若 a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为 项(或 0)，所以将这些项相加 即得{Sn}的最 值．
(2)若a10,则数列的前面若干项为项(或0),所以将这些项相加即 得{Sn}的最值; 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最值;若a10, n≤13a, 由 jan=25-2n-1≥0, 得 an+1=25-2n≤0, n≥12 所以当n=13时,Sn有最大值 13×13-1 S13=25×13 ×(-2)=169. 因此Sn的最大值为1 方法三由S1r=S9,得a0+a1+…+a17=0 M a1o+a=au+as=a+as=au+aus 故a3+a14=0.由方法一知d=-20,所以a13>0,a4<0
(2)若 a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为 项(或 0)，所以将这些项相加即 得{Sn}的最 值； 特别地，若 a1＞0，d＞0，则 S1是{Sn}的最 值;若 a1＜0，d＜0，则 S1是{Sn} 的最 值． 例 1 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前 n 项和 Sn 的 最小值． 解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2. ∴a10， 由 an＝25－2 n－1 ≥0， an＋1＝25－2n≤0， 得 n≤13 1 2 ， n≥12 1 2 . 所以当 n＝13 时，Sn有最大值． S1 3＝25×13＋ 13× 13－1 2 ×(－2)＝169. 因此 Sn 的最大值为 169. 方法三 由 S1 7＝S9，得 a10＋a11＋…＋a1 7＝0， 而 a1 0＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a1 3＋a14＝0.由方法一知 d＝－20，所以 a13>0，a14<0
故当n=13时,Sn有最大值. 13×13-1 S13=25×13+ 因此S的最大值为 例2若等差数列{a}的首项a1=13,d=-4,记T=|a+|a2+…+|a|,求 T 解:a1=13,d=-4,∴a=17-4n 当n≤4时, T=la|+|l+…+|al=a+a+…+a=na1+n1d n n-1 13n+ ×(-4)=15n-2n2; 2 当n≥5时, T=|a+|a+…+|a|=(a+a+a+a)-(a+a6+…+ =S-(Sn-S=2-5m=2x13+1×4-(5n-2n 56+2n2-15n. nsJ15n-2n2,n≤4; n2-15n+56,n≥ 小结:等差数列{a前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,应首先分清这个数 列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段求出前n项的绝对值之和 跟踪训练2已知等差数列{a}中,记Sn是它的前n项和,若S2=16,S4=24 求数列{|a}的前n项和Tn 2×1 2a1+-d=16 解由S2=16,S4=24,得 4×3 4a1+"d=24 即 j21+d=16, a1=9 解得 2a1+3d=12 所以等差数列{a}的通项公式为an=11-2n(n∈N) ①当n≤5时,Tn=|a1+|a+…+|al|=a1+a2+…+a=Sn=-n2+10n ②当n≥6时,Tn=|a+|a2+…+|a=a1+a2+…+a6-a6-ar 2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50
故当 n＝13 时，Sn 有最大值． S1 3＝25×13＋ 13× 13－1 2 ×(－2)＝169. 因此 Sn的最大值为 169. 例 2 若等差数列{an}的首项 a1＝13，d＝－4，记 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 Tn. 解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当 n≤4 时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋ n n－1 2 d ＝13n＋ n n－1 2 ×(－4)＝15n－2n2； 当 n≥5 时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2× 13＋1 ×4 2 －(15n－2n2 ) ＝56＋2n2－15n. ∴Tn＝ 15n－2n2，n≤4； 2n2－15n＋56，n≥5. 小结：等差数列{an}前 n 项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数 列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前 n 项的绝对值之和． 跟踪训练 2 已知等差数列{an}中，记 Sn 是它的前 n 项和，若 S2＝16，S4＝24， 求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 解 由 S2＝16，S4＝24，得 2a1＋ 2×1 2 d＝16， 4a1＋ 4×3 2 d＝24. 即 2a1＋d＝16， 2a1＋3d＝12. 解得 a1＝9， d＝－2. 所以等差数列{an}的通项公式为 an＝11－2n (n∈N*)． ①当 n≤5 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n 2＋10n. ②当 n≥6 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5 －Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n＋50
n2+10 n≤5 故T 2-10n+50n≥6 随堂练习: 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于 (D) B. n C.2n+1 2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sa=(n+1)2+A,则A的值 是 A.-2 B C.0 解析等差数列前n项和S的形式为Sn=an2+ba 3.设数列{a}的通项为a=2n-7n∈N),则|a1|a|+…+|an|= 解析|a1|+|a|+|al|+…+|an =(一B)+(一a)+(-a)+(a4+a6+a6+an) (an+a2+a)+(a+a6+a6+a) =-(-5-3-1)+(1+3+5+7) =5+3+1+1+3+5+7=25 4.首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S=S,当n=时,Sn 取到最大值 解析∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0 a1>0,·a1>a2>a3>a4>a6> 故当n=5或6时,Sn最大 课堂小结: 1.求等差数列前n项和的最值 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意 n∈N*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观 (2)通项法:当a1>0,d0 时,Sn取得最小值 an+1≥0 2.求等差数列{a}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{a的正负项的分界 点. 作业:1、课本54页,第4,6,7题 、学习指导32页,等差前n项和练习2
故 Tn＝ －n2＋10n n≤5 ， n2－10n＋50 n≥6 . 随堂练习： 1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 an 等于 ( D ) A．n B．n 2 C．2n＋1 D．2n－2． 2. 数列{an }为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝(n＋1)2＋λ，则 λ 的值 是 ( B ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析 等差数列前 n 项和 Sn的形式为 Sn＝an 2＋bn， ∴λ＝－1. 3．设数列{an}的通项为 an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________. 解析 |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a7| ＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7) ＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7) ＝－(－5－3－1)＋(1＋3＋5＋7) ＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＝25. 4．首项为正数的等差数列，前 n 项和为 Sn，且 S3＝S8，当 n＝________时，Sn 取到最大值． 解析 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0， ∴a6＝0. ∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0. 故当 n＝5 或 6 时，Sn最大． 课堂小结： 1．求等差数列前 n 项和的最值 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定 n 的值，更加直观． (2)通项法：当 a1>0，d0， an≤0， an＋1≥0 时，Sn取得最小值． 2．求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界 点． 作业：1、课本 54 页，第 4,6,7 题 2、学习指导 32 页，等差前 n 项和练习 2