高效演练知能提升 A级基础巩固 、选择题 1.在等比数列{an中,a2=4,m=16′则a3a6+aas的值是() B.2 答案:C 2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a,a成等比数列,则{an}的前n项和Sn=() A.m(n+1) n n(n+1) 1) 2 解析:因为a2,a4,a8成等比数列, 所以a=a2a,即(a1+32=(a1+d)(a1+7d, 将d=2代入上式,解得a1=2, 所以S=2水n(n-1)2 =H(n+1) 答案:A 3.在等比数列{a}中,aa1=6,a4+a14=5,则望等于() 2 解析:因为ana=a;a14=6,a4+a14=5 3 所以 a14=3 所以y=2=y=3 所以 答案:C 4.在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,则插入的n个数的积为 C.100
A 级 基础巩固 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2＝4，a7＝ 1 16，则 a3a6＋a4a5 的值是( ) A．1 B．2 C.1 2 D.1 4 答案：C 2．等差数列{an}的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( ) A．n(n＋1) B．n(n－1) C. n（n＋1） 2 D. n（n－1） 2 解析：因为 a2，a4，a8 成等比数列， 所以 a 2 4＝a2·a8，即(a1＋3d) 2＝(a1＋d)·(a1＋7d)， 将 d＝2 代入上式，解得 a1＝2， 所以 Sn＝2n＋ n（n－1）·2 2 ＝n(n＋1)． 答案：A 3．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20 a10 等于( ) A.2 3 B.3 2 C.2 3 或 3 2 D．－ 2 3 或－3 2 解析：因为 a7·a11＝a4·a14＝6，a4＋a14＝5， 所以 a4＝2， a14＝3 或 a4＝3， a14＝2， 所以 q 10＝ a14 a4 ＝ 3 2 或 q 10＝ 2 3 ， 所以a20 a10 ＝q 10＝ 3 2 或 a20 a10 ＝ 2 3 . 答案：C 4．在 1 与 100 之间插入 n 个正数，使这 n＋2 个数成等比数列，则插入的 n 个数的积为 ( ) A．10n B．n 10 C．100n D．n 100
解析:设这n+2个数为a,a2,…,an+1,an+2, 则a (aan+2)2=(100)2=10° 答案 5.等比数列{an}中,an∈R',a4as=32,则loga1+loga2+…+ logas的值为() B.20 D.128 解析:log2a1+log2a2+…+log2ag=log2(ana2a3…as)=log2(as)=4log232=20 答案:B 二、填空题 6.等比数列{an}中,aan→aq>anq"-1, 因为a10且1--<0解得:0<q<1 答案:0<q<1 7.已知在公比为q的等比数列{an}中,a5+a=q,则a(a+2a6+a0)的值为 解析:因为as+a=-q, 所以 a4+a8= 所以a(a2+26+a0)=a2+2a+an0=ai+2a+a=(a4+a)3=1 答案 8.已知在等比数列{an}中,a3an=4a,数列{bn}是等差数列,且a=b,则b+b= 解析:aa11=4m=a, 所以a=4(=0舍去), 因为{bn}是等差数列 所以b=3bs+b)
解析：设这 n＋2 个数为 a1，a2，…，an＋1，an＋2， 则 a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2) n 2＝(100) n 2＝10n . 答案：A 5．等比数列{an}中，an∈R ＋，a4·a5＝32，则 log2a1＋log2a2＋…＋log2a8 的值为( ) A．10 B．20 C．36 D．128 解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5) 4＝4log232＝20. 答案：B 二、填空题 6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的 q 的取值范围是 ______________． 解析：由 an＋1＞an⇒a1q n＞a1q n－1， 因为 a1＜0， 所以 q n＜q n－1⇒q n 1－ 1 q ＜0 对任意正整数 n 都成立． 所以 q＞0 且 1－ 1 q ＜0 解得：0＜q＜1. 答案：0＜q＜1 7．已知在公比为 q 的等比数列{an}中，a5＋a9＝ 1 2 q，则 a6(a2＋2a6＋a10)的值为________． 解析：因为 a5＋a9＝ 1 2 q， 所以 a4＋a8＝ 1 2 ， 所以 a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a 2 6＋a6a10＝a 2 4＋2a4a8＋a 2 8＝(a4＋a8) 2＝ 1 4 . 答案：1 4 8．已知在等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且 a7＝b7，则 b5＋b9＝ ________． 解析：a3a11＝4a7＝a 2 7， 所以 a7＝4(a7＝0 舍去)， 因为{bn}是等差数列， 所以 b7＝ 1 2 (b5＋b9)
又b=a7,所以b5+b=8 答案:8 三、解答题 9在正项等比数列{an}中,a1as-2aas+aa7=36,a2a+2aa6+a6=100,求数列{an} 的通项公式 解:因为aas=a3,aa=aB3, 所以由题意,得a3-2aas+a=36, 同理得a+2a3a5+a3=100, (a3-as)2=36, 所以 )2=100 a3-as=±6 因为an>0,所以 解得 m1= 分别解得 所以 或 10.三个正数成等比数列,它们的和等于21,倒数的和等于1,求这三个数 解:设三个数为,a,ag(a,q0), +a+aq=21 由题 q q+1+1 所以 →a2=21×1=36 所以a=6,q=2或 所以三个数为3,6,12或12,6,3 B级能力提升
