2.3等差数列的前n项和(第1课时) 、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(人教A版)中第 二章的第三节“等差数列的前n项和”(第一课时).本节对等差数列前n项和的推导,是在 学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列,分两个课时,本节课内容是等 差数列前n项和的推导过程和简单应用,其学习平台是学生己经掌握等差数列的性质以及高 斯求和法等相关知识。对本节的研究,为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法:倒 序相加求和法,具有承上启下的重要作用。 二、学情况分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的定义和通项公式,掌握了一些等差数列的性质, 而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法,这都为倒序相加法的教学提供 了基础:同时学生已有了函数知识,因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般 的等差数列求和还有一定的距离,如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍 三、教学目标 知识与技能:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n项和公式 解决一些简单的与前n项和有关的问题 方法与过程:经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研 究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力 情感态度与价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美通过具体的现实问题, 激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体 产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 四、教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式,初步学会用公式解决一些简单问 题,学会用公式解决一些实际问题;难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得 五、教学过程设计 (一)双基回眸,巩固已学知识促进新知生成 ①等差数列定义:即an-an1=d(n≥2)或an1-an=d ②若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,即2A=a+b 若{an}为等差数列,则2an=an1+an1(m≥2) ③等差数列{an}通项公式:an=a1+n-1.an=an+(n-m ④若{a}为等差数列,如果m+n=P+q=2(mn,Pqr∈N) 则an+an=an+an=2a
2.3 等差数列的前 n 项和(第 1 课时) 一、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修 5）》（人教 A 版）中第 二章的第三节“等差数列的前 n 项和”（第一课时）．本节对等差数列前 n 项和的推导，是在 学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，分两个课时，本节课内容是等 差数列前 n 项和的推导过程和简单应用，其学习平台是学生已经掌握等差数列的性质以及高 斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法：倒 序相加求和法，具有承上启下的重要作用。 二、学情况分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的定义和通项公式，掌握了一些等差数列的性质， 而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法，这都为倒序相加法的教学提供 了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般 的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍． 三、教学目标 知识与技能：掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前 n 项和公式 解决一些简单的与前 n 项和有关的问题． 方法与过程：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研 究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美．通过具体的现实问题， 激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验， 产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 四、教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前 n 项和公式，初步学会用公式解决一些简单问 题，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前 n 项和公式推导思路的获得． 五、教学过程设计 （一）双基回眸，巩固已学知识促进新知生成 ①等差数列定义：即 an − an−1 = d (n 2) 或 an+1 − an = d . ②若三个数 a, A,b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即 2A= a +b . 若 an 为等差数列,则 2 ( 2) an = an−1 + an+1 n . ③等差数列 an 通项公式： an = a1 + (n −1)d . an = am + (n − m)d ④若 an 为等差数列，如果 ( ) m+ n = p + q = 2r m,n, p,q,r N ， 则 am + an = ap + aq = 2ar
(二)创设情景,唤起学生知识经验 个V形架上面有一堆铅笔,最下面一层放一支,依次每 层都比下面一层多放一支,最上面一层放100支问:这个V形架 上共放有多少支铅笔? [设计意图]通过情景引入活动、任务,让学生亲身经历 将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程, 其作用就在于提升学生的经验,从实际问题入手,图中 蕴含算数,能激发学生学习新知识的兴趣,并且可引导 学生共同探讨高斯算法更一般的应用,为新课的讲解作 铺垫 (三)由特殊到一般,自主探究与合作 问题1:如何求1+2+3+…+99=? 问题2:如何求1+2+3+…+n=? [设计意图]从项数为偶数到项数为奇数再到项数为n,由特殊到一般问题由浅入深层层深 入,学生思维自然过渡,引导学生自主探究。项数为n项的问题,若简单地事仿高斯算法 首尾配对,将出现n的奇偶不确定的情形,学生自然想到对n分奇数偶数讨论,借此渗透 分类的思想方法 问题3:对于等差数列{an},如何运用高斯算法“首尾配对法”求Sn=a1+a2+…+an? (1)n为偶数时:当n为偶数时刚好配对成功,配成对 Sn=a1+…+an+an+…+a (a,ta (2)n为奇数时:当n为奇数时,余一项,请问多哪一项?这项与a1,an是什么 关系? Sn=a1+…+an+1+an+1+an+1+…+an 由等差中项公式a1+an=2an+1 (a,+an)+a