又 b7＝a7，所以 b5＋b9＝8. 答案：8 三、解答题 9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an} 的通项公式． 解：因为 a1a5＝a 2 3，a3a7＝a 2 5， 所以由题意，得 a 2 3－2a3a5＋a 2 5＝36， 同理得 a 2 3＋2a3a5＋a 2 5＝100， 所以 （a3－a5）2＝36， （a3＋a5）2＝100， 因为 an>0，所以 a3－a5＝±6， a3＋a5＝10. 解得 a3＝2， a5＝8， 或 a3＝8， a5＝2. 分别解得 a1＝ 1 2 ， q＝2， 或 a1＝32， q＝ 1 2 . 所以 an＝a1q n－1＝2 n－2 或 an＝a1q n－1＝2 6－n . 10．三个正数成等比数列，它们的和等于 21，倒数的和等于 7 12，求这三个数． 解：设三个数为a q ，a，aq(a，q>0)， 由题 a q ＋a＋aq＝21， q a ＋ 1 a ＋ 1 aq ＝ 7 12， 所以 a 1 q ＋1＋q ＝21， 1 a q＋1＋ 1 q ＝ 7 12， ⇒a 2＝21× 12 7 ＝36， 所以 a＝6，q＝2 或 1 2 ， 所以三个数为 3，6，12 或 12，6，3. B 级 能力提升
1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24 解析:由题意知3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去), 所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24 答案:A 2.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a6+5构成公比为q的等比数列,则q 解析:设{an}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,as+5=a1+1+4d+4,由题意可 得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5) 所以(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a+1)+4(d+1), 所以(a1+1)2+4(d+1)a1+1)+[2d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1), 所以d=-1,所以a3+3=a1+1, a3+3 所以公比q= 答案:1 3.容器A中盛有浓度为a%的农药mL,容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL,A, B两容器中农药的浓度差为2%a>b),先将A中农药的倒入B中,混合均匀后,再由B 倒入一部分到A中,恰好使A中保持mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的 浓度差小于1%? 解:设第n次操作后,A中农药的浓度为an,B中农药的浓度为bn,则0=a%,b= b=5a0+4b0),a1=40+4b1=4a0+bo) b=3a1+4b),a=41+4b2=34a+b) 所以an-b 1)==(a0-b0)
1．等比数列 x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( ) A．－24 B．0 C．12 D．24 解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即 x 2＋4x＋3＝0，解得 x＝－3 或 x＝－1(舍去)， 所以等比数列的前 3 项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 答案：A 2．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________． 解析：设{an}的公差为 d，则 a3＋3＝a1＋1＋2d＋2，a5＋5＝a1＋1＋4d＋4，由题意可 得(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)． 所以[(a1＋1)＋2(d＋1)]2＝(a1＋1)[(a1＋1)＋4(d＋1)]， 所以(a1＋1)2＋4(d＋1)(a1＋1)＋[2(d＋1)]2＝(a1＋1)2＋4(a1＋1)(d＋1)， 所以 d＝－1，所以 a3＋3＝a1＋1， 所以公比 q＝ a3＋3 a1＋1 ＝1. 答案：1 3．容器 A 中盛有浓度为 a%的农药 mL，容器 B 中盛有浓度为 b%的同种农药 mL，A， B 两容器中农药的浓度差为 20%(a＞b)，先将 A 中农药的1 4 倒入 B 中，混合均匀后，再由 B 倒入一部分到 A 中，恰好使 A 中保持 mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的 浓度差小于 1%? 解：设第 n 次操作后，A 中农药的浓度为 an，B 中农药的浓度为 bn，则 a0＝a%，b0＝ b%. b1＝ 1 5 (a0＋4b0)，a1＝ 3 4 a0＋ 1 4 b1＝ 1 5 (4a0＋b0)； b2＝ 1 5 (a1＋4b1)，a2＝ 3 4 a1＋ 1 4 b2＝ 1 5 (4a1＋b1)； … bn＝ 1 5 (an－1＋4bn－1)． an＝ 1 5 (4an－1＋bn－1)， 所以 an－bn＝ 3 5 (an－1－bn－1)＝ 3 5 (a0－b0)· 3 5 n－1
因为a0-b 所以an-bn2=13) 依题意知(3)<1%,n∈N, 解得n≥6 故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%
因为 a0－b0＝ 1 5 ， 所以 an－bn＝ 1 5 · 3 5 n . 依题意知1 5 · 3 5 n ＜1%，n∈N*， 解得 n≥6. 故至少经过 6 次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于 1%