（二）创设情景，唤起学生知识经验 一个 V 形架上面有一堆铅笔，最下面一层放一支，依次每一 层都比下面一层多放一支，最上面一层放 100 支.问：这个 V 形架 上共放有多少支铅笔？ [设计意图] 通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历, 将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程， 其作用就在于提升学生的经验，从实际问题入手，图中 蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导 学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作 铺垫． （三）由特殊到一般，自主探究与合作 问题 1：如何求 1+ 2 +3++99 = ？ 问题 2：如何求 1+2+3++n = ？ [设计意图]从项数为偶数到项数为奇数再到项数为 n,由特殊到一般问题由浅入深层层深 入，学生思维自然过渡，引导学生自主探究。项数为 n 项的问题，若简单地摹仿高斯算法 首尾配对，将出现 n 的奇偶不确定的情形，学生自然想到对 n 分奇数偶数讨论，借此渗透 分类的思想方法． 问题 3： 对于等差数列{an}，如何运用高斯算法“首尾配对法”求 Sn = a1 + a2 ++ an ？ （1） n 为偶数时：当 n 为偶数时刚好配对成功，配成 2 n 对 （2） n 为奇数时：当 n 为奇数时，余一项，请问多哪一项？这项与 1 a ， n a 是什么 关系？ 由等差中项公式 Sn = a + + an + an + + an + 1 2 2 1 ( ) 2 n a1 an n S = + Sn = a + + an + an + an + + an + + + − + 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ( ) 2 1 + + + − n = a an an n S 2 1 1 2 + n = n+ a a a
n(a,+a, )+1fn =r(a,+a 通过对n取值的讨论,得到了前n项和求和公式:公式!Sn=(a1+an) [设计意图]从特殊的等差数列求和过渡到一般的等差数列,让学生进一步体会高斯算法的 关键:首尾配对的基础是配对和要相等。学生自然联想到等差数列脚标和性质。对中间项 的解决过程中,进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学习的研究。 问题4:计算1+2+3+…+n,可以不讨论n的奇偶吗? [设计意图]借助几何图形的直观性,启迪思路,引导学生去思考让他们借助几何图形,将 两个三角形拼成平行四边形,为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型.问题构建在学 生已有生活经验基础之上,大大激发了学生“做数学”的热情,数学课变得更生动、更活 泼,更能引发学生的兴趣 问题5:利用倒序相加探究等差数列的前n项和:Sn=a1+a2+a3+…+a, 自主探究:Sn=a1+a2+…+an-1+a Sn=an+an-1+…+a2+a1 两式左右分别相加得:2Sn=m(a1+an) [设计意图]在问题4的基础上,鼓励学生利用倒序相加自主探究等差数列求和公式的推导, 在等差数列前n项和公式的推导过程中,通过问题获得知识,让学生经历“发现问题 提出问题—解决问题”的过程 (三)探中抽知,知识升华 问题6:Sn能否用等差数列的基本量ad表示? (*)(公式的特点及文字语言表 S=m4+2d(*)(Sdn+(02),进一步令2b=(4-2 d d 可得公式Sn=an2+bn,其中公差为2a 探究:让学生自主探究运用已经学过的等差数列通项公式自主探究获得公式2
通过对 n 取值的讨论，得到了前 n 项和求和公式： [设计意图] 从特殊的等差数列求和过渡到一般的等差数列，让学生进一步体会高斯算法的 关键：首尾配对的基础是配对和要相等。学生自然联想到等差数列脚标和性质。 对中间项 的解决过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学习的研究。 问题 4：计算 1+2+3+…+n，可以不讨论 n 的奇偶吗？ [设计意图] 借助几何图形的直观性，启迪思路，引导学生去思考,让他们借助几何图形,将 两个三角形拼成平行四边形，为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．问题构建在学 生已有生活经验基础之上，大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活 泼，更能引发学生的兴趣。 问题 5：利用倒序相加探究等差数列的前 n 项和: Sn= a1 +a2+a3+…+an 自主探究： 两式左右分别相加得： [设计意图] 在问题 4 的基础上，鼓励学生利用倒序相加自主探究等差数列求和公式的推导， 在等差数列前 n 项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题—— 提出问题——解决问题”的过程。 （三）探中抽知，知识升华 问题 6：Sn 能否用等差数列的基本量 a1d 表示？ 2 ( ) 1 n n n a a S + = .( )（公式的特点及文字语言表示） d n n Sn na 2 ( 1) 1 − = + .( )（ n d n a d Sn ) 2 ( 2 1 2 = + − ），进一步令 ) 2 , ( 2 1 d b a d a = = − 可得公式 Sn＝an 2 +bn,其中公差为 2a. 探究：让 学生自主探究运用已经学过的等差数列通项公式自主探究获得公式 2. 2 ( ) 2 1 1 1 n n a a a a n + + + − = ( ) 2 a1 an n = + ( ) 2 1 n a1 an n 公式：S = + Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an Sn = an + an−1 ++ a2 + a1 2 ( ) Sn = n a1 + an ( ) 2 n a1 an n S = +
问题7:比较这两个公式,说说它们从哪些角度反映了等差数列的性质 (*)反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质 (*)反映了等差数列的前n项和是关于n的且不含常数项的二次式。 [设计意图]挖据公式内涵,加深对公式的理解记忆与应用 四)公式应用,内化巩固 例1、计算 (1)5+6+7++79+80 (2)1+3+5+…+(2m1) (2)1-2+3-4+5+…(2m1)+2n 练习:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn (1)a1=-4,a3=-18,n=8,(2)a1=14.5d=0.7an=32 [设计意图]学以致用,直接运用公式加深的公式的认识和理解。主要通过方程的思想进 行基本量的运算。分层练习让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生 都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能 例2、已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前n项和的公式吗? 解1:用基本量法,突出方程思想 10a1+45d=310 解:由题意有 20a,+190d=1220 解得a1=4,d=6,故Sn=3 解2:待定系数法 依题意,设Sn=an2+bn,由于S1o=3 S20=1220,所以 1oOa-+lob=30 40oa+2Ob=1220-b=1 所以Sn=3n2+n 探究活动:学生进行了分组讨论,然后每组派学生代表进行分析。 [设计意图]通过小组讨论,让所有学生积极参与,增强合作意识,提高学习效率,优化 了学习方法。使学生在学习中体会了成功的喜悦,增强了学生的自信心。 (五)回顾反思,深化知识 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容,教师加以补充说明.实现对等 差数列前n项和公式的再次深化
问题 7：比较这两个公式，说说它们从哪些角度反映了等差数列的性质。 （ ）反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质； ( )反映了等差数列的前 n 项和是关于 n 的且不含常数项的二次式。 [设计意图] 挖掘公式内涵，加深对公式的理解记忆与应用。 （四）公式应用，内化巩固 例 1、计算 （1） 5+6+7+…+79+80 （2） 1+3+5+…+（2n-1） （2） 1-2+3-4+5+…-（2n-1）+2n 练习：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 an 的前 n 项和 n S . (1) 4, 18, 8; a1 = − a8 = − n = (2) 14.5, 0.7, 32. a1 = d = an = [设计意图] 学以致用，直接运用公式加深的公式的认识和理解。主要通过方程的思想进 行基本量的运算。分层练习让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生 都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能。 例 2、 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ，前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和的公式吗？ 解 1：用基本量法,突出方程思想. 解:由题意有 + = + = 20 190 1220 10 45 310 1 1 a d a d ,解得 a1 = 4,d = 6 ,故 Sn = n + n 2 3 . 解 2：待定系数法 依题意，设 Sn＝an 2 +bn,由于 S10＝310， S20＝1220，所以 所以 Sn＝3n 2 +n 探究活动：学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。 [设计意图] 通过小组讨论，让所有学生积极参与，增强合作意识，提高学习效率，优化 了学习方法。使学生在学习中体会了成功的喜悦，增强了学生的自信心。 （五）回顾反思，深化知识 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．实现对等 差数列前 n 项和公式的再次深化． + = + = 400a 1220 100a 10b 310 20b = = b 1 a 3
(1)知识层面: ①等差数列的前n项和公式1:Sn ②等差数列的前n项和公式2:Sn=m*n-1)d (2).思想方法层面 ①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法 “倒序相加法 ②“知三求二”的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外 两个变量 (3)基本应用层面:解决关于等差数列前n项和的基本问题 (六)分层作业 必做题:课本第46页习题23A组第2、3题 选做题:已知f(x) 求f(-5)+f(-4)+…+f(6的值 (七)、教学反思 本节课是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方 法反映了等差数列的性质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程采 用设计变式题的教学手段进行教学,体现了研究、解决问题的一般思路.创设情境,重在启 发引导,使学生由浅到深,由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体 验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力 本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.鼓励学生 借助几何直观进行思考,从特殊问题的解决中提炼方法,实现难点突破,再运用这一方法解 决一般问题
(1).知识层面： ①等差数列的前 n 项和公式 1： 2 ( ) 1 n n n a a S + = , ②等差数列的前 n 项和公式 2 ： 1 ( 1) 2 n n n d S na − = + . (2).思想方法层面： ①通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法 ——“倒序相加法”. ②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外 两个变量. (3).基本应用层面：解决关于等差数列前 n 项和的基本问题. （六）分层作业 必做题：课本第 46 页习题 2.3 A 组第 2 、3 题. 选做题： 2 2 1 ( ) + = x 已知f x ，求f (−5)+ f (−4)++ f (6)的值. （七）、教学反思 本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方 法反映了等差数列的性质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程采 用设计变式题的教学手段进行教学，体现了研究、解决问题的一般思路．创设情境，重在启 发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体 验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．鼓励学生 借助几何直观进行思考，从特殊问题的解决中提炼方法，实现难点突破，再运用这一方法解 决一般问题